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!!!!"!#""$
年第!
!%
期
责编／顾
!
俊
!
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!"#"$%&’%%’!’()+,-
破解平面向量与圆或椭圆
交汇题的两大策略
"
阙东进
!
韩玉宝
!!
平面向量以及直线!圆!椭圆的方程一直都是高
考命题的热点"平面向量与圆或椭圆的交汇题更是
高考考查的重点和难点!解此类问题时"一方面要能
够正确分析向量的表达式"将它们转化为图形中相
应的位置关系#另一方面还要善于运用向量的运算
来解决问题!具体地说"我们有两大处理策略!
策略一
!
将向量!坐标化"
例&
!
已知圆"
!
#$
!
#""%#$#!$&%
与直
线
$&’"
交于(!)两点!为原点!求
#$
(
"
#$
)的值!
解法一
!
设($"
$
"
$$
%"
)
$
"!
"
$!
%
!
由已知圆与直线的方程消去
$
"得$
#’
!
%
"
!
#
$
"%#’
%
"#!$&%
"
所以"
$"!&
!$
$#’
!
!
所以
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!
"$"!&
!$’
!
$#’
!
!
所以
#$
(
&
#$
)&"$"!#$$!&!$!
解法二
!
设($"
$
"
$$
%"
)
$
"!
"
$!
%"则
+
#$
(+&
"
!
$#$%
!
$&$#’%
!
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"
+
#$
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由
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"
!
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得$
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#
$
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"#!$&%
"所以
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%!
又"(")均在直线
$&’"
上"易得(
#$
(
"
#$
)
)
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所以
#$
(
&
#$
)&+
#$
(+
&
+
#$
)+&’(%&+
#$
(+
&
+
#$
)+&
$
#’
!
%
!$
$#’
!
&!$!
点评
!
这里虽然设出了(")的坐标"但是并未
求出它们的值!这种设而不求+!整体处理的方法是
简化解析几何题求解过程的常用方法之一!
解法三
!
已知圆的方程即为$"
#)
%
!
#
$
%
%
!
&)
"所以其圆心
,为
$
%)
"
%"半径
-&!!
因为
+,+&)
!
#%
!
&+&-
"所以原点
在
已知圆,外!
由割线定理"有
+
#$
(+
&
+
#$
)+&
$
+,+#-
%
$
+,+%-
%
&
$
+#!
%
.
$
+%!
%
&!$!
又"(")均在直线
$&’"
上"易得(
#$
(
"
#$
)
)
&%!
所以
#$
(
&
#$
)&+
#$
(+
&
+
#$
)+&!$!
点评
!
利用平面图形的几何性质"如这里的利
用圆的割线定理"也是简化解析几何题求解过程的
常用方法之一!
变式
!
已知动直线/#0"
#1$#0
!
#1%
!
&
%
$
0
!
1不全为%
%与圆
2
#
"
!
#$
!
&!
相交于3!4两
点!为原点!求
#$
3
"
#$
4的值!
该题的解题思路与例$一致"这里不再赘述!答
案为,%!
策略二
!
将向量!基底化"
例#
!
已知(为椭圆
"
!
!
#
$
!
$#
&$
上的任一点!
,5为圆2
#
"
!
#
$
%
%
!
&$
的任一直径!求
#$
(,
"
#$
(5的最大值!
分析
!
由于(","5均为动点"不宜将
#$
(,
"
#$
(5
坐标化#由于圆心2为定点"可以将
#$
(,
"
#$
(5分别用
基向量
#$
2(
"
#$
25来表示
$以’
#$
2(
"
#$
25
-为基底%
!
解
!
#$
(,
&
#$
(5&
$
#$
(2#
#$
2,
%&$
#$
(2#
#$
25
%
&
$
#$
(2
%
#$
25
%&$
#$
(2#
#$
25
%
&
#$
(2
!
%
#$
25
!
&
#$
(2
!
%$!
从而可将该问题转化为,求
#$
(2
!
的最大值!
设($"
%
"
$%
%"则
"
!
%
!
#
$
!
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$#
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"所以
"
!
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)
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俊
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#""$年第!!%期!&!!
又2为!%"#"所以
#$
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!
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"
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!
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!
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!
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"
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$
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"
)
%
!
所以当
$%&%
时"
#$
(2
!
取最大值+%!
所以
#$
(,
&
#$
(5的最大值为),!
变式
!
已知(为椭圆
"
!
!6
!
#
$
!
6
!
&$
!
6&%
"上
的任一点#,5为圆2$"
!
#
!
$%
"
!
&$
的任一直径#
若
#$
(,
%
#$
(5的最大值为),
#求该椭圆的方程
!
该题的解题思路与例!一致"这里不再赘述!答
案为’
"
!
!
#
$
!
$#
&$!
下面我们看一道复杂一点的例题!
图$
例’
!
如图$#已知圆,
为-.
(012
的外接圆#点0为
!
%!
#
%
"#
1为
!
%
#
%%!!
"#点
2
在"轴上#点(为线段0的中
点#若73是圆,的任意一条直
径#试探究
#$
(7
%
#$
(3是否为定
值？若为定值#请求出该定值&若不为定值#请说明
理由!
解析
!
设点2为!""%#"在-.
(012
中"由01
)12
"得
801
&
812&%$
"即
%%!!%%
%%
!
%!
#
.
%%
!
%%!!
#
"%%
&%$
"可求得
"&)!
于是"易得,!$"%#"(!
%$
"
%
#
!
探究
#$
(7
&
#$
(3是否为定值
"可从特殊位置入手
!
当73与02重合时"
#$
(7
&
#$
(3&
#$
(0
&
#$
(2&$.
+.&’($"%/&%+
(当
73与02垂直时
"有
7
!
$
"
#"
3
!
$
"
%
#"故
#$
(7&
!"
#"
#$
(3&
!"
%
#"此时
#$
(7
&
#$
(3&!
!
%
!
&%+!
故猜想’
#$
(7
&
#$
(3为定值%+!证明如下
’
思路一
!
坐标法
方法一!设而不求#
!
当直线73的斜率存在时"
设其为8"再设7!"
$
"
$$
#"
3
!
"!
"
$!
#"
则直线73的方程为
$&8
!
"%$
#"又圆
,的方
程为!"
%$
#
!
#$
!
&,
"联立两方程并消去
$
"得
"
!
%
!"#
8
!
%"
8
!
#$
&%
"
利用根与系数的关系"有"
$#"!&!
"
$"!&
8
!
%"
8
!
#$
"所以
$$!&8
!
!
"$%$
#!
"!%$
#
&8
!
$
"$"!%
!
"$#"!
#
#$
%
&%
,8
!
8
!
#$
!
而
#$
(7&
!
"$#$
"
$$
#"
#$
(3&
!
"!#$
"
$!
#"所以
#$
(7
&
#$
(3&
!
"$#$
#!
"!#$
#
#$$!&"$"!#
!
"$#
"!
#
#$#$$!&%
"
!
8
!
#$
#
8
!
#$
&%+!
特别地"当直线73的斜率不存在时"
#$
(7
&
#$
(3
&%+
"故总有
#$
(7
&
#$
(3&%+!
方法二!整体代换#
!
设7!""
$
#"则
3
!
%"
"
%$
#"故
#$
(7&
!
"#$
"
$
#"
#$
(3&
!
%"
"
%$
#"
所以
#$
(7
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#$
(3&
!
"#$
#!
%"
#
%$
!
&)%
$!
"
%$
#
!
#$
!
%
&)%,&%+!
思路二
!
基底法
方法三
!
#$
(7
&
#$
(3&
!
#$
(,#
#$
,7
#&!
#$
(,#
#$
,3
#
&
#$
(,
!
#
#$
(,
&!
#$
,7#
#$
,3
#
#
#$
,7
&
#$
,3&!
!
#%%
.&%+!
图!
思路三
!
定义法
方法四!利用几何性质#
如图!"延长3("交圆,
于点)"连结7)"则
#$
(7
&
#$
(3
&+
#$
(7++
#$
(3+&’(7(3&
%
!
+
#$
(7+&’(7()
#
+
#$
(3+
&%+
#$
()++
#$
(3+&%+
#$
(0++
#$
(2+&%+!
点评
!
方法一是多数同学在解本题时所采用的
方法"但它有一定的运算量!这里"联立直线73和圆
,的方程并消去$后的化简过程被省略了
#"导致不
少同学未能得到正确的结果"而且对直线73的斜率
是否存在的讨论容易被忽略!方法二利用了圆的对
称性"在方法一的基础上优化了设法"进而利用整体
思想巧妙地解决了问题(方法三利用了圆的几何性
质"将未知长度)夹角的向量的数量积转化成了已知
长度)夹角的向量的数量积"这体现了化归的思想!
不过"上述三种方法都只是从解题的角度来思考问
题"而方法四则是从命题的角度揭示了本题变中有定
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细心查疏漏
!
自信出效益
!!!提高高三最后阶段数学复习的效率
"
缪
!
林
高三复习已过大半"同学们也都已基本#结$成
了一个较为完整的数学知识#网$"并对高中数学知
识有了较为完整的认识和理解%同时"也都基本形成
了较为完整的数学方法体系"并能用各种数学方法
解答各类中&低档问题!但由于时间紧"节奏快"某些
环节出现疏漏在所难免!为了确保最后阶段的复习
效率"更快地提升数学能力"针对复习中存在的问题
进行查漏补缺成为当务之急!
一!"补#勇气$树信心
部分同学原有的数学基础较为薄弱"在前面的
复习中又经常#磕磕碰碰$"故解题时缺乏自信"对自
己的解题思路&解题过程持怀疑态度"#不战自退$!
事实上"你已经披荆斩棘一路走来"现在是撩起膀子
小试牛刀的时候了!你只要直面困难"大胆尝试"就
一定能在应用中达到熟能生巧&巧能生精的境界!
例&
!
!
%%"年高考江苏卷
"求满足条件
01&
!
#
02&%!12的三角形012面积的最大值!
分析
!
大多数同学拿到本题后"都觉得很容易
下手’设12
&9
"则
02&%!9
"且
:(012&
$
!
01
(
12(011&9(011!
有些同学看到该函数式中出现了两个自变量"
就没有信心继续做下去了%也有些同学想到由余弦
定理可求得&’(1
&
)%9
!
)9
"然后由此求出
(011便可
消去自变量1"但他们感到这个过程似乎太繁"只能
)不变)动中有静)不动的内在原因
!
解后反思)在平面纯几何中思考上述问题的更
一般的形式
!
给定半径为-的圆,#设直径73绕
圆心,旋转#动点(沿给定的方向从圆心,向圆外
运动#试探究
#$
(7
$
#$
(3的值的变化情况!
图
探究
!
如图"设给定的方向为
#$
20的方向
"下面
分三种情形讨论!
)
$
点
(在圆,内!特别地
"当点
(与圆心,
重合时"
#$
(7
(
#$
(323-
!
%当点
(在圆,内且不是圆
心,时"
#$
(7
(
#$
(32+
#$
(7++
#$
(3+&’(7(32
3+
#$
()++
#$
(3+
"由相交弦定理"知
#$
(7
(
#$
(323+
#$
(0+
+
#$
(2+!!
)
!
点
(在圆,上!此时
#$
(7
(
#$
(32%!
)
点
(在圆,外!此时
#$
(7
(
#$
(32+
#$
(7+
+
#$
(3+&’(7(32+
#$
()++
#$
(3+
"由切割线定理"知
#$
(7
(
#$
(32;
!
)
;为由点(向圆,引的切线长
"也等于
(,
!
3-%
!
!
由此可见"例是基于圆幂定理而提出的探究性
问题!当点(从圆心,沿定方向向圆外运动时"
#$
(7
(
#$
(3变化情况为
’
3-
!
#%#45!
并且"只要给定点
(的位置
"就能确定
#$
(7
(
#$
(3的值!
|
|
