数学解题中审题策略
主讲汤文兵
课程目标：1。培养学生审题的良好习惯。
2．根据现代认知心理学的观点，培养学生主体探索意识。
涉及学科：数学、哲学。
课时数：30课时
考核方式：考试
第一、二课时
一、审题是数学解题思维过程中的重要环节
1审题的意义
审题是解题的第一步，细致深入的审题是解题成功的必要前提。缺乏审题训练的解题，距高考对学生审题能力的要求相差甚远。平时必须重视并培养良好的审题习惯与审题能力。
2审题的任务
（1）发现信息：对题目的文字和附图读几遍，先粗后细充分地获取信息。
例1：设a、b是实常数，当k取任意实数时，函数
y=（k2+k+1）x2-2（a+k）2x+（k2+3ak+b）的图象与x轴交于点A（1，0）
求a、b的值
若函数图象与x轴的另一交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值。
(2)记录信息：当题目的信息被感知进，通常需要将其中一部分信息进行分类和重新组合。做到有序多样力图将所有信息生动地呈现在你的视野。
例2：已知椭圆ｃ：1(a>b>0)A、B，直线L：y=x+k（k＞0）上有两点Ｃ、Ｄ，ABCD构成正方形，并且这个正方形的外接圆方程为x2+y2-2x-8＝0，求直线L和椭圆Ｃ的方程。
3）
例3已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R，a≠0）若方程f（x）=x无实数根。求证：方程f（f（x））=x也无实数根
（1）细致准确(2)全面深刻
4某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元。但每生产一百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元。市场对此商品的年需求量为5百台，销售收入函数为R（X）=5x-x20≤x≤5）其中是产品售出的数量。（单位：百台）
年产量为多少时，企业所得利润最大？
年产量是多少时，企业才为亏本？
例5．椭圆C的方程为m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆上总有不同两点关于直线l对称。
6．某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=-30x+400
若每吨的平均出厂价为16万元，求年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求最大利润。
已知二次函数的图象关于直线ｘ＋2＝0对称,且与ｙ＝2ｘ+1相切,又二次函数图象在ｘ轴上截得的线段长为2,求二次函数解析式。
P＝{y|y=x2,x∈R}Q＝{y|y=2-|x|,x∈R}求P∩Q=———
3.设f（x）是定义在区间（-,+2为周期的函数，对k∈Z,，用表示区间（2k－1，2k＋1]，已知当X∈Ｉ0f（x）＝X
(1)求f（x）在Ｉk
(2)对自然数k，求集合Ｍk{a|使方程f(x)=ax在Ik}
4．已知圆Ｃ：（x-1）2y-2）225直线
2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0(m∈R)
(1)证明：不论m取任何实数，直线L与圆恒有两个交点
(2)求直线L被圆Ｃ截得最短长度及相应的m值
第三、四课时
二、审题策略指导
如何全面地、正确地把握问题的已知、所求、领悟问题的条件与结论提供的信息，是解题迅速的必要条件，审题宜从以下四个方面进行。
明确你的问题的条件与结论，做到以下五点：
(1)全面、深刻、确切地理解题目的明显条件
(2)不要遗漏题目中的“次要”条件.
(3)要尽可能把已知条件直观化、形象化.
(4)善于把已知条件作适合解题需要的转换.
(5).要充分挖掘隐含条件.
7．若点Pm,n）在直线y=-x-图象上（其中a，b，c为直角三角形的三边长，c为斜边），则m2+n2的最小值为________
例8、非负实数x、y、z满足x2+y2+z2最小值
例9．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）方程f（x）-x=0的两个实根x1x20＜x1x2＜
(1)当x（0，x1x＜f（x）＜x1
(2)设函数f（x）的图象关于直线x=x0x0＜
例10已知x2+y21求证|х2+2ху-у2|≤
11已知x＝af(x）+bf((x≠0,|a|≠|b|,a≠0,b≠0)求f(x）
13．已知a、b、c、d∈R求证：
+++（a+b+c+d）
2．灵活地进行符号语言、图形语言、日常用语的转换
符号语言比较简洁、严谨，它有利于正确表达和进行推理。
图形语言易于引起清晰的视觉形象，它能直观地表示概念、定理的本质及相互之间的关系。在抽象的数学思维面前，它起着具体化和帮助理解的作用。
曰常用语比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，有助于启迪思路。
数学思维的主要武器是数学语言，在解题过程中选择哪一种语言进行思维又是因题而异，因人而异，而且各种语言之间又是互相渗透，如果各种语言不能熟练掌握或者不能灵活运用，就会使本来不难的变难、变繁。
符号语言的转换
例14．设集合A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,mZ},C={(x,y)|x2+y2≤144},问是否存在实数a,b，使①A∩B≠Φ；②（a，b）∈C同时成立？
15．如果实数x、y满足＝2，那么_________
(2)文字语言的转换
16．某地现有耕地1000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％。如果人口增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=总产量÷耕地面积，人均粮食占有量=总产量÷总人口数）
17．A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往C、D两村。如果从A城运往C、D两地的运费分别是20元/吨和25元/吨，从B城运往C、D两地运费分别为15元/吨与22元/吨。已知C地需要220吨，D280吨。如果个体户承包了这次运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最少？
3）图形语言的转换
18．已知ABCD是正方形，在BC边上取一点E，连结AE又AF平分∠DAE交CD于F。
AE＝BF＋DFDFC
E
E
AB
(4)各种语言之间的渗透与灵活转换
试图将问题换个说法，说给你自己听，做到：
Ⅰ．隐晦的语言说得明确些；
Ⅱ．繁复的问题说得简要些；
Ⅲ．抽象的问题说得具体些；
Ⅳ．表象的问题说得深实些；
Ⅴ．难于正面说的问题从反面去说。
例19．已知f(x)＝3sin(x+)（其中k≠0）
1）求f(x)的最大值与最小值
2）设对任意的－3≤C≤3，在任意两个正数之间存在这样的x,使f(x)＝C求满足此条件的最小正数k。
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为２和４的矩形，求圆柱体的体积
2．用适当方法表示坐标平面第二、四象限内到原点的距离不大于２
3．已知偶函数f(x)在[0,π]上是增函数,那么必有
A.f(-π)>f(-2)>f(-)B.f(-π)>f(-)>f(-2)
C.f(-)>f(-2)>f(-π)D.f(-2)>f(-)>f(-π
4．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B从流出，设箱体的长度为a米，高设为b米，已知流出的水中该杂质量分数与a、b的乘积成反比，现有制箱材料60平方米，问a、b如为多少米时，经溶液后流出的水中该杂质的质量分数最小。（A、B两孔的面积忽略不计）
5．设x、y都是实数，且++y
求：-的值
6．对直线mn和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是
A.m⊥nm//αn//βB.m⊥n,α∩β=mm
C.m//n,n⊥β,mαD.m//n,m⊥α,n⊥β
7．设是第二象限角，则必有
A．tg>ctgB.tg
C.sin>cosD.sin
8．在测量某种物理的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1a2an共n个数值，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”aa与各数据的差的平方和最小，以此规定，从推出aa2、……an推出ａ＝
9．在△ABC中已知sinA=,cosB=cosC
10．已知过球面上A、B、C、三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是（）
A．B．C.4πD.π
11．设圆锥底面圆周上两点A、B的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为AB和圆锥的距离为1，则该圆锥的体积为
12．如果函数y＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=-a＝
13．函数f(x)=(a>0,a≠1,a为常数)定义域是实数集R，求实数m的取值范围。
14．在球面上有四点，P、A、B、C如果PA、PB、PC两两垂直PA＝PB＝PC＝a那么这个球的表面积是
15．已知f(x)在（-,+a.b∈R
（1）证明：a+b≥0则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
2）、（1）的逆命题是否成立？
第五、六课时
关键字句的斟酌
为了考核学生观察能力，分析能力，检查学生对概念中各项条件的理解，了解学生对基本技能和逻辑推理的掌握程度，在数学题编拟时，往往要变换概念的表现形式，精简命题从条件到结论的中间环节，肢解命题的各项条件之间的联系，隐去问题涉及的数学思想及背景，审题时需透过字句发掘这些本质与规律。
所谓关键字句，主要包括以下五个方面：
概念中容易疏忽的限定词（如椭圆的定义中2a＞2c）；
问题中易疏忽的特殊位置和可能情况；
相近的基本概念之间的细微差异；
定理、公式成立的每一项前提或条件；
例20．已知函数f(x)=log2(x+1)，当点（x,y）在y=f(x)P（,2y），在y=g(x)的图象上运动(t∈R)
(1)求y=g(x)的解析式；
(2)若在x∈[0,1]时,恒有g(x)≥f(x)成立,求实数t的取值范围；
(3)当t=4求x∈[0，1]时，g(x)-f(x)的最小值；
21．设A(x,y)为曲线y=|-1|B(0，b)(b≥0)为y轴上的定点，A与B的距离为d，写出d的最小值的解析式f(b).
审题的成功与否要求我们能摆脱问题的外表的特征、细节，具体的数字，重点审明它的结构的内在联系，注重对问题整体性的联想与考察。
例22．a，b为常数，a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0。并且方程
f（x）=x有两个不相等的实数根。
1）求f（x）的解析式。
2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[2m，2n]
23．当a为何值时，不等式
-loga+1）·log5x2+ax+6）+loga3≥0有且只有一个解？
24．设f（x）是[0，1]上的不减函数（即对于0≤x1x2≤1，有f（x1f（x2)且满足
1）f(0)=0（2）f()=3）f(1-x)=1-f(x)
f()的值。
25．设a，b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根。求a+b及log2a+2b
练习题三
1．已知函数y=log3(x2+ax-a)的值域为R，求实数a的取值范围。
2．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，又是单调递减函数，当0≤θ≤f(cos2θ-4t)+f(4tsinθ-3)≥0求t的取值范围。
3．设集合A={x|x2+ax+1=0}且A∩R+=Φ求实数a
4．圆台的母线和底面成30°角，轴截面面积为2，求圆台侧面积
5．已知函数y＝(sinx-cosx)2cos2x，求函数周期和值域
．已知xy=x+y+1x,y∈R+x+y≥2+2
7．已知x≠yx,y∈R+x3-y3=x2-y2求证：1
9．设函数f(x)=x2+ax+3对x∈[-2,2],设有f(x)≥a求a的取值范围。
第七、八课时
三、审题的几个注意点
1要善于变换。
例26．求所有的实常数p的值，使得函数[1，2]。
27．(1)若a.b∈R+a+b=3,求+
（2)设a<0，2a2+3b210，求y=aa与b的值。
2要善于联想。
例28．设f(x)=f()+f()+……+f()的值。
29．已知x2+y2=6x+8y,求d＝+
例30．设实数x，y满足|x|＜1，|y|＜1。求证：
很多题目已知条件与结论之间的联系不明显，较难直接沟通，要善于发掘隐含条件，揭示问题思路。
例31．如果方程(-)x2+(-)x+(-)=0有两个相等的实数根，则,,
例32．设a，b是实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实数根。求实数a，b使a2+b2
4要善于启动逆向与创新思维。
例33已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中，a为正整数，当a为何值时，此方程至少有一个整根。
在解题过程中以及解题结束后，有时以必须重新审查问题的条件与结论，注意是否在推理过程中发生改变。
例34．已知一个等比数列的前四项之积为。求这等比数列的公比。
例35．f（x）在[0，1]上有定义，且对任何x1x2∈[0，1]有
|f（x1-f（x2|≤|x1-x2|。若f（0）=f（1），证明：
x1，x2∈[0，1]有|f（x1-f（x2|≤
练习四：
求函数y=的值域。
求y=arcsinx+arctgx的值域
++……+<(n∈N)
两个不同的点P、Q在曲线y=x2y=m(x-3)对称，求m的取值范围
x,y∈R+，且x+y>2,求证:
中至少一个小于2。
6．设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1)
(1)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤
(2)求a的值，使函数f(x)有最大值
13
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