三角形“四心”的向量表示湖南省示范性（重点）中学洞口一中曾维勇一、外心ABCABCAB
CABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明
外心定理证明:设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC
的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．
因而称为外心．OO点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质
等相关知识巧妙结合。到的三顶点距离相等。故是解析：由向量模的定义知的外心?，选B。O是的外心若为内
一点，则是的（????）A．内心???????B．外心??????C．垂心???
???D．重心B二、垂心ABCABCABC三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。DEF
证明:AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成Δ
A′B′C′，AD为B′C′的中垂线；同理BE、CF也分别为A′C′、A′B′的中垂线
，由外心定理，它们交于一点，命题得证．证明垂心定理A′B
′C′例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。ABCD
EFH又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．证：设BE、CF交于一点H，垂心ABCO
证：设例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:求证：化简：同理：从而垂心1.O是的垂心是△ABC的
边BC的高AD上的任意向量，过垂心.例3．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的_______∵∴∴在△ABC的边BC的高AD上.P的轨迹一定通
过△ABC的垂心.所以，时，解:解:例4.（2005全国Ⅰ）点O是ΔABC所在平面上一点，
若，
则点O是ΔABC的（）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交
点（C）三条中线的交点（D）三条高线的交点则O在CA边的高线上,同理可得O在CB边的高线上.D垂心5.(2
005湖南)P是△ABC所在平面上一点，若
则P是△ABC
的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心D三、重心ABCABCABC三角形三边中线交于一
点，这一点叫三角形的重心。证明重心定理EFDG3.O是的重心为的重心.是BC边上的中线AD上的任
意向量，过重心.2.在中，给出等于已知AD是中BC边的中线;例1．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
证明:∵G是△ABC的重心即由此可得（反之亦然（证略））思考：若O为△ABC外心，G是△ABC的重心，则O为
△ABC的内心、垂心呢？例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．ABCEFD
G证：设∵A,G,D共线，B,G,E共线．∴可设即：AG=2GD同理可得：AG=2GD,CG
=2GF．重心例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．另证:ABCEF
DG重心想想看？四、内心ABCABCABCABCABC三角形三内角平分线交于一
点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明内心定理证明:设∠A、∠C的平分线相交于I,过I作ID⊥BC，
IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三
内角平分线交于一点．IIEFD1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内
心的充要条件是ACBOabc2003天津理科高考题2.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三
个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的（）
A．外心 B．内心 C．重心D．垂心B内心是∠BAC的角平分
线上的任意向量，过内心；3.（2006陕西）已知非零向量与满足
则△ABC为（）A．三边均不
相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解法一：根据四个选择项的特点，本题可
采用验证法来处理.不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时排除其他
三个选择项，故答案必选D.D解法二：由于所在直线穿过△ABC的内心，则由
(等腰三角形的三线合一定理)；又，所以,即△
ABC为等边三角形，故答案选D.注:等边三角形(即正三角形)的“外心、垂心、重心、内心、中心”五心
合一！法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法,是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向量表达式与三
角形某个“心”的关系，如所在直线一定通过△ABC的内心;所在直线过BC边的中点
，从而一定通过△ABC的重心；所在直线一定通过△ABC的垂心等.【总结】(1).是用数量积
给出的三角形面积公式;(2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.4.在△ABC中:
(1)若CA＝a，CB＝b，求证△ABC的面积(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，
求证：△ABC的面积解:ABCP思考:如图，设点O在内部
，且有则的面积与的面积的比为___________．(2004年全国奥赛题)3作AC、BC边上的中点E、D，
解1:DEABCO作AC边上的中点E，解2:思考:如图，设点O在内部，且有则的面积与的面积的比为___________．(2004年全国奥赛题)3E如图，延长OB至D，使OB=BD；解3:思考:如图，设点O在内部，且有则的面积与的面积的比为___________．(2004年全国奥赛题)3ED延长OC至E，使CE=2OC.则:2OB=OD,3OC=OE. |
|
