2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）
数学（理科）
沈阳命题：沈阳市第四中学孙玉才沈阳市第二十中学金行宝
沈阳市第九中学付一博沈阳市第一二0中学潘戈
沈阳市回民中学庞红全沈阳市第二十八中学陶慧
沈阳主审：沈阳市教育研究院王恩宾
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（）
（A）（B）（C）（D）
2.设复数（是虚数单位），则=（）
（A）（B）（C）（D）
已知=1,=，且，则向量与向量的夹角为（）
（A）（B）（C）（D）
4.已知△中，内角A，B，C的对边分别为,，，则△的面积为（）
（A）（B）1（C）（D）2
5.已知，，则函数
为增函数的概率是（）
（A）（B）（C）（D）
6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输出的S为
，则判断框中填写的内容可以是()
（A）（B）（C）（D）
7.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多
面体的三视图，则该多面体的体积为（）
（A）（B）（C）（D）
8.已知直线与抛物线交于两点，点，若，则实数（）
（A）（B）（C）（D）
9.对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数：①对任意的，恒有；②当时，总有成立，则下列函数不是函数的是（）
（A）（B）（C）（D）
10.在平面直角坐标系中，若满足，则当取得最大值时，点的坐标是（）
（A）（B）（C）（D）
11.已知与函数的交于点若函数在点处的切线过左焦点，则的离心率是A） （B） （C） （D）
12.若对，不等式恒成立，则实数的最大值是（）
（A）（B）1（C）2（D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
13.函数()的单调递增区间是__________．
14.的展开式中常数项为．
15.已知定义在上的偶函数在单调递增，且，则不等式的解集是．
16.同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则的值是．
三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)数列，项的和为，且满足.
()求是等差数列；
(Ⅱ)证明：当时，.
18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点AB和PD中点.
(Ⅰ)求证：直线AF平面PEC；
(Ⅱ)PC与平面PAB所成角的正弦值.
(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 (Ⅰ)？
(Ⅱ)若上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的12号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮次，和，试求和的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆:的上顶点为，且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：过椭圆:上一点的切线方程为；
（Ⅲ）从圆上一点向椭圆引两条切线，切点分别为,当直线分别与轴、轴交于、两点时，求的最小值.
21.（本小题满分12分）
若定义在上的函数满足，
，R.
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近.当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
为圆的直径，，为
圆的切线，，为切点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若圆的半径为2，求的值.
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
中，圆的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）已知，圆上任意一点，求△面积的最大值.
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．
2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）
数学（理科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一．选择题
（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5)B；（6）C；（7）D；（8）B；
（9）D；（10）D；（11)A；（12）D．
二.填空题
（13）；（14）；(15)；（16）.
三.解答题
（17）解：（Ⅰ）当时，，…………………2分
.，
从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.………………………………6分
（Ⅱ）由（1）可知，，.………8分
当时，.……10分
从而.…12分
（18）解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.
∵点F为PD中点，∴.∵，∴，
∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，
∵，
∴直线AF平面PEC.……………6分
(Ⅱ).
如图建
P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0),
A(，，0)，
∴，.…8分
设平面PAB的一个法向量为.
∵，，∴，，则，
∴平面PAB的一个法向量为.
设向量∵，
∴，
∴PC平面PAB所成角的正弦值为.…………………………12分解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，
甲班的方差，乙班的方差，
因为甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定
(Ⅱ)可能取0,1,2
，，，
所以分布列为：
0 1 2 P 数学期望
可能取0,1,2
，，，
所以分布列为：
0 1 2 P
数学期望，，，
椭圆方程为.………………………………………2分
（Ⅱ）法一：椭圆:，当时，，
故，
当时，.……………4分
切线方程为，
，.…………………………6分
同理可证，时，切线方程也为.
当时，切线方程为满足.
综上，过椭圆上一点的切线方程为.……………………7分
解法2.当斜率存在时，设切线方程为，联立方程：
可得，化简可得：
，①
由题可得：，……………………4分
化简可得：，
①式只有一个根，记作，，为切点的横坐标，
切点的纵坐标，所以，所以，
所以切线方程为：，
化简得：.……………………………6分
当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程，
综上：在点处的切线方程为.
（其它解法可酌情给分）…………………………7分
（Ⅲ）设点为圆上一点，是椭圆的切线，切点，过点的椭圆的切线为，过点的椭圆的切线为.
两切线都过点，.
切点弦所在直线方程为.……………………9分
，，
.
当且仅当，即时取等，
，的最小值为.……………………………………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），所以，即．
又，所以，
所以．……………………………………4分
（Ⅱ），
.……………5分，
①当时，，函数在上单调递增；.……………6分
时，由得，
∴时，，单调递减；时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．.……………8分，
，在上为减函数，又，
当时，，当时，.
，，
在上为增函数，又，
时，，在上为增函数，
.
①当时，，
设，则，在上为减函数，
，
，，，比+更接近.
②当时，，
设，则，，
在时为减函数，，
在时为减函数，，
，比+更接近.
综上：在时，比+更接近.……………………………12分
(22)解：(1)连接是圆的两条切线，，
,又为圆的直径，，
,,即得证，……5分
(2),,△∽△，
.…………………………………………………………10分
(23)解：（1）圆的参数方程为（为参数）
所以普通方程为…………………………………………2分
圆的极坐标方程：…………………5分
（2）点到直线：的距离为………………………6分
………………………7分
△的面积
………………………9分
所以△面积的最大值为………………………10分
(24)解：（1），………………………2分
当
当
当
综上所述．………………………5分
（2）易得，若，恒成立，
则只需，
综上所述．………………………10分
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高三数学（理科）第14页（共14页）
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