周刊2010年第3期
摘要：本文作者结合教学实践，重点研究了对数函数
与指数函数的图像的交点个数的相关问题，希望能对改进相关
教学工作有所帮助。
关键词：对数函数指数函数图像交点个数
教材上有这样一个思考题：一般的，当a＞0，a≠1时，函数
y=a
x
与y=log
a
x的图像有什么关系？
根据教材上给出的图形，容易知道它们关于直线y=x对
称。那么，它们的交点有几个呢？很多资料上都没能正确回答
这个问题。例如，在南京师范大学主办的《数学之友》2005版第
18页有这样一道题。
已知0＜a＜1，方程a
|x|
=|log
a
x|的实根个数是（）。
A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个
该书给出的答案是B，如图一。这样解答正确吗？
图一
要解决这个问题，我们必须将函数y=a
x
与y=log
a
x（a＞0，a≠
1）的交点个数搞清楚。
1.当a＞1时，函数y=a
x
与y=log
a
x的图像交点是0个或1个或2个。
教材上给出了y=2
x
和y=log
2
x的图像，如图二，它们没有交
点，且都与直线y=x没有公共点。当底数a逐渐减小（a＞1）时，函
数y=a
x
与y=log
a
x图像与直线y=x逐渐“接近”，然后相切，相交
（用几何画板可以清楚地看出这一点）。
图二%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%图三%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%图四
下面，我们求a＞1时，函数y=a
x
与y=log
a
x的图像仅有一个交
点时a的值。
如图三，此时，设函数y=a
x
的图像与直线y=x相切于点
P（x
0
，y
0
），
∵（a
x
）′=a
x
·lna
∴
y
0
=x
0
y
0
=a
x
0
a
x
0
·lna=
≠
≠
≠
≠
≠1
，
∴a
x
0
=x
0
=
1
lna
=log
a
e，
∴x
0
=a
x
0
=a
log
a
e
=e，又由a
e
=e得a=e
1
e
。
由于函数y=a
x
与y=log
a
x（a＞0，a≠1）的图像关于直线y=x对
称，故当a=e
1
e
时，函数y=a
x
与y=log
a
x的图像与直线y=x相切于同
一点P（e，e）。
根据以上分析，我们知道：
当a＞e
1
e
时，函数y=a
x
与y=log
a
x的图像有0个交点。
当a=e
1
e
时，函数y=a
x
与y=log
a
x的图像有1个交点。
当1＜a＜e
1
e
时，函数y=a
x
与y=log
a
x的图像有2个交点。
2.当0＜a＜1时，函数y=a
x
与y=log
a
x的图像交点是1个或3个。
下面，我们求函数y=a
x
，y=log
a
x（0＜a＜1）的图像有一个交点
的“临界状态”时的a的值。
如图五，设函数y=a
x
，y=log
a
x（0＜a＜1）与直线y=x相交于点P
（x
0
，x
0
），此时，函数y=a
x
，y=log
a
x（0＜a＜1）在点P（x
0
，x
0
）处有相同
的切线，
∵（a
x
）′=a
x
·lna，（log
a
x）′=
1
xlnx
，
∴a
x
0
·lna=
1
x
0
·lna
，
∵x
0
=a
x
0
，
∴x
0
lna=
1
x
0
lna
，
∴x
0
·lna=-1（x
0
·lna=1舍去）。
又由log
a
x
0
=x
0
得
lnx
0
lna
=x
0
，
∴lnx
0
=x
0
·lna=-1，
∴x
0
=e
-1
，
∴lna=-
1
x
0
=-e，
∴a=e
-e
。
根据以上分析，我们知道：
当e
-e
≤a＜1时，函数y=a
x
与y=log
a
x的图像有1个交点。
当0＜a＜e
-e
时，函数y=a
x
与y=log
a
x的图像有3个交点。
回到本文开始提出的问题，当0＜a＜1时，方程a
|x|
=|log
a
x|在
区间（0，1）内的实根个数是1个或3个，在区间［1，+∞）内的实
根个数为1个，所以0＜a＜1时，方程a
|x|
=|log
a
x|的实根个数应是2
个或4个。
参考文献：
［1］单土尊.普通高中课程标准实验教科书·数学1（必修）.
江苏教育出版社，2007.6.
（泰兴市第三高级中学，江苏泰兴225400）
宗敏
对数函数与指数函数的图像的交点个数的再探讨
图五
○数学教学与研究
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