例谈立体几何中的轨迹问题上海虹口田庆涛引例如图，AB是平面?的斜线段．．．，A为斜足，若点P在平面?内运动，使得ABP?的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线本题是2008年浙江省高考题，诸如此类的立体几何中的轨迹问题在近几年各地区的模考与高考中频出，本文就高中范围内，常见轨迹产生的原理进行分析，给出立体几何中轨迹问题的两种常见的处理方法.一、平面截圆柱面所得的截线曲线在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行线所生成的曲面叫做柱面，平
行直线中的每一条直线叫做柱面的母线[1].特别地，在空间，到定直线的距离为定值的动点（或动直线）形成的轨迹为以定直线为轴的圆柱面，平面截圆柱面产生的截口轨迹通常为圆、直线、椭圆等.命题1[2]圆柱面被与圆柱的轴斜交的平面截得的截线为椭圆.如图，平面APB为圆柱面的截线，其中AB为截面与圆柱的轴截面的交线，下面证明截线为椭圆：分别作焦球与截面相切，切点分别为1F，2F，在截线上任取动点P，过P作圆柱的母线，与焦球分别切于M、N两点，连接1PF、2PF，易知1PFPM?，2PFPN?，所以有：12PFPFPMPNMN????即动点P到定点1F，2F的距离之和为定值MN，所以P的轨迹为以1F，2F为焦点，以MN为长轴长的椭圆.命题2圆柱面被平行于轴的截面截得的曲线为两条平行于轴的平行线.命题3圆柱面被垂直于轴的截面截得的曲线为圆.
二、平面截圆锥面所得的截口曲线在空间，通过一定点，且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面[1].特别地，过定直线l上的某一定点O，且与定直线l成等角（非直角）的直线族所生成的曲面为圆锥面，定直线l为圆锥面的轴，直线族中的每一条直线均为圆锥面的母线，定点O为圆锥面的顶点.圆锥面被平面截得的截口曲线可以为直线、圆、抛物线、双曲线、椭圆等.命题4[2]当截面与圆锥的轴垂直时，截面曲线为圆；当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交，且交点位于圆锥面的同一叶时，截得的曲线为椭圆；当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交，且交点位于圆锥面的不同叶中时，截面曲线为双曲线；当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线中的某一条平行时，截面曲线为抛物线.如图，平面PQL为圆锥面的截面，其中AK为截面与圆锥的轴截面的交线，做焦球与截面切于F，设P为截线上的任意动点，过P作母线与焦球切于M，易知，PMPFNB??，ANAF?，NKABJA??，所以ANABANABNBAKAJAKAJKJ?????，
结合ANNBAKKJ?，PMPFNB??，ANAF?，KJPQ?，可得：PFANePQAK??，由此，F为截线的焦点，直线LQ为截线的准线，定值ANAK为截线的离心率，直线KJ为截线的焦点轴.
P1F2FABNM
PFMONQABKLJ
ABP?
当焦点轴与圆锥面的母线平行时，1ANAK?，此时截线为抛物线；当焦点轴与轴截面的两条母线的交点位于同一叶时，01ANAK??，此时的截线为椭圆；当焦点轴与轴截面的两条母线的交点位于不同叶时，1ANAK?，此时截口曲线为双曲线.
三、立体几何中轨迹问题的两种常见处理方法（1）几何法借助曲线的定义或几何图形的特征进行识别轨迹类型的方法称之为几何法.使用几何法时，需特别关注圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义，同时还需关注被截面的类别，常见的被截面有平面、圆柱面与圆锥面等.如两平面的交线为直线，平面截圆柱面所得截口曲线可以为圆或椭圆，平面截圆锥面所得截口曲线可以为圆、椭圆、抛物线、双曲线等，具体可以结合前文的命题进行识别.（2）代数法建立坐标系，通过解析法，求出截口曲线的轨迹方程的方法称为代数法.使用代数法时，一般需要选择合适平面，建立的平面直角坐标系，在截口曲线上任取点??,Pxy，依照题中的条件，建立方程并化简，得到方程??,0fxy?（高中范围内，通常只涉及到两个变量．．．．的方程），最后结合方程的特征识别轨迹的类型.【注】偶尔会涉及到建立空间直角坐标系，但此类问题中最终的方程一般只含有两个变量.
四、立体几何中常见的轨迹问题举例（1）轨迹类型识别此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法.例1、（2006北京）平面?的斜线AB交?于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交?于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支【解析】直线l运动后形成的轨迹刚好为线段AB的垂面，由公理二易知点C刚好落在平面?与线段AB的垂面的交线上，所以动点C的轨迹是一条直线.选择A.【点评】空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，在处理问题中注意识别即可.?BCAl
AAANNNKKKK?K?
【变式】（2004重庆）若三棱锥ABCD?的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC?组成图形可能是（）A.B.C.D.【解析】显然点B点符合题目要求，在ABC?中取一点符合条件的点P?，过P?分别作平面BCD、线段AB的垂线，垂足分别为E?、F?，即有PE???PF??，连接BP?，在线段BP?上取点P??，在BPE???与BPF???中分别作PE??、PF??的平行线，分别交BE?、BA于E??、F??两点，易知，PE?????平面BCD，PFAB?????，结合相似不难得到PEPF?????????，由此可知符合条件的点P的轨迹为直线BP?，排除A、B选项，对比C、D选项，易知选择D.
【变式】如图，在正方体1111ABCDABCD?中，M为BC中点，点N在四边形11CDDC内运动，且11MNAC?，则N点的轨迹为（）A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分【解析】过N向平面ABCD作垂线，垂足为H，则ACMH?，所以H为DC中点，不难得到N点的轨迹为一条线段.
ABCABCABCABCPPPPABCDE?E??F??F?P?P??
ABCD1A1B1C1DNMABCD1A1B1C1DNMH
例2、如图，在正方体1111ABCDABCD?中，若四边形11ABCD内一动点P到1AB和BC的距离相等，则点P的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．圆的一部分C．一条线段D．抛物线的一部分【解析】由于1AB?平面11ABCD，连接OP，此即为点P到1AB的距离，由此，动点P到1AB和BC的距离相等转化为在平面内到定点（定直线外）的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹问题，符合抛物线的定义，所以本题选D.【点评】立体几何中的距离问题，往往需要借助线面垂直转化；涉及到动点的轨迹问题，优先考虑定义法.【变式1】在正方体
1111ABCDABCD?中，若平面11ABCD上一动点P到1AB与到BC的距离比为2，则点P的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】C【变式2】在正方体1111ABCDABCD?中，若平面11ABCD上一动点P到1AB与到BC的距离比为12，则点P的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．圆的一部分C．一条线段D．抛物线的一部分【答案】AABCD1A1B1C1DPO
例3、（2008浙江）如图，AB是平面?的斜线段．．．，A为斜足，若点P在平面?内运动，使得ABP?的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线【解析】考虑到三角形的面积为定值，结合线段AB固定，易知动点P到线段AB的距离为定值，结合前文定义，在空间到定直线距离为定值的点的轨迹为以定直线为轴的圆柱面，可以得到P点在此圆柱面上，又点P在平面?内运动，所以点P在平面?与圆柱面的截线上，由于AB是平面?的斜线段．．．，所以平面?与圆柱面斜交，由命题1，可以得到动点P的轨迹是椭圆，选择B.【点评】“动中寻静”，充分挖掘不变量，是解决此类问题的关键，另外需注意圆柱面的生成过程.例4、已知动点P在正方体1111ABCDABCD?的侧面11BBCC中,且满足11PDDBDD???,则动
点P的轨迹是（）的一部分A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解析】由于11PDDBDD???，所以可视点P为以1DD为轴，以1DB为母线的圆锥面上的动点，又动点P在11BBCC中，所以动点P在平面11BBCC与圆锥面的截线上，由于1//DD平面11BBCC，所以平面11BBCC与圆锥轴截面的母线的交点在不同叶上，截口曲线为双曲线，选择C.【点评】结合圆锥面生成过程，识别圆锥面是解决问题的前提，平面截圆锥面所得的截口曲线的识别，需关注截面与圆锥轴截面母线的位置关系，辩证识别.【变式】（2014上海八校联考）设B、C是定点，且均不在平面?上，动点A在平面?上,
且1sin2ABC??，则点A的轨迹为（）A.圆或椭圆B.抛物线或双曲线C.椭圆或双曲线D.以上均有可能【解析】由1sin2ABC??，可知ABC?为固定角，由于B、C是定点，可视点A为以直线BC为轴，AB为母线的圆锥面上的动点，又动点A在平面?上，所以点A在平面?与圆锥面的截线上，由于截面与母线的位置关系不定，所以截线可以为圆、椭圆、双曲线、抛物线等，本题选择D.
ABP?ABCD
1A1B1C1DP
例5、如图，在矩形ABCD中，E为边AD上的动点，将ABE?沿着直线BE翻转成1ABE?，使平面1ABE?平面ABCD，则点1A的轨迹是（）A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.以上都不是【解析】将ABE?沿着直线BE翻转成1ABE?的过程中，1AB的长度始终是保持不变的，这样，点1A在以B为球心，以AB为半径的球面上，所以点1A的形成轨迹为圆弧，选择B.【点评】在空间，到定点的距离为定长的点的轨迹为球，球的概念生成的两个必要条件为定点与定长，解题时注意把控.例6、已知正方体1111ABCDABCD?的棱长为1，点P是平面ABCD内的动点，若点P到直线
11AD的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线【解析】本题从几何的角度很难找到突破口，可以尝试从代数的角度处理：如图，建立直角坐标系xDy??，设??,Pxy，则有21yx??化简可得：221xy??，即动点P的轨迹所在的曲线为双曲线，选择B.【点评】“数缺形式少直观，形缺数时难入微”，轨迹问题更是如此，从几何角度不好入手时，可以尝试从代数的角度，利用解析法求解出相应轨迹，不失为此类问题解决的好方法.
【变式1】已知正方体1111ABCDABCD?的棱长为1，M在棱AB上，且13AM?，点P在平面ABCD上，动点P到直线11AD的距离的平方与点P到点M的距离的平方的差为1，则点P的轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线【解析】涉及到数值的具体量化，采用代数法，建立如图所示的直角坐标系xAy??，设??,Pxy，则有????22211103xxy????????????化简可得：
22139yx??，故点P的轨迹为抛物线，选择A.
ABCD1AEABCD
1A1B1C1DMPxyQNABCD
1A1B1C1DMPxyABCD1A1B1C1DMP
【变式2】四棱锥PABCD?，AD?面PAB，BC?面PAB，底面ABCD为梯形，2BCAD?，APDCPB???，则四棱锥的顶点P的轨迹是（）A．圆B．不完整的圆C．抛物线D．抛物线的一部分【解析】结合题中的条件易知2PDPA?，在平面PAD内符合“阿氏圆．．．”定义，考虑到P不能在直线AD上，故顶点P的轨迹是不完整的圆，选择B.（2）与轨迹相关的度量与轨迹相关的度量，具体涉及到轨迹长度，轨迹面的面积，轨迹体的体积，以及与轨迹相关的角度、距离、周长等.例1、在棱长为1的正方体
1111ABCDABCD?中，,MN分别为1AC、11AB的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长为________.【解析】依照题意，只需过点M作直线BN的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点P的轨迹.分别取1CC、1DD中点G、H，易知BN?平面AGHD，过M作平面AGHD的平行平面EFGH??，点P所构成的轨迹即为四边形EFGH??，其周长与四边形AGHD的周长相等，所以点P所构成的轨迹的周长为25?.【点评】本题中面面的交线（截痕）即为动点P的轨迹，处理问题的关键抓住线面垂直，进行合理转化.
例2、已知正方体1111ABCDABCD?的棱长为3，长为2的线段MN点一个端点M在1DD上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的表面积为_________，体积为_________．【解析】线段MN移动中，MDN?始终为直角三角形，所以112PDMN??，即动点P到定点D的距离为定值，故点P的轨迹为以D为球心，1为半径的球，考虑到与正方体围成的几何体为18球，所以几何体的体积为6?，表面积为18球面外加三个扇形的面积，表面积为54?.【点评】识别动点轨迹是进行量化的前提，本题中涉及球的概念识别.ABCD1A1B1C1DNMP
ADCBPABCD1A1B1C1DNMABCD
1A1B1C1DNMEG?FHGH?
例3、正方体1111ABCDABCD?的棱长为1，P为侧面11BBCC内的动点，且2PAPB?，则P点在四边形11BBCC内形成轨迹图形的长度为_________．【解析】符合“球——在空间到两定点距离之比为定值（定值不为1）的点的轨迹”的定义，所以P点在空间形成的轨迹被平面11BBCC截得的轨迹为圆，涉及到具体长度，需要代数法进行量化，建立如图所示的空间直角坐标系：设??,0,Pxz，依照题意，则有：222221xzxz????化简可得：2213xz??，所以在平面11BBCC内的轨迹为以B为圆心，以33为半径的圆，在四边形
11BBCC内形成轨迹刚好为14圆周，轨迹程度为36?.【点评】在平面内，到两定点的距离之比为定值（且定值不为1）的点的轨迹为圆；此结论最早由希腊数学家阿波罗尼斯发现，后人常称此圆为阿氏圆.类似的，在空间，到两定点距离之比为定值（且定值不为1）的点的轨迹为球（证明略）.例4、正方体1111ABCDABCD?中，面11ABBA上的点P到直线11,ABAD的距离相等，且PAPB?，则AC与AP所成角的大小为_________.【解析】在平面11ABBA内，点P到直线11,ABAD的距离相等，所以点P在以
1A为焦点，AB为准线的抛物线上，又PAPB?，所以点P在线段AB的垂直平分线上，由此可以确定点P的位置，进而进行量化计算.如图所示，设正方体的棱长为2，则54PQ?，22AC?，414AP?，1054PC?，由余弦定理，则有282cos41PAC??，所以AC与AP所成角的大小为282arccos41.【点评】找到P点的位置是解决本题的关键，后面只需构造三角形，解三角形即可.
ABCD1A1B1C1DPxABCD1A1B1C1DPyzABCD
1A1B1C1DPABCD1A1B1C1DQ
例5、已知直线l?平面?，垂足为O，在矩形中ABCD，1AD?，2AB?，若点A在l上移动，点B在平面?上移动，则O、D两点间距离的最大值为（）A.5B.322?C.3D.21?【解析】点A在l上移动，点B在平面?上移动过程中，AB的中点M到O点的距离始终保持不变，即AB的中点始终在以O为球心，1为半径的球面上.由此可以采用几何法处理，如图，连接OD、MO、MD，易知OMMDOD??，所以OD的最大值为21OMMD???，选择D.
本题亦可采用代数法求解，如图所示建立坐标系，设OBA???，其中0,2?????????，则有????222222sincossinODOAAHHD?????????化简可得222sin234OD???????????所以??2222321OD????，即21OD??.【点评】利用几何法解决问题，关键抓住几何要素，本题中线段的中点在球面上是几何法解决问题的突破口.利用代数法解决问题时，选择合适的建系方案，尽可能的简化运算.
【变式1】（2015上海13校联考）直线m?平面?，垂足为O，正四面体ABCD的棱长是4.点C在平面?上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A.425425,22??????????B.222,222??????C.322322,22??????????D.322,322??????【解析】如图所示，易知122OMBC??，由此可知，线段BC的中点的轨迹为以O为球心，2为半径的球，随着,BC的移动变化，BC始终与球相交，结合异面直线BC与AD之间的距离为22，要使点O到直线AD的距离取最值，需O到BC的距离最大，此时BC与球O相切，由此可得点O到直线AD的距离的取值范围是222,222??????.m?OCBADM?ABCDOm
?ABCDOlOABCDM??21OADHCBxy
【变式2】（2012温州一模）如图，直线l?平面?，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为4，C在平面?内，B是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面?上的射影面积为（）A．422?B．222?C．4D．43【解析】分别取BC、AD的中点M、N，由变式1可知，当O到AD的距离为最大时，O、M、N三点共线，且OMBC?，OM与?所成的角为4?，222ON??，此时正四面体在平面?上的射影为等腰三角形OEF，底为4，高为??222sin224?????，所以射影的面积为422?.结束语
立体几何中轨迹问题以及与轨迹相关的度量问题，可以综合采用几何法与代数法处理，采用几何法时，需要抓住几何不变量，熟悉一些常见曲线定义及其生成过程，以及常见的截口曲线的类型；使用代数法，要建立合适的坐标系，尽可能的简化运算，最后，在个别问题中，还需要注意纯粹性与完备性.参考文献[1]吕林根许子道解析几何[M].高等教育出版社，2012.2[2]蒋声圆锥曲线的几何性质[M].上海教育出版社，2002.2[3]范剑云立体几何中的轨迹问题[J].中国科教创新导刊，2010年，第18期.?
ABCDOl?ABCDOlNMFE
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