2012年安徽省数学高考理科压轴题的探究
●胡云浩(砀山中学安徽砀山235300)
1试题探究
例1数列{x
n
}满足x
1
=0，x
n+1
=－x
2
n
+x
n
+
c(n∈N
)．
(1)证明:{x
n
}是单调递减数列的充分必要条
件是c＜0;
(2)求c的取值范围，使数列{x
n
}是单调递增
数列．
(2012年安徽省数学高考理科试题)
这道安徽省的高考压轴题考查了函数、数列、
不等式等有关知识，综合性大、技巧性强、内蕴深
厚，是一道既考知识又考能力的好试题．本题的2
个小题一证一求，都与数列单调性的充要条件有
关．对于考查数列单调性的问题，近年来的高考试
题与竞赛题多有出现，而目前流行的解法都是就题
论题，没有给出通法．本文将从函数的观点来揭示
此类问题的命制思路，并给出求解通法．
为行文方便，约定:若数列{a
n
}由初始值a
1
与
递推式a
n+1
=f(a
n
)给出，则称函数y=f(x)为数列
{a
n
}的“原函数”．
定理1已知数列{a
n
}的“原函数”y=f(x)在
区间A上为增函数，a
n
∈A．如果f(x)＞x，f(x)=x，
f(x)＜x的解集分别为A
1
，A
0
，A
2
，则
(1){a
n
}为递增数列的充分必要条件是a
n
∈A
1
;
(2){a
n
}为常数数列的充分必要条件是a
n
∈A
0
;
(3){a
n
}为递减数列的充分必要条件是a
n
∈A
2
．
结论较浅显，请读者自行证明．
定理2已知数列{a
n
}的“原函数”y=f(x)在
区间A上为增函数，a
n
∈A．如果f(x)＞x，f(x)=x，
f(x)＜x的解集分别为A
1
，A
0
，A
2
，则
(1){a
n
}为递增数列的充分必要条件是a
1
∈A
1
;
(2){a
n
}为常数数列的充分必要条件是a
1
∈A
0
;
(3){a
n
}为递减数列的充分必要条件是a
1
∈A
2
．
证明(1)(必要性)因为{a
n
}为递增数列，
所以
a
n+1
＞a
n
，
即f(a
n
)＞a
n
，
则a
n
∈A
1
，
因此a
1
∈A
1
．
(充分性)用数学归纳法．
当n=1时，因为a
1
∈A
1
，所以
f(a
1
)＞a
1
，
即a
2
＞a
1
．
假设当n=k时，结论成立，即
a
k+1
＞a
k
．
当n=k+1时，
a
k+2
=f(a
k+1
)＞f(a
k
)=a
k+1
，
即a
k+2
＞a
k+1
．
由此可知，对于任意正整数n，都有a
n+1
＞a
n
，即
{a
n
}为递增数列．
(2)和(3)同理可证．
评注(1)定理中条件“函数y=f(x)为增函
数”不可缺少，否则数列{a
n
}不单调(易证)．
(2)从充分性的证明中可看出:当a
1
∈A
i
时，
a
n
也必须满足a
n
∈A
i
(i=1，2，3)，亦即当x∈A
i
时，f(x)∈A
i
不容忽视．
2定理应用
例1见文首．
分析(1)由题意，知数列{x
n
}的“原函数”为
f(x)=－x
2
+x+c．
因为x
1
=0且{x
n
}单调递减，所以
x
n
∈(－∞，0］．
由定理1，知x∈(－∞，0］是f(x)＞x解集的子集．
由f(x)＞x，得
x
2
＞c，
·73·第10期胡云浩:2012年安徽省数学高考理科压轴题的探究
从而c＜0．
当c＜0时，f(x)=－x
2
+x+c在x∈(－∞，0］上
单调递增，且当x∈(－∞，0］时，
f(x)=－x
2
+x+c∈(－∞，c］(－∞，0］
满足定理1的条件．由定理1知{x
n
}是单调递减数
列的充分必要条件是c＜0．
(2)由第(1)小题，知c＞0．由f(x)＞x，得
x∈(－
槡
c，
槡
c)．
由x
1
=0和定理1知，要使{x
n
}单调递增，只需
x
n
∈［0，
槡
c)且函数f(x)在［0，
槡
c)上单调递增即可．
因为函数f(x)=－x
2
+x+c的对称轴为x=
1
2
，所
以只需
槡
c≤
1
2
，即
0＜c≤
1
4
．
此时f(x)∈［c，
槡
c］［0，
槡
c)，满足定理1的条件．
由定理1知{x
n
}是单调递增数列的充分必要条件
是0＜c≤
1
4
．
评注由于数列的该性质是由函数的性质递
推给出的，因此标准答案对于充分性的证明是用数
学归纳法给出的，这也恰好体现了“递推”特色．后
面的试题都具有这种特征，将不再赘述．
例2已知数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n+1
=c－
1
a
n
．
(1)略;
(2)求使不等式a
n
＜a
n+1
＜3成立的c的取值
范围．
(2010年全国数学高考理科试题)
分析由题意知数列{a
n
}的“原函数”为
f(x)=c－
1
x
．
因为a
1
=1，a
n
＜a
n+1
＜3，所以
a
n
∈［1，3)．
由定理1知x∈［1，3)应为f(x)=c－
1
x
＞x(x＞0)
解集的子集，即为g(x)=x
2
－cx+1＜0解集的子
集，从而
g(1)＜0;
g(2)≤0
{
，
即2＜c≤
10
3
．
当2＜c≤
10
3
时，f(x)=c－
1
x
在x∈［1，3)上单调递
增，且当x∈［1，3)时，
f(x)=c－
1
x
∈c－1，c－
[)
1
3
［1，3)
满足定理1的条件．由定理1知使不等式a
n
＜
a
n+1
＜3成立的c的取值范围为2，
10
(]
3
．
例3首项为正数的数列{a
n
}满足a
n+1
=
1
4
(a
2
n
+3)，n∈N
+
．
(1)略;
(2)若对一切n∈N
+
都有a
n+1
＞a
n
，求a
1
的取
值范围．
(2009年安徽省数学高考理科试题)
分析由题意知数列{a
n
}的“原函数”为
f(x)=
1
4
(x
2
+3)．
当x＞0时，由f(x)＞x得x∈(0，1)∪(3，+∞)．
当a
1
∈(0，1)时，f(x)=
1
4
(x
2
+3)在(0，1)上单调
递增，且f(x)∈
3
4
，
()
1(0，1)满足定理2的条
件;当a
1
∈(3，+∞)时，f(x)=
1
4
(x
2
+3)在(3，
+∞)上单调递增，且f(x)∈(3，+∞)(3，
+∞)也满足定理2的条件．
由定理2知当a
1
∈(0，1)或(3，+∞)时，数列
{a
n
}为递增数列，即当a
1
∈(0，1)或(3，+∞)时，
由a
n+1
=
1
4
(a
2
n
+3)得到的数列{a
n
}对任意正整
数n，均有a
n
＜a
n+1
．故初始项a
1
的取值范围为(0，
1)或(3，+∞)．
例4数列{a
n
}满足a
n+1
=
1
2－a
n
，若对任意
正整数n均有a
n
＜a
n+1
，求a
1
的取值范围．
·83·中学教研(数学)2012年
(2008年山东省高中数学竞赛预赛试题)
分析由题意知数列{a
n
}的“原函数”为
f(x)=
1
2－x
．
由f(x)＞x，得
x∈(1，2)或(－∞，1)．
当x∈(1，2)时，f(x)=
1
2－x
单调递增且f(x)∈(1，
+∞)，此时f(x)不全在(1，2)内，因此不满足定理
2的条件;当x∈(－∞，1)时，f(x)=
1
2－x
单调递增
且f(x)∈(0，1)(－∞，1)满足定理2的条件．
由定理2知a
1
∈(－∞，1)时，数列{a
n
}为递
增数列，即当a
1
∈(－∞，1)时，由a
n+1
=
1
2－a
n
得
到的数列{a
n
}对任意正整数n均有a
n
＜a
n+1
．故初
始项a
1
的取值范围为(－∞，1)．
例5若对于初始项x
0
，由x
n+1
=
4x
n
－2
1+x
n
(n∈
N)产生的无穷数列{x
n
}，对任意正整数n均有
x
n
＜x
n+1
，求x
0
的取值范围．
(2001年上海市数学高考试题)
分析由题意知数列{x
n
}的“原函数”为
f(x)=
4x－2
1+x
=4－
6
x+1
．
由f(x)＞x，得
x∈(1，2)∪(－∞，－1)．
当x∈(－∞，－1)时，f(x)=4－
6
x+1
单调递增且
f(x)∈(4，+∞)，此时f(x)(－∞，－1)不满足
定理2的条件;当x∈(1，2)时，f(x)=4－
6
x+1
单
调递增且f(x)∈(1，2)(1，2)满足定理2的条
件．
由定理2知，当x
0
∈(1，2)时，数列{x
n
}为递
增数列，即当x
0
∈(1，2)时，由x
n+1
=
4x
n
－2
1+x
n
得到的
数列{x
n
}对任意正整数n均有x
n
＜x
n+1
．故初始项
x
0
的取值范围为(1，2)．
以上5道高考与预赛题具有相同的背景、命制
思路，真可谓是5道姊妹题，原是同根生．相比于充
斥教辅市场、数量繁多的模拟试题，高考试题是其
中的“精品”．因此，要舍得在高考试题研究上下功
夫，明晰其来龙去脉，揭示其本质特征，找到其通性
通法．唯有如此，才能使复习真正做到以不变应万
变，才能使教学有实效、高效．
一道中国香港数学奥林匹克几何赛题的三角证法
●王伯龙(彭阳县第三中学宁夏彭阳756500)
题目在Rt△ABC中，已知∠C=90°，作CD⊥
AB于点D．设O是△BCD外接圆的圆心．在△ACD
内有一圆O
1
分别与线段AD，AC切于点M，N，并与
⊙O相切．证明:
(1)BD·CN+BC·DM=CD·BM;
(2)BM=BC．
(第12届中国香港数学奥林匹克竞赛试题)
文献［1］提供的参考答案是先证明一个不易
想到的引理，然后利用托勒密定理进行解决，思路
崎岖，令人费解．其实，虽然所证的结论中涉及的线
段较多，但所给的图形比较特殊，因而更容易联想
到用解直角三角形的方法证明．
图1
证明如图1，联结
OO
1
，O
1
N，作O
1
E⊥BC，
垂足为点E．设BC=
2R，O
1
N=r，∠BCD=2θ
(R＞r)．
(1)在Rt△BCD
中，CD=2Rcos2θ，BD=
2Rsin2θ，由∠ACB=90°，CD⊥AB，得
AC=2Rcot2θ，AB=
2R
sin2θ
，
AD=2Rcos2θ·cot2θ．
在Rt△ANO
1
中，由图形的几何性质知，
∠NAO
1
=θ，故AN=rcotθ，从而
·93·第10期王伯龙:一道中国香港数学奥林匹克几何赛题的三角证法
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