8数学通讯2007年第24期
剖解椭圆中最值问题的几个视角
程宏咏
(淮安中学(楚州区)高二数学组，江苏223200)
有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的
高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考
查，其中以解答题为主，在平时的复习中需有
所重视．本文通过具体例子，对椭圆中最值问
题的几个视角进行分类剖析．
1视角一：求离心率的最值问题
例1若A，B为椭圆4-等一1(口>
丑b
b>0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使
AAQB：120。，求此椭圆离心率的最小值．
分析建立a，b，c之间的关系是解决
离心率最值问题的常规思路．此题也就要有
将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点
有关，很难使用椭圆的定义．故考虑使用到角
公式转化为坐标形式，运用椭圆中z，Y的取
值求解离心率的最值．
解不妨设A(口，0)，B(一Ⅱ，0)，Q(z，
)，则kAa—Y，k．a一．
Z十口Z一口
利用到角公式及／AQB=12O。，得
一
三±—一tan120。(z≠±口)
．
14-
Z十nZ一日
又点A在椭圆上，故z一a一一，
消去z，化简得Y一．
V'')C
又≤6，即≤6，则4a2(z—cz)≤
43c‘
3c，从而转化为关于e的高次不等式3e+
4P一4≥0，解得
≤P<1．
故椭圆离心率的最小值为．
(或由2ab≤√3c一√3(口一b)，得0<
鱼≤，而：／1一()z，故≤<1．)“o“o
评注对于此类最值问题关键是如何
建立a，6，c之间的关系．常把椭圆上的点的
坐标z，Y表示成a，b，c的表达式，并利用椭
圆中z，Y的取值来求解范围问题或用数形结
合进行求解．
2视角二：求角的最值问题
例2如图1，已知
椭圆的中心在坐标原点，
焦点F1，F2在z轴上，长
轴AA：的长为4，左准线
z与z轴的交点为M，
JMAJ=JAF1J一2：1．
yJl
P
<
～
MAzrx
图1例2图
(I)求椭圆的方程；
、(Ⅱ)若直线z：z—(1ml>1)，P为
z上的动点，使AFPF：最大的点P记为Q，
求点Q的坐标(并用m表示)．
分析本题考查解析几何中角的最值
问题，常采用到角(夹角)公式或三角形中的
正弦(余弦)定理，结合本题的实际，考虑用
夹角公式较为妥当．
解(I)设椭圆方程为4-等一1(n>
n6‘
b>0)，半焦距为c，则JMAJ一“_一n，
lA1F1l一Ⅱ一c．
f一口：2(n—c)，
由题意，得{2n一4，
【。z一6z+z，
解得口一2，b一√3，c一1，
故椭圆方程为X2+等一1．
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2007年第24期数学通讯9
(II)设P(m，Y。)，lml>1．
①当Y。：0时，FlPF2—0．
②当Y。≠0时，0<／FlPF2<
／PFM<，所以只需求tanFPF的最
大值即可．
直线PF的斜率k一，直线PF
的斜率k一，利用夹角公式得：
tanF：PFz—ll
一
2lYol／2lYol
一而三
1
==一●
．√一1
当且仅当^／／一1一}Y。}时，FPF
最大，最大值为arctan南
评注对于此类最值问题，关键是如何
将角的最值问题转化成解析几何中的相关最值
问题，一般可用到角(夹角)公式、余弦定理、向
量夹角进行转化为求分式函数的值域问题．
3视角三：求点点(点线)间的距离的最值
问题
例3点A，B分别是椭圆z1_yZ一1
的长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，
点P在椭圆上，且位于轴上方，PAj-PF．
1)求点P的坐标；
2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到
直线AP的距离等于}l，求椭圆上的点
到点M的距离d的最小值．
分析解决两点距离的最值问题是给
它们建立一种函数关系，因此本题两点距离
可转化成二次函数的最值问题进行求解．
解1)由已知可得点A(一6，O)，F(0，
4)，设点P(sc，)，则一(+6，)，讳：
(一4，)，由已知可得
』嘉+y2—1，
l(+6)(一4)+Y：0，
则2+93：一18—0，
得一或一一6．
由于>o，只能一导，于是一半．
所以点P的坐标是(导，)．
2)直线AP的方程是一√+6：0．
设点M(m，O)，则M到直线AP的距离是
．于是一I+6I，又一6
≤m≤6，解得m一2．
设椭圆上的点(，)到点M的距离为
d，则
d一(一2)+Y
一一4x+4+20一昔
一
4(
一
9)+15
，
由于一6≤≤6，所以当：时，取
得最小值
评注对于此类最值问题，关键是如
何将点点之间的最值问题转化成我们常见的
函数——二次函数的最值问题求解．
4视角四：求线段之和(或积)的最值问题
例4如图2，在
直线Z：—Y+9—0上
任意取一点M，经过点
一2．2
M且以椭圆+=
1厶0
1的焦点为焦点作椭
圆，问当M在何处时，
所作椭圆的长轴最短，
l／z
一
乡
图2例4图
并求出最短长轴为多少?
分析要使所作椭圆的长轴最短，当
然想到椭圆的定义．基本的解题思路如下：长
轴最短一三点一直线一寻求对称一对称变
换．在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，
使我们找到一种简明的解题方法．通过此对
称性主要利用lNFl+lNFl≥lFF1．
解椭圆的两焦点分别为F(一3，O)，
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1O数学通讯2007年第24期
F(3，O)，作F关于直线z的对称点F，则
直线FF的方程为z十Y：一3．
由方程组{z十一一’得P的坐标为由方程组{。得的坐标为
Iz—Y一，
(一6，3)，
由中点坐标公式得点的坐标为(一9，
6)，所以直线F2的方程为z+2y一3．
解方程组{z十z一3’得点M的坐标解方程组{。得点的坐标
Iz—Y一一，
(一5，4)．
由于IFF2I一丽=2a一6，
．
’
．当点M的坐标为(一5，4)时，所作椭
圆的长轴最短，最短长轴为6√5．
评注对于此类最值问题，一般利用
将所求的最值转化成三角形两边之和大于第
三边或两点连线最短、垂线段最短的思想．
5视角五：求(三角形、四边形等)面积的最
值问题
．．2
例5P，Q，M，N四点都在椭圆z+
一1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已
知茚与窟共线，与雨共线，且
茚．商一0．求四边形PMQN的面积的最
小值和最大值．
分析本题是向量与解析几何的结
合，主要是如何选择一个适当的面积计算公
式简化运算过程，并结合分类讨论与求最值．
解如图3，由条件
知MN和PQ是椭圆的两
条弦，相交于焦点F(0，
1)，且PQ上MN，直线
PQ，NM中至少有一条存
在斜率，不妨设PQ的斜
率为k，又PQ过点F(O，
P
l
一
Nj
图3例5图
1)，故PQ的方程为Y—kx+1．
将此式代入椭圆方程，得
(2+k)z+2kx一1—0．
设P，Q两点的坐标分别为(z，Y)，
(z2，Y2)，则
一是一~／2+2一是+~／2+2
西一—一—‘
从而lPQl一(z一z2)+(一Y2)
一，亦即lPQl—k一(2+)’0。一
①当k≠0时，MN的斜率为一下1
，同上
2√1+(1一1)z]
删—2。+(
一÷)
s1
一
4(2+k+1)
5+2k+
令“=忌+，得
s一52
u
=2(1一52
u
)．一上一＼上，。
’
·
’“=k+≥2，当k一±时“=2，
s一尝，且s是以“为自变量的增函数．
．
·
．百
16≤s<2
．
②当k一0时，MN为椭圆长轴，
lMNl一245，lPQl一45．
．
·
．
s：百1lPQI．IMNl一2
。
综合①，②知，四边形PMQN的面积的
最大值为2，最小值为．
评注对于此类最值问题，关键是选
择一个适当或合理的面积公式，转化成常见
函数——反比例函数形式的最值问题．
(收稿日期：2007一O7—31)
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