1
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何
解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学
生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、
难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，
另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风
破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设??2|8150Axxx????，??|10Bxax???，若ABB?，求实数a组成的集
合的子集有多少个？
【易错点分析】此题由条件ABB?易知BA?，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易
忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
解析：集合A化简得??3,5A?，由ABB?知BA?故（Ⅰ）当B??时，即方程10ax??无
解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B??时，即方程10ax??的解为3或5，代入得13a?或15。
综上满足条件的a组成的集合为110,,
35??????
，故其子集共有328?个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝Ｂ?A∩B＝Ａ?ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，
将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．
（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语
言）和自然语言之间的转化如：????22,|4Axyxy???，
????????222,|34Bxyxyr?????，其中0r?,若AB??求r的取值范围。将集合所表达
的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）
为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利
用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
【练1】已知集合??2|40Axxx???、????22|2110Bxxaxa??????，若BA?，
则实数a的取值范围是。答案：1a?或1a??。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知??22214yx???,求22xy?的取值范围
【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、
y满足??22214yx???这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
2
解析：由于??22214yx???得(x+2)2=1-42y≤1，∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12=
+328因此当x=-1时x2+y2有最小值1,当x=-38时，x2+y2有最大值328。故x2+y2的取值范围是[1,328]
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件??22214yx???对x、y的限制，
显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，22y???。此外本题还可通过三角换元
转化为三角最值求解。
【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线22
214xyb????0b?
上变化，则22xy?的最大值为
（）
（A）??
??
2404
4
24
bb
bb
?????
??
??
（B）??
??
2402
4
22
bb
bb
?????
??
??
（C）244b?（D）2b
答案：A
【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例3、??2112x
xafx????
是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数??1fx?
【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
解析：（1）利用????0fxfx???（或??00f?）求得a=1.
（2）由1a?即??2121x
xfx???
，设??yfx?,则??211xyy???由于1y?故12
1xyy???
，
11
2log
yyx???，而??21
21xxfx?????211,121x?????所以????
111
2log11
xxfxx???????
【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函
数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。
（2）应用1()()fbafab????可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和
函数值要互换。
【练3】（2004全国理）函数????111fxxx????的反函数是（）
A、??2221yxxx????B、??2221yxxx????
C、??221yxxx???D、??221yxxx???
3
答案：B
【易错点4】求反函数与反函数值错位
例4、已知函数??121xfxx???，函数??ygx?的图像与??11yfx???的图象关于直线yx?对
称，则??ygx?的解析式为（）
A、??32xgxx??B、??21xgxx???C、??12xgxx???D、??32gxx??
【易错点分析】解答本题时易由??ygx?与??11yfx???互为反函数，而认为??11yfx???的
反函数是??1yfx??则??ygx?=??1fx?=????12132
11xxxx???????
而错选A。
解析：由??121xfxx???得??112xfxx????从而??????11121
211xxyfxx???????????
再求
??11yfx???的反函数得??21xgxx???。正确答案：B
【知识点分类点拔】函数??11yfx???与函数??1yfx??并不互为反函数，他只是表示??1fx?
中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设??1yfx??则??11fyx???，
??11xfy???再将x、y互换即得??1yfx??的反函数为??11yfx???，故??1yfx??的
反函数不是??11yfx???，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log2x的反函数是y=f-1(x)，则函数y=f-1(1-x)的图象是（）
答案：B
【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。
例5、判断函数??2lg1()
22
xfx
x
??
??
的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：????2lg1()
22
xfxfx
x
????
??
从
4
而得出函数??fx为非奇非偶函数的错误结论。
解析：由函数的解析式知x满足210
22xx
?????
?????
即函数的定义域为????1,00,1?定义域关于原点对称，
在定义域下????2lg1xfxx???易证????fxfx???即函数为奇函数。
【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断
函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。
（2）函数??fx具有奇偶性，则????fxfx??或????fxfx???是对定义域内x的恒等式。常
常利用这一点求解函数中字母参数的值。
【练5】判断下列函数的奇偶性：
①??2244fxxx????②????11
1xfxxx????
③??1sincos1sincosxxfx?????
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
例6、函数??2221
211log22
xxfxxx??????????
??或
的反函数为??1fx?，证明??1fx?是奇函数且在
其定义域上是增函数。
【思维分析】可求??1fx?的表达式，再证明。若注意到??1fx?与??fx具有相同的单调性和奇偶性，
只需研究原函数??fx的单调性和奇偶性即可。
解析：??212121212121222logloglogxxxxxxfx???????????????fx??，故??fx为奇函数从而??fx?为
奇函数。又令21212121xtxx??????在1,
2?????????
和1,
2????????
上均为增函数且2logty?为增函数，
故??fx在1,
2?????????
和1,
2????????
上分别为增函数。故??1fx?分别在??0,??和??,0??上分别为
增函数。
【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数
的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。
（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即
1()()fbafab????。
【练6】（1）（99全国高考题）已知()2xxeefx???，则如下结论正确的是（）
5
A、??fx是奇函数且为增函数B、??fx是奇函数且为减函数
C、??fx是偶函数且为增函数D、??fx是偶函数且为减函数
答案：A
（2）（2005天津卷）设??1fx?是函数??????11
2xxfxaaa????
的反函数，则使??11fx??成立的x的
取值范围为（）A、21(,)2aa???B、21(,)2aa???C、21(,)2aaa?D、(,)a??
答案：A（1a?时，??fx单调增函数，所以??????????2111111
2afxffxfxfa?????????
.）
【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。
例7、试判断函数????0,0bfxaxabx????的单调性并给出证明。
【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义
12,xDxD????????????1212fxfxfxfx??中的12,xx的任意性。以及函数的单调区间必是
函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。
解析：由于????fxfx???即函数??fx为奇函数，因此只需判断函数??fx在??0,??上的单调性
即可。设120xx??，??????12
121212axxbfxfxxxxx????
由于120xx??故当
12,,bxxa
???????
??
时????120fxfx??，此时函数??fx在,b
a????????
上增函数，同理可证
函数??fx在0,b
a??????
上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在,0b
a???????
为减函数，在
,ba?????????为增函数。综上所述：函数??fx在,ba?????????和,ba????????上分别为增函数，在
0,ba??????和,0ba???????上分别为减函数.
【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应
引起足够重视。
（2）单调性的定义等价于如下形式：??fx在??,ab上是增函数????12
120
fxfxxx????，??fx在
??,ab上是减函数????12
120
fxfxxx????，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两
6
点????????1122,,,xfxxfx连线的斜率都大于（小于）零。
（3）????0,0bfxaxabx????是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不
能说??fx在,b
a?????????,ba????????
上为增函数，在0,b
a??????,0ba???????
上为减函数,在叙
述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”，
【练7】（1）（潍坊市统考题）????10xfxaxaax????（1）用单调性的定义判断函数??fx在
??0,??上的单调性。（2）设??fx在01x??的最小值为??ga，求??yga?的解析式。
答案：（1）函数在1,
a????????
为增函数在10,
a??????
为减函数。（2）????
??
121
01
aayga
aa
????
????
???
（2）（2001天津）设0a?且??x
xeafxae??
为R上的偶函数。（1）求a的值（2）试判断函数在??0,??
上的单调性并给出证明。
答案：（1）1a?（2）函数在??0,??上为增函数（证明略）
【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误
结论。
例8、（2004全国高考卷）已知函数??3231fxaxxx????上是减函数，求a的取值范围。
【易错点分析】??????0,fxxab???是??fx在??,ab内单调递减的充分不必要条件，在解题过程
中易误作是充要条件，如??3fxx??在R上递减，但??230fxx????。
解析：求函数的导数??2361fxaxx????（1）当??0fx??时，??fx是减函数，则
????23610fxaxxxR??????故00a??????解得3a??。（2）当3a??时，
??33218331339fxxxxx???????????????易知此时函数也在R上是减函数。（3）当3a??时，
在R上存在一个区间在其上有??0fx??，所以当3a??时，函数??fx不是减函数，综上，所求a
的取值范围是??,3???。
【知识归类点拔】若函数??fx可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①0)(??xf
7
与)(xf为增函数的关系:0)(??xf能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数3)(xxf?在
),(????上单调递增，但0)(??xf，∴0)(??xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。②
0)(??xf时，0)(??xf与)(xf为增函数的关系:若将0)(??xf的根作为分界点，因为规定
0)(??xf，即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有0)(??xf。∴当0)(??xf时，
0)(??xf是)(xf为增函数的充分必要条件。③0)(??xf与)(xf为增函数的关系:)(xf为增函数，
一定可以推出0)(??xf，但反之不一定，因为0)(??xf，即为0)(??xf或0)(??xf。当函数在
某个区间内恒有0)(??xf，则)(xf为常数，函数不具有单调性。∴0)(??xf是)(xf为增函数的
必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上
三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单
调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
因此本题在第一步后再对3a??和3a??进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条
件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思
维的严密性。
【练8】（1）（2003新课程）函数2yxbxc???????0,x???是是单调函数的充要条件是（）
A、0b?B、0b?C、0b?D、0b?
答案：A
（2）是否存在这样的K值，使函数??243221232fxkxxkxx?????在??1,2上递减，在??2,??
上递增？
答案：12k?。（提示据题意结合函数的连续性知??20f??，但??20f??是函数在??1,2上递减，
在??2,??上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由??20f??求出K值后要检验。）
【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量
值是否在定义域限制范围之内。
例9、已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+a1)2+(b+b1)2的最小值。
错解:(a+a1)2+(b+b1)2=a2+b2+
21a
+
21b
+4≥2ab+ab2+4≥4
abab1?
+4=8∴(a+a1)2+(b+b1)2的最小
值是8
【易错点分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=21,第
二次等号成立的条件ab=ab1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
8
解析：原式=a2+b2+
21a
+
21b
+4=(a2+b2)+(
21a
+
21b
)+4=[(a+b)2-2ab]+[(a1+b1)2-ab2]+4
=(1-2ab)(1+
221ba
)+4由ab≤(2ba?)2=41得：1-2ab≥1-21=21,且
221ba
≥16，1+
221ba
≥17
∴原式≥21×17+4=225(当且仅当a=b=21时，等号成立)∴(a+a1)2+(b+b1)2的最小值是225。
【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三
相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。
【练9】（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h,
已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平
方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
答案为:（1）????20sybvavcv????（2）使全程运输成本最小，当
ba
≤c时，行驶速度v=
ba
；
当
ba
＞c时，行驶速度v=c。
【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函
数的真数的限制条件。
例10、是否存在实数a使函数??2logaxxafx??在??2,4上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说
明理由。
【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数
函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。
解析：函数??fx是由??2xaxx???和??logxay??复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方
法（1）当a>1时，若使??2logaxxafx??在??2,4上是增函数，则??2xaxx???在??2,4上是增函
数且大于零。故有
??
12
2
2420
a
a?
???
?????
?
解得a>1。（2）当a<1时若使??2logaxxafx??在??2,4上是增
函数，则??2xaxx???在??2,4上是减函数且大于零。
??
14
2
41640
a
a?
???
?????
?
不等式组无解。综上
所述存在实数a>1使得函数??2logaxxafx??在??2,4上是增函数
【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二
次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的
范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对
数型函数还要注意定义域的限制）。
9
【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设0a?，且1a?试求函数2log43ayxx???的的单调区
间。
答案：当01a??，函数在31,
2???????
上单调递减在3,4
2??????
上单调递增当1a?函数在31,
2???????
上单调
递增在3,4
2??????
上单调递减。
（2）（2005高考天津）若函数??????3log0,1
afxxaxaa????
在区间1(,0)
2?
内单调递增，则a的
取值范围是（）A、1[,1)
4
B、3[,1)
4
C、9(,)
4??
D、9(1,)
4
答案：B.（记??3gxxax??，则??2''3gxxa??当1a?时，要使得??fx是增函数，则需有??''0gx?
恒成立，所以213324a?????????.矛盾.排除C、D当01a??时，要使??fx是函数，则需有??''0gx?恒
成立，所以213324a?????????.排除A）
【易错点11】用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．
例11、已知1sinsin3xy??求2sincosyx?的最大值
【易错点分析】此题学生都能通过条件1sinsin3xy??将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换
元的思想令sintx?将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成
错解，
解析：由已知条件有1sinsin3yx??且??1sinsin1,13yx????（结合??sin1,1x??）得
2sin13x???，而2sincosyx?=1sin3x?2cosx?=22sinsin3xx???令
2sin13txt??????????则原式=222133ttt???????????根据二次函数配方得：当23t??即
2sin3x??时，原式取得最大值49。
【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高
学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一
个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和
设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标
准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的
变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的
形式，把复杂的计算和推证简化。
【练11】（1）（高考变式题）设a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和
10
最小值。
答案：f(x)的最小值为－2a2－22a－12，最大值为
1
20
2
2
22212222
()
()
??
????
?
?
??
?
?
?
a
aaa
（2）不等式x>ax＋32的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
答案：1,368ab??（提示令换元xt?原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为??2,b）
【易错点12】已知nS求na时,易忽略n＝１的情况．
例12、（2005高考北京卷）数列??na前n项和ns且
1111,3nnaas???
。（1）求234,,aaa的值及数列
??na的通项公式。
【易错点分析】此题在应用ns与na的关系时误认为1nnnass???对于任意n值都成立，忽略了对n=1
的情况的验证。易得出数列??na为等比数列的错误结论。
解析：易求得
2341416,,3927aaa???
。由
1111,3nnaas???
得??
1123nnasn???
故
??111112333nnnnnaassan???????得??1423nnaan???又11a?，213a?故该数列从第
二项开始为等比数列故
??
??2
11
142
33
nn
n
an?
???
?????
??????
。
【知识点归类点拔】对于数列na与ns之间有如下关系：????1
1
1
2nnn
sna
ssn?
?????
????
利用两者之间的关系
可以已知ns求na。但注意只有在当1a适合??12nnnassn????时两者才可以合并否则要写分段函数
的形式。
【练12】（2004全国理）已知数列??na满足????112311,2312nnaaaaanan?????????
则数列??na的通项为。
答案：（将条件右端视为数列??nna的前n-1项和利用公式法解答即可）??
??
11
!2
2
n
n
ann
???
????
?
【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子
集（从1开始）
11
例13、等差数列??na的首项10a?，前n项和ns，当lm?时，mlss?。问n为何值时ns最大?
【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大
值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。
解析：由题意知ns=????2
111222nnddfnnadnan????????????
此函数是以n为变量的二次函
数，因为10a?，当lm?时，mlss?故0d?即此二次函数开口向下，故由????flfm?得当
2lmx??时??fx取得最大值，但由于nN??，故若lm?为偶数，当2lmn??时，ns最大。
当lm?为奇数时，当12lmn???时ns最大。
【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上
的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公
式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如2nsanbn??所对应的数列也必然是等差数列的前
n项和。此时由nsanbn??知数列中的点,nsn
n??????
是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如
前n项和nnscac??所对应的数列必为一等比数列的前n项和。
【练13】（2001全国高考题）设??na是等差数列，ns是前n项和，且56ss?，678sss??，则下列
结论错误的是（）A、0d?B、70a?C、95ss?D、6s和7s均为ns的最大值。
答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）
【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。
例14、已知关于的方程230xxa???和230xxb???的四个根组成首项为34的等差数列，求
ab?的值。
【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如
何排列的。
解析：不妨设34是方程230xxa???的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程
230xxa???的另一根是此等差数列的第四项，而方程230xxb???的两根是等差数列的中间两
项，根据等差数列知识易知此等差数列为：3579,,
44,44
故2735,1616ab??从而ab?=318。
【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性
质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列??na，若qpmn???，则qpmnaaaa???；
12
对于等比数列??na，若vumn???，则vumnaaaa???；若数列??na是等比数列，nS是其前n
项的和，Nk?，那么kS，kkSS?2，kkSS23?成等比数列；若数列??na是等差数列，nS是其前n
项的和，Nk?，那么kS，kkSS?2，kkSS23?成等差数列等性质要熟练和灵活应用。
【练14】（2003全国理天津理）已知方程220xxm???和220xxn???的四个根组成一个首项
为14的等差数列，则mn?=（）A、1B、34C、12D、38
答案：C
【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况
例15、数列}{na中，11?a，22?a，数列}{1??nnaa是公比为q（0?q）的等比数列。
（I）求使32211???????nnnnnnaaaaaa成立的q的取值范围；（II）求数列}{na的前n2项的和nS2．
【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从
定义出发研究条件数列}{1??nnaa是公比为q（0?q）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数
列而找不到解题突破口。使思维受阻。
解：（I）∵数列}{1??nnaa是公比为q的等比数列，∴qaaaannnn121????，2132qaaaannnn????，
由32211???????nnnnnnaaaaaa得221111qqqaaqaaaannnnnn????????，即
012???qq（0?q），解得2510???q．
（II）由数列}{1??nnaa是公比为q的等比数列，得q
aaqaaaannnnnn???????2121
，这表明数列}{na的
所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又11?a，22?a，∴当1?q时，
nS2nnaaaaaa2124321?????????
)()(2642321nnaaaaaaaa????????????
qqqqaqqa
nnn
?????????1)1(31)1(1)1(21
，当1?q时，
nS2nnaaaaaa2124321?????????
)()(2642321nnaaaaaaaa????????????
13
n3)2222()1111(?????????????．
【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中q
aann??2
是解题的关键，这种给出数列
的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，
解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种
特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。
【练15】（2005高考全国卷一第一问）设等比数列??na的公比为q，前n项和0ns?（1）求q的取值范
围。
答案：????1,00,???
【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法
或解答结果不到位。
例16、．（2003北京理）已知数列??na是等差数列，且11232,12aaaa????
（1）求数列??na的通项公式（2）令??nnnbaxxR??求数列??nb前项和的公式。
【思维分析】本题根据条件确定数列??na的通项公式再由数列??nb的通项公式分析可知数列??nb是一
个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。
解析：（1）易求得2nan?
（2）由（1）得2nnbnx?令ns?232462nxxxnx????（Ⅰ）则
??23124212nnnxsxxnxnx???????（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得
??231122222nnnxsxxxxnx????????当1x???11211nnnxxsnxxx??????????
??
当
1x?时??24621nsnnn???????
综上可得：
当1x???112
11
n
nnxxsnxxx??????????
??
当1x?时??24621nsnnn???????
【知识点归类点拔】一般情况下对于数列??nc有nnncab?其中数列??na和??nb分别为等差数列和等
比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来
求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。
【练16】（2005全国卷一理）已知
1221nnnnnnuaabababb???????????,0,0nNab????当ab?时，求数列??na的
14
前n项和ns
答案：1a?时????
??
212
2
122
1
nn
n
nanaaas
a
????????
?
当1a?时??32
nnns??
.
【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的
规律不清，导致多项或少项。
例17、求?nS??????321121111…n??????3211．
【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵
消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。
解：由等差数列的前n项和公式得2)1(321??????nnn?，∴
)111(2)1(23211?????????nnnnn?，n取1，2，3，…，就分别得到3211,211,11???，…，
∴?nS)
111(2)4131(2)3121(2)211(2?????????nn?
12)111(2?????nnn．
【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三
个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同
是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求
nn216314212112222?????????
，方法还是抓通项，即
)211(21)2(1212??????nnnnnn，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，
如：
11???nnan
，求其前n项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式
法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
【练17】（2005济南统考）求和1212
2
2???
nS
＋1414
2
2??＋1616
2
2??＋…＋
1)2(1)2(2
2
??nn
．
答案：??????????715115131131111
nS
…?121121??nn＝122?nnn．
【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。
例18、（2004年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若首项?1a32，公差1?d，求满足2)(
2kkSS?
的正整数k；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有2)(
2kkSS?
成立.
【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)
时极易根据条件“对于一切正整数k都有2)(
2kkSS?
成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数
列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立
15
的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。
解：（I）当1,23
1??da
时nnnnndnnnaS
n????????21212)1(232)1(
由22242)
21(21,)(2kkkkSSkk????得
，即0)
41(3??kk
又4,0??kk所以.
（II）设数列{an}的公差为d，则在2)(
2nnSS?
中分别取k=1,2,得
??
????
????
?
??
???
?
?
211
211
224
211
)2122(2344
,
,)()(dada
aa
SS
SS即
由（1）得.1011??aa或当,60)2(,01???dda或得代入时
若21)(,0,0,0,0kknnSSSada?????从而则成立,
若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331???????nnSSSnada,)(239Ss?故所得
数列不符合题意.当20,)2(64)2(,121??????dddda或解得得代入时
若;)(,,1,0,121
2成立从而则kknnSSnSada?????
若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1nnnSSnnSnada????????????.
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an}:an=0，即0，0，0，…；②{an}:an=1，即1，1，1，…；③{an}:an=2n－1，即1，3，5，…，
【知识点归类点拔】事实上，“条件中使得对于一切正整数k都有2)(
2kkSS?
成立.”就等价于关于k的方
程的解是一切正整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想
解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般
的关系。
【练18】（1）（2000全国）已知数列??nc,其中23nnnc??,且数列??1nncpc??为等比数列.求常数p
答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p的方程，再说明p值对任意自然数n
都成立）
【易错点19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其
是直线与圆锥曲线相交时更易忽略.
例19、已知双曲线224xy??，直线??1ykx??，讨论直线与双曲线公共点的个数
【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，
则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而
主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。
解析：联立方程组??
22
1
4
ykx
xy
?????
????
消去y得到??22221240kxkxk?????（1）当210k??时，
即1k??，方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。（2）当
??22104430kk???????????时即233k??，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当
??22104430kk???????????时，方程组有两个交点此时232333k???且1k??。（4）当
??22104430kk???????????时即233k?或233k??时方程组无解此时直线与双曲线无交点。
（1）
（2）
16
综上知当1k??或233k??时直线与双曲线只有一个交点，当232333k???且1k??。时
直线与双曲线有两个交点，当233k?或233k??时方程组无解此时直线与双曲线无交点。
【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应
于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法
的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但
只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分
条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。
【练19】（1）（2005重庆卷）已知椭圆1c的方程为2214xy??，双曲线2c的左右焦点分别为1c的左右
顶点，而2c的左右顶点分别是1c的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线:2lykx??与椭
圆1c及双曲线2c恒有两个不同的交点，且与2c的两个交点A和B满足6lOAOB??，其中O为原
点，求k的取值范围。答案：（1）2213xy??（2）133113131,,,,1
15322315????????????????????????????????????
（2）已知双曲线C：，过点P（1，1）作直线l,使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有
____条。答案：4条（可知kl存在时，令l:y-1=k(x-1)代入1422??yx中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-
(1-k2)-4=0,∴当4-k2=0即k=±2时，有一个公共点；当k≠±2时，由Δ=0有25?k，有一个切点另：当kl
不存在时，x=1也和曲线C有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线）
【易错点20】易遗忘关于sin?和cos?齐次式的处理方法。
例20、已知2tan??，求（1）????sincossincos??；（2）????22cos2cos.sinsin??的值.
【思维分析】将式子转化为正切如利用221sincos????可将（2）式分子分母除去sin?即可。
解：（1）223
21
21
tan1
tan1
cos
sin1
cos
sin1
sincos
sincos???
?
??
?
??
?
?
?????
?
?
?
?
??
??；
(2)????????????????
22
2222cossincos2cossinsincos2cossinsin
3
24
12
222
1cossin
2cossincossin
2
2
2
2
??
?
???
???
??????
?.
【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就
会使解题过程简化。2222(1sincossectan????????tancot???
17
这些统称为1的代换)常数“1”的种种代换有着广泛的应用．
【练20】．（2004年湖北卷理科）
已知)
32sin(],,2[,0cos2cossinsin622??????????????求
的值.
答案：6531326??（原式可化为02tantan62?????，??22
3tan1tan2
sin231tan????????????????）
【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答。
例21、如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时
报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为8410?米)
【易错点分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n项,易误理解为是比等比数列的前n项和。
解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列na，则数列na是以31a=0.0510?米
为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项
公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010,而地球和月球间的距离为4×108<5.63×1010故可建一
座桥。
【知识点归类点拔】以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及
到等差或者等比数列的前n项和或第n项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。
【练21】（2001全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅
游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为
400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入
（1）an=800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n－1=?
?
n
k1
800×(1－51)k－1=4000×［1－(54)n］
bn=400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k－1=?
?
n
k1
400×(45)k－1=1600×［(45)n－1］
（2）至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入
【易错点22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将
角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。
例21、下列命题正确的是（）
18
A、?、?都是第二象限角，若sinsin???，则tantan???B、?、?都是第三象限角，若
coscos???，则sinsin???C、?、?都是第四象限角，若sinsin???，则
tantan???D、?、?都是第一象限角，若coscos???，则sinsin???。
【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或270到360度
之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识
而使思维受阻。
解析：A、由三角函数易知此时角?的正切线的数量比角?的正切线的数量要小即tantan???B、同
理可知sinsin???C、知满足条件的角?的正切线的数量比角?的正切线的数量要大即
tantan???。正确。D、同理可知应为sinsin???。
【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体
现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数
线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面
有着一定的优越性。例如利用三角函数线易知0,,sintan
2??????????????
，sincos1????
等。
【练22】（2000全国高考）已知sinsin???，那么下列命题正确的是（）
A、若??、都是第一象限角，则coscos???B、若??、都是第二象限角，则tantan???
B、若??、都是第三象限角，则coscos???D、若??、都是第四象限角，则tantan???
答案：D
【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将?和?求错。
例23．要得到函数sin2
3yx?????????
的图象，只需将函数1sin2yx?的图象（）
A、先将每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向右平移3?个单位。
B、先将每个x值缩小到原来的14倍，y值不变，再向左平移3?个单位。
C、先把每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个6?单位。
D、先把每个x值缩小到原来的14倍，y值不变，再向右平移6?个单位。
19
【易错点分析】1sin2yx?变换成sin2yx?是把每个x值缩小到原来的14倍，有的同学误认为是扩
大到原来的倍，这样就误选A或C，再把sin2yx?平移到sin2
3yx?????????
有的同学平移方向错了，
有的同学平移的单位误认为是3?。
解析：由1sin2yx?变形为sin2
3yx?????????
常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将
1sin2yx?的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14倍得到函数2sin2yx?的图象，
再将函数2sin2yx?的图象纵坐标不变，横坐标向右平移6?单位。即得函数sin2
3yx?????????
。
或者先进行相位变换，即将1sin2yx?的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移23?个单位，得到
函数121sinsin
2323yxx??????????????????
的图象，再将其横坐标变为原来的4倍即得即得函数
sin23yx?????????的图象。
【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由sinyx?得到
??sinyAwx???的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由sinyx?横坐标不变，纵坐标变
为原来的A倍得到sinyAx?，再进行周期变换即由sinyAx?纵坐标不变，横坐标变为原来的1?
倍，得到sinyAwx?，再进行相位变换即由sinyAwx?横坐标向左（右）平移?
?
个单位，即
得??sinsinyAxAx????
???????????
，另种就是先进行了振幅变换后，再进行相位变换即由
sinyAx?向左（右）平移?个单位，即得到函数??sinyAx???的图象，再将其横坐标变为
原来的1?倍即得??sinyAwx???。不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹
的变量x来说的。
【练23】（2005全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的
20
A、横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移?个单位长度。B、横坐标缩短为原来的12倍
（纵坐标不变），再向左平移?个单位长度。C、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左
平移?个单位长度。D、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移?个单位长度。
答案：C
【易错点24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。
例24、已知??0,???，7sincos13????求tan?的值。
【易错点分析】本题可依据条件7sincos13????，利用sincos12sincos????????可
解得sincos???的值，再通过解方程组的方法即可解得sin?、cos?的值。但在解题过程中易忽视
sincos0???这个隐含条件来确定角?范围，主观认为sincos???的值可正可负从而造成增解。
解析：据已知7sincos13????（1）有1202sincos0169?????，又由于??0,???，故有
sin0,cos0????，从而sincos0????即17sincos12sincos13????????（2）
联立（1）（2）可得125sin,cos1313????，可得12tan5??。
【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中
要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在??0,?区
间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数
线可知若0,
2?????????
则必有sincos1????,故必有,
2??????????
。
【练24】（1994全国高考）已知??1sincos,0,5???????，则cot?的值是。
答案：34?
【易错点25】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函
数名称不适当造成错解。
例25、若510sin,sin510????，且?、?均为锐角，求???的值。
【易错点分析】本题在解答过程中，若求???的正弦，这时由于正弦函数在??0,?区间内不单调故满
足条件的角有两个，两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难，但若求???的余弦就不易
出错，这是因为余弦函数在??0,?内单调，满足条件的角唯一。
21
解析：由510sin,sin510????且?、?均为锐角知解析：由510sin,sin510????且?、
?均为锐角知25310cos,cos510????,则??253105102cos5105102????????由
?、?均为锐角即??0,?????故?????
【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小，一定要转化为确定该角的某个三角函数值，再根据此三
角函数值确定角这是求角的必然步骤，在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称
同时要注意尽量用已知角表示待求角，这就需要一定的角的变换技巧如：????2?????????等。
二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。
【练25】（1）在三角形ABC中，已知35sin,cos513AB??，求三角形的内角C的大小。
答案：16arccos65（提示确定已知角的余弦值，并结合已知条件确定角A的范围）
（2）（2002天津理，17）已知cos（α＋4?）＝2,53?≤α＜23?，求cos（2α＋4?）的值.
答案：cos2+cos2
444??????????????????????????
=－50231
【易错点26】对正弦型函数??sinyAx????及余弦型函数??cosyAx????的性质：如图象、
对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。
例26、如果函数sin2cos2yxax??的图象关于直线8x???对称，那么a等于（）
A.2B.－2C.1D.－1
【易错点分析】函数??sinyAx????的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y轴平行，而
对称中心是图象与x轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当8x???时，y=0，导致解答出错。
解析：（法一）函数的解析式可化为??21sin2yax????，故y的最大值为21a?，依题意，
直线8x???是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即sincos
44a?????????????????
21a??，解得1a??.故选D
22
（法二）依题意函数为??21sin2arctanyaxa???,直线8x???是函数的对称轴,故有
2arctan,82akkz???????????????，即：3arctan4ak????，而arctan,22a??????????
故arctan4a???，从而1a??故选D.
（法三）若函数关于直线8x???是函数的对称则必有??0
4ff?????????
，代入即得1a??。
【知识点归类点拔】对于正弦型函数??sinyAx????及余弦型函数??cosyAx????它们有无
穷多条对称轴及无数多个对称中心，它们的意义是分别使得函数取得最值的x值和使得函数值为零的x值，
这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。
【练26】（1）（2003年高考江苏卷18）已知函数)0,0)(sin()(??????????xxf上R上的偶函数，
其图象关于点)0,
43(?M
对称，且在区间]2,0[?上是单调函数，求?和ω的值.
答案：2,23?????或2。
（2）（2005全国卷一第17题第一问）设函数的??????sin2fxx?????????，
??yfx?图象的一条对称轴是直线8x??，求?答案：?=34??
【易错点27】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形
解的个数。
例27、在ABC?中，30,23,2BABAC????。求ABC?的面积
【易错点分析】根据三角形面积公式，只需利用正弦定理确定三角形的内角C，则相应的三角形内角A即
可确定再利用1sin2sbcA
??
即可求得。但由于正弦函数在区间??0,?内不严格格单调所以满足条件的
角可能不唯一，这时要借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。
解析：根据正弦定理知：sinsinABACCB?即232sinsin30C
??
得3sin2C?，由于
sin30ABACAB???即满足条件的三角形有两个故60C??或120?.则30A??或90?故相应
的三角形面积为1232sin3032s??????或1232232???.
【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内
在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）
已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间??0,?内不严格格单调，此时
三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在ABC?中，
已知a,b和A解的情况如下：
23
（1）当A为锐角
（2）若A为直角或钝角
【练27】（2001全国）如果满足60ABC???，2AC?，BCk?的三角表恰有一个那么k的取值
范围是（）A、83B、012k??C、12k?D、012k??或83k?
答案：D
【易错点28】三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不够。
例28、（1）（2005湖南高考）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、
B、C的大小.
【易错点分析】本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思
维受阻或解答出现增解现象。
解法一由0sin)cos(sinsin???CBBA得.0)sin(cossinsinsin????BABABA
所以.0sincoscossincossinsinsin????BABABABA即.0)cos(sinsin??AAB
因为),,0(??B所以0sin?B，从而.sincosAA?由),,0(??A知.4??A从而?43??CB.
由.0)
43(2cossin02cossin?????BBCB?得
即.0cossin2sin.02sinsin????BBBBB亦即
由此得.125,3,21cos?????CBB所以,4??A.125,3???CB
解法二：由).2
23sin(2cossin02cossinCCBCB???????得
由B?0、??c，所以
.22223??????CBCB或即.22232??????BCCB或由
0sin)cos(sinsin???CBBA得.0)sin(cossinsinsin????BABABA
所以.0sincoscossincossinsinsin????BABABABA即.0)cos(sinsin??AAB
因为0sin?B，所以.sincosAA?由.4),,0(????AA知从而?43??CB，知B+2C=23?不
合要求.再由?212??BC，得.125,3????CB所以,4??A.125,3????CB
2、（北京市东城区2005年高三年级四月份综合练习）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，
24
且.2coscoscabCB???（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若4,13???cab，求△ABC的面积.
【思维分析】根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。
（Ⅰ）解法一：由正弦定理R
CcBbAa2sinsinsin???
得.sin2,sin2,sin2CRcBRbARa???将
上式代入已知.
sinsin2sincoscos2coscosCABCBcabCB??????得
即
.0sincoscossincossin2???BCBCBA.0)sin(cossin2???CBBA故A+B+C=?，
.0sincossin2.sin)sin(??????ABAACBBBA??.21cos,0sin????为三角形的内
角，?
32??B
.
解法二：由余弦定理得bcacbCacbcaB2cos,2cos222222??????将上式代入
.2222coscos222222cabcbaabacbcacabCB???????????得整理得.222acbca????
BacacacbcaB?????????.2122cos222为三角形的内角，?32??B.
（Ⅱ）将?
32,4,13????Bcab
代入余弦定理Baccabcos2222???得
.3).211(21613,cos22)(22??????????acacBacaccab.343sin21????BacSABC
【知识点归类点拔】三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。对正余弦定理的考查主要涉及
三角形的边角互化（如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或
角的关系是解三角形的常规思路），三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等
都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇，体现了高考命题的原则。
【练28】（1）（2004年北京春季高考）在?ABC中，a，b，c分别是???ABC，，的对边长，已知
a，b，c成等比数列，且acacbc22???，求?A的大小及bBcsin的值。
答案：60A???，sin32bBc?
（2）（2005天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条
件222bcbca???和132cb??。求∠A和tanB的值。
答案：60A???，1tan2B?
【易错点29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。
例29、解关于x的不等式2)1(??xxa＞1(a≠1).
【易错点分析】将不等式化为关于x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。
25
解：原不等式可化为：
2)2()1(????xaxa
＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.
当a＞1时，原不等式与(x－12??aa)(x－2)＞0同解.若12??aa≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若12??aa
＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞，12??aa)∪(2，+∞).
当a＜1时，若a＜0，解集为(12??aa，2)；若0＜a＜1，解集为(2，12??aa)
综上所述：当a＞1时解集为(－∞，12??aa)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，12??aa)；当a=0时，
解集为?；当a＜0时，解集为(12??aa，2).
【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立
意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.
(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.
(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字
母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.
【练29】（2005年江西高考）已知函数2()(,xfxabaxb??为常数）,且方程()120fxx???有两个
实根为123,4.xx??
（1）求函数()fx的解析式；（2）设1k?,解关于x的不等式：(1)()2kxkfxx????
答案：2()(2).2xfxxx???①当12k??时,解集为(1,)(2,);k??②当2k?时,不等式为
2(2)(1)0xx???解集为(1,2)(2,);??③当2k?时,解集为(1,2)(,).k??
【易错点30】求函数的定义域与求函数值域错位
例30、已知函数??????22lg32215fxmmxmx??????????（1）如果函数??fx的定义域为
R求实数m的取值范围。（2）如果函数??fx的值域为R求实数m的取值范围。
【易错点分析】此题学生易忽视对232mm??是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面
对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。
解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值????2232215mmxmx?????0?恒
成立，令??????2232215gxmmxmx??????，当232mm??=0时，即1m?或2。经
26
验证当1m?时适合，当2320mm???时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需
2320
0mm????????
解之得1m?或94m?综上所知m的取值范围为1m?或94m?。
（2）如果函数??fx的值域为R即对数的真数????2232215mmxmx?????能取到任意的正
数，令??????2232215gxmmxmx??????当232mm??=0时，即1m?或2。经验证
当2m?时适合，当2320mm???时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需
2320
0mm????????
解之得924m??综上可知满足题意的m的取值范围是924m??。
【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行
讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要
认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题
中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值
必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。
【练30】已知函数??????221212fxaxax?????的定义域和值域分别为R试分别确定满足
条件的a的取值范围。答案：（1）1a?或3a??（2）31a???或1a??
【易错点31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活
应用程度。
例31、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+a1)(b+b1)≥425.
【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a+a1和b+b1不能同时取得等号，本题可有如下证
明方法。
证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab
≤41或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤41，从而得证.
证法二：(均值代换法)设a=21+t1，b=21+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜21，|t2|＜21
.
4
25
4
1
16
25
4
1
2
3
16
25
4
1
)
4
5
(
4
1
)1
4
1
)(1
4
1
(
)
2
1
)(
2
1
(
)1
4
1
)(1
4
1
(
2
1
1)
2
1
(
2
1
1)
2
1
(11
)
1
)(
1
(
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
11
21
2
22
2
11
2
2
2
1
2
122
??
?
??
?
?
??
?
?
??????
?
??
??????
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
????
t
tt
t
tt
t
tttt
tt
tttt
t
t
t
t
b
b
a
a
b
b
a
a
显然当且仅当t=0，即a=b=21时，等号成立.
证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤41
27
4
25)1)(1(
04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222
????
???????????????
bbaa
ab
abab
ab
abba
b
b
a
a
bbaa
证法四：(综合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤
41
.
4
251)1(
41
16
251)1(
16
9)1(
4
3
4
111222????
???
???
?
???
???
?
?
???
?????????abab
ab
ab
abab
425)1)(1(???bbaa即
证法五：(三角代换法)∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，2?)
.
4
25
)
1
)(
1
(
4
25
2sin4
)2sin4(
4
1
2sin
1
25162sin24
.3142sin4,12sin
2sin4
16)sin4(
2sin4
2cossin2cossin
)
cos
1
)(cos
sin
1
(sin)
1
)(
1
(
2
22
2
2
22
2
22
2
2244
2
2
2
2
????
?
?
??
?
?
?
?
???
??????
??
?
???
??????
b
b
a
a
b
b
a
a
即得
?
?
?
?
??
?
?
?
????
?
?
?
?
?
【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本
的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过
程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.
(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关
系，可以增加解题思路，开扩视野.
2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.
换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最
重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说
清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.
证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思
维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.
【练31】（2002北京文）数列??nx由下列条件确定：?
??????????????Nnxaxxaxnnn,21,011
（1）证明：对于2n?总有nxa?,（2）证明：对于2n?，总有1nnxx??.
【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找
解题思路。
例32、已知二次函数()fx满足(1)0f??，且21()(1)2xfxx???对一切实数x恒成立.(1)
28
求(1)f；(2)求()fx的解析式；(3)求证：
1
12()2n
i
nfkn
????
().nN?
【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互
转化的意识，解题找不到思路。
解：（1）由已知令1x?得：211(1)(11)12f????(1)1.f??
（2）令2()(0)fxaxbxca????由1)1(,0)1(???ff得：
01abcabc?????????11,22bca????即211()22fxaxxa????则21()(1)2fxx???
对任意实数x恒成立就是2
2
110
22
(12)20
axxa
axxa
??????
??
?????
对任意实数恒成立，即：
2
1
2
2
0,120
1(2)0
2
(41)0
aa
a
a
????
??
?????
?
??????
11,44ac???则2111()424fxxx???
（3）由（2）知21()(1)4fxx??故
2144()(1)(2)(1)fkkkk?????
114()12kk????
1
1111114(()23341n
ifkn??????????)2n???
22nn??故原不等式成立．
【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念
和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中
的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）
来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，
引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方
程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次
方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
【练32】（2005潍坊三月份统考）已知二次函数2()fxaxbxc???(,,)abcR?，满足
(1)0f??；且对任意实数x都有()0fxx??；当(0,2)x?时有2(1)(),4xfx??（1）求
(1)f的值；（2）证明0,0;ac??（3）当[1,1]x??时，函数()gx?()()fxmxmR??是
29
单调的，求证：0m?或1.m?
（1）(1)1.f?（2）运用重要不等式（3）略
【易错点33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。
例33、记??2fxaxbxc???，若不等式??0fx?的解集为??1,3，试解关于t的不等式
????282ftft???。
【易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方
程20axbxc???的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在??2,??上是增函数。
解析：由题意知??????????1213fxaxxxaxx??????，且0a?故二次函数在区间??2,??
上是增函数。又因为288,22tt????，故由二次函数的单调性知不等式????282ftft???
等价于282tt???即260tt???故3t?即不等式的解为：33t???。
【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点
内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、
涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。
【练33】（1）（2005辽宁4月份统考题）解关于x的不等式]1)2([log)1(log42????xax)1(?a
答案：当21??a时，解集为}212|{????xaxax或当2?a时，解集为}223|{??xxx且
当2?a时解集为}212|{axxax????或。
（2）（2005全国卷Ⅱ）设函数??fx|1||1|2????xx,求使??fx≥的22的x取值范围。
答案：x取值范围是),43[??
【易错点34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识，忽视其步骤
的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在。
例34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强
度对鱼群总量的影响。用nx表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且1x＞0。不考虑其它因素，设在
第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与nx成正比，死亡量与2nx成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，
c。（Ⅰ）求1nx?与nx的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当1x，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的
总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意1x∈（0,2），都有nx＞0，nN?，
则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。
【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。2005年高考主要涉及两种
类型应用题，一种类型为概率，另一种为数列。给我们信息：数学越来越贴近生活，数学越来越强调实用
性,我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练；可见，高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、
向量等工具结合，这是将来高考的方向，
【解析】（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax，被捕捞量为bx，死亡量为
2ncx因此21nnnnnxxaxbxcx?????即??11nnnxabcxnN??????。
30
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则nx恒等于1x，nN?，从而由上式得??nnxabcx??恒等
于零,nN?故10abcx???即
1abxc??
因为1x>0，所以ab?.猜测：当且仅当ab?，且
cbax??1
时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得nx>0，nN?，由??13nnnxxbx????知03nxb???,nN?特
别地，有103xb???.即103bx???，而1x∈(0,2)，所以]1,0(?b，由此猜测b的最
大允许值是1.下证当1x∈(0,2)，b=1时，都有nx∈(0,2),nN?。①当n=1时，结论显
然成立.②假设当n=k时结论成立，即kx∈(0,2),则当n=k+1时，??120kkkxxx????.又因为
????2121112kkkkxxxx?????????.所以1kx?∈(0,2)，故当n=k+1时结论也成立.由
①、②可知，对于任意的nN?，都有nx∈(0,2).综上所述，为保证对任意1x∈(0,2),都有nx>0，
nN?，则捕捞强度b的最大允许值是1.
【知识点归类点拔】归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全
归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有
的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后
归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有
着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递
推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依
据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两
个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是
n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以
此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问
题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
【练34】（2005年全国卷Ⅰ统一考试理科数学）
（Ⅰ）设函数)10()1(log)1(log)(22??????xxxxxxf，求)(xf的最小值；
（Ⅱ）设正数
npppp2321,,,,?
满足12321?????
npppp?
，证明
npppppppp
nn??????222323222121loglogloglog?
答案：（Ⅰ）11
2f????????
（Ⅱ）用数学归纳法证明。
31
（2）（2005高考辽宁）已知函数).1(13)(?????xxxxf设数列na{}满足)(,111nnafaa???，
数列nb{}满足).(|,3|21NnbbbSabnnnn????????
（Ⅰ）用数学归纳法证明
12)13(???n
n
nb
；（Ⅱ）证明.332?
nS
【易错点35】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。
例35、下列命题：
①422||)()(aaa??②bcacba?????)()(③|a·b|=|a|·|b|④若a∥bb,∥,c则a
∥c⑤a∥b，则存在唯一实数λ，使ab??⑥若cbca???，且c≠o，则ba?⑦设21,ee
是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a，都存在唯一一组实数x、y，使21eyexa??成立。⑧
若|a+b|=|a－b|则a·b=0。⑨a·b=0，则a=0或b=0真命题个数为（）
A．1B．2C．3D．3个以上
【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用
向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如认为向量的数量
积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。
解析：①正确。根据向量模的计算2aaa??判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因
为根据数量积和数乘的定义()acb??表示和向量b共线的向量，同理()abc??表示和向量c共线的向
量，显然向量b和向量c不一定是共线向量，故()()abcacb?????不一定成立。③错误。应为
abab??④错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。⑤错误。应加
条件“非零向量a”⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b和向量b在向量c方
向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向
量21,ee是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即
四边形为矩形。故a·b=0。⑨错误。只需两向量垂直即可。
答案：B
【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条
件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с
和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ(交换律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）
＝ａ·（λｂ）(数乘结合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с(分配律)说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)
с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0?ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）
（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ，(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
【练35】（1）（2002上海春，13）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定．．．成立的是（）
32
A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）·c=a·c+b·cC.m（a+b）=ma+mbD.（a·b）c=a（b·c）
（2）(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（a·b）c－（c·a）b=0②|a|－|b|<|a－b|③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直④（3a+2b）
（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（）
A.①②B.②③C.③④D.②④
答案：（1）D（2）D
【易错点36】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含
条件。
例36、四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ
＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?
【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视
如下两点：（1）在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即
ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数
量积的定义式中含有边、角两种关系。
解：四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ
＋ｂ)２＝（с＋ｄ）2即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于
ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜
с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相
等奎屯王新敞新疆∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边
形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。综上所
述，四边形ABCD是矩形
【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有
着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的
许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要
树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平
行四边形定理：2（｜a｜2+｜b｜2）=｜a－b｜2+｜a+b｜2（2）向量形式的三角形不等
式：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜(试问：取等号的条件是什么?)；（3）在△ABC
中，若点P满足；AP=??
|AC|AC|AB|AB
则直线AP必经过△ABC的内心等等有用的结论。
【练36】（1）（2003高考江苏）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
).,0[||||(?????????ACACABABOAOP则P的轨迹一定通过△ABC的（）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
（2）（2005全国卷文科）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA?????，
则点O是ABC?的（）
（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点（D）三条高的交点
（3）（2005全国卷Ⅰ）ABC?的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
33
)(OCOBOAmOH???，则实数m=
答案：（1）B（2）D（3）m=1
【易错点37】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。
例37、已知ABC?中,5,8,7abc???,求BCCA?
【易错点分析】此题易错误码的认为两向量BC和CA夹角为三角形ABC的内角C导致错误答案.
解析:由条件5,8,7abc???根据余弦定理知三角形的内角60C??，故两向量BC和CA夹角为
60C??的补角即,120BCCA??,故据数量积的定义知58cos12020BCCA???????.
【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾
斜角的取值范围是?0,180????，两直线的夹角的范围是0,90??????，两向量的夹角的范围是0,180??????，
异面直线所成的角的范围是?0,90????，直线和平面所成的角的范围是0,90??????二面角的取值范围是
??0,180??。
【练37】（2004上海春招）在ΔABC中，有如下命题，其中正确的是（）
（1）ABACBC??（2）0ABBCCA???（3）若????0ABACABAC????，则ΔABC
为等腰三角形（4）若0ACAB??，则ΔABC为锐角三角形。
A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（2）（3）（4）
答案：C
【易错点38】向量数积积性质的应用。
例38、已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求a与b的
夹角。
【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。
解析：由(a+3b)(7a?5b)=0?7a2+16a?b?15b2=0①(a?4b)(7a?2b)=0?
7a2?30a?b+8b2=0②两式相减：2a?b=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为?，则cos?
=
2122
2???
||||||bbbaba
∴?=60?。
【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解
析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数
量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂ?ａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜
ａ｜２或｜ａ｜＝2aaa??④ｃｏｓθ＝
baba??
⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜
【练38】（1）（2005高考江西卷）已知向量(1,2),(2,4),||5,abc????若5(),2abc???则a与
34
c的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C
（2）（2005浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则
(A)a⊥e(B)a⊥(a－e)(C)e⊥(a－e)(D)(a＋e)⊥(a－e)答案：C
【易错点39】向量与三角函数求值、运算的交汇
例39、)2,(),,0(),0,1(),sin,cos1(),sin,cos1(????????????????cba???，a?与c?
的夹角为θ1，b?与c?的夹角为θ2，且2sin,3
21????????求
的值.
【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示
两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。
解析：
),2sin,2(cos2cos2)2cos2sin2,2cos2(2????????a2(2sin,2sincos)222b?????
2sin(sin,cos)222????(0,),(,2),???????(0,),(,),2222????????故有
||2cos2a??||2sin2b??
2
1
2cos2
cos||||
2cos2
ac
ac
?
???????1cos,,22??????
2
2
2sin2
cossin,2||||
2sin2
bc
bc
?
??
?
?????
?0,222??????222??????
因
62,22221????????????????
，从而.
216sin2sin????????
【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新
增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，
因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向
量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。
【练39】（1）（2005高考江西）已知向量(2cos,tan()),(2sin(),tan())2242424xxxxab??????????,
令()fxab????是否存在实数[0,]x??,使()''()0fxfx??（其中''()fx是()fx的导函数）？
若存在,则求出x的值；若不存在,则证明之答案：存在实数2x??使等式成立。
（2）（2005山东卷）已知向量(cos,sin)m???和????2sin,cos,,2n????????，且
82,5mn??求cos28?????????的值.答案：45?。
【易错点40】向量与解三角形的交汇。
例40、ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3→OA＋4→OB＋5→OC=→0。①求数量积，→OA·→OB，→OB·→OC，
→OC·→OA；②求ΔABC的面积。
35
【思维分析】第1由题意可知3→OA、4→OB、5→OC三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量移项
平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。
解析：①∵|→OA|=|→OB|=|→OC|=1由3→OA＋4→OB＋5→OC=→0得：3→OA＋4→OB=－5→OC两边平方得：9→OA2＋
24→OA·→OB＋16→OB2=25→OC2∴→OA·→OB=0同理：由4→OB＋5→OC=－3→OA求得→OB·→OC=－45由3→OA＋5→OC=－
4→OB求得→OA·→OC=－35
②由→OA·→OB=0,故0ABs?=12|→OA||→OB|=12由→OB·→OC=－45得cos∠BOC=－45∴sin∠BOC=－35∴
0BCs?=
1
2|
→OB||→OC|sin∠BOC=3
10，由
→OC·→OA=－3
5得cos∠COA=－
3
5∴sin∠COA=
4
5∴0ACs?=
1
2
|→OC||→OA|sin∠COA=25即ABCs=0ABs?＋0ACs?＋0BCs?=12＋310＋25=65
【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。
【练40】（1）（2005全国卷Ⅲ）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，已知a,b,c成等比数列，
且cosB＝34。（1）求cotA+cotC的值；（2）设32BABC??，求ac?的值。
答案：（1）477（3）3ac??。
（2）已知向量a?=（2，2），向量?b与向量?a的夹角为
43?
，且?a·?b=－2，①求向量?b；
②若)
2cos2,(cos,)0,1(2CActbt???????且
，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、
B、C依次成等差数列，试求|?b+?c|的取值范围.答案：①(1,0)b??或(0,1)b??②
25||.22bc???
【易错点41】与向量相结合的三角不等式，学生的综合运用知识解决问题的能力不够。
例41、已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量→a=(sinx,2)，→b
=(2sinx,12)，→c=(cos2x,1)，→d=(1,2)，当x∈[0,π]时，求不等式f(→a·→b)＞f(→c·→d)的
解集.
【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。
解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y1)、B(1＋x,y2)，因为(1－x)＋(1＋x)2
=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m＞0，则x
≥1时，f(x)是增函数；若m＜0，则x≥1时，f(x)是减函数。∵→a·→b=（sinx，2）·（2sinx,12）
=2sin2x＋1≥1，→c·→d=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1∴当m＞0时，f(→a·→b)＞
f(→c·→d)?f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)?2sin2x＋1＞cos2x＋2?1－cos2x＋1＞cos2x
＋2?cos2x＜0?2kπ＋2?＜2x＜2kπ＋23?,k∈z?kπ＋4?＜x＜kπ＋43?,k∈z∵0
≤x≤π∴4?＜x＜43?当m＜0时，同理可得0≤x＜4?或43?＜x≤π综上所述，不等式f(→a·→b)
36
＞f(→c·→d)的解集是：当m＞0时，为{x|4?＜x＜43?；当m＞0时，为{x|0≤x＜4?或43?＜x
＜π。
【知识点分类点拔】在运用函数的单调性构造不等式时，一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性
如何（不可忽视定义域的限制），通过本题要很好的体会向量、不等式、函数三者的综合，提高自已应用知
识解决综合问题的能力。
【练41】若()fx在定义域（－1，1）内可导,且''()0fx?，点A(1,f(a));B(f(－a),1)，对任意a∈
(－1，1)恒有OAOB?成立，试在??,???内求满足不等式f(sinxcosx)+f(cos2x)>0的x的取值
范围.答案：)
4,2()43,2(????????x
，(kZ?)
【易错点42】向量与解析几何的交汇
例42、（03年新课程高考）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向
向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存
在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在
向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。
解析：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距
离的和为定值.∵i=（1，0），c=（0，a），∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，
直线OP和AP的方程分别为axy??和axay?2???.消去参数λ，得点),(yxP的坐标满足方程
222)(xaayy???.整理得.1
)2(
)2(
8
12
22
???a
ayx……①因为,0?a所以得：（i）当
22?a时，方程
①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当
220??a
时，方程①表示椭圆，焦点
)2,2121(2aaE?和)2,2121(2aaF??为合乎题意的两个定点；（iii）当22?a时，方程①也表示椭圆，
焦点))
21(21,0(2??aaE
和))
21(21,0(2??aaF
为合乎题意的两个定点.
【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程
判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的
结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也
要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，
提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。
【练42】（1）（2005全国卷1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F
的直线交椭圆于A、B两点，OBOA?与)1,3(??a共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆
上任意一点，且),(ROBOAOM???????，证明22???为定值。
答案：（1）63e?（2）22???=1
（2）（02年新课程高考天津卷）已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使MP·MN，PM·PN,NM·NP
37
成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（,ooxy），记?为PM与PN
的夹角，求tan?；答案：①点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆②tan?=|y0|
（3）（2001高考江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则
OBOA?等于（）A.43B.－43C.3D.－3答案：B
【易错点43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。
例43、已知椭圆C：22142xy??上动点P到定点??,0Mm,其中02m??的距离PM的最小值
为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线l,使l与椭圆C的两个交点A、B满足条
件OAOBAB??（O为原点）,若存在,求出l的方程,若不存在请说是理由。
【思维分析】此题解题关键是由条件OAOBAB??知0OAOB??从而将条件转化点的坐标运算
再结合韦达定理解答。
解析：设??,pxy，由22142xy??得2221
4xy????????
故
??222214xPMxm????????????2221212242xxmm????????????由于02m??且
22x???故当022m??时，2PM的最小值为221m??此时1m?，当224m??时，
2x?取得最小值为22421mm????解得1,3m?不合题意舍去。综上所知当1m?是满足题意
此时M的坐标为（1，0）。
（2）由题意知条件OAOBAB??等价于0OAOB??，当l的斜率不存在时，l与C的交点为
61,2?????
??
，此时0OAOB??，设l的方程为??1ykx??，代入椭圆方程整理得
??2222124240kxkxk?????，由于点M在椭圆内部故0??恒成立，由0OAOB??知
12120xxyy??即????222122110kxxkxk?????，据韦达定理得2122412kxxk???，
2
1222412kxxk???
代入上式得??????2222221244120kkkkkk???????得24k??不合
题意。综上知这样的直线不存在。
【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标
38
联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。
【练43】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点2F为圆心，过另一焦点1F的圆被右准线
截的两段弧长之比2:1,??2,1P为此平面上一定点，且121PFPF??.（1）求椭圆的方程（2）若直线
??10ykxk???与椭圆交于如图两点A、B，令????120fkABFFk???。求函数??fk的值
域答案：（1）22142xy??（2）??0,8
[易错点44]牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系.
例44、函数1cosxyxe???的导数为。
[易错点分析]复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，
即xuxyyu?????。
解析：????1cos1cos1cos1cos1cos1cosxxxxxyexeexexe???????????????
1cossinxxex???1cos1sinxxxe???
【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计
算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。
[练习44]（2003年江苏，21）已知0a，n为正整数。设??nyxa??，证明??1nynxa????；
（1）设????nnnfxxxa???，对任意na?，证明??????111nnfnnfn?????
解析：证明：（1）????
0,
nnnkkk
nkxaCax??????
??????1111111nnnknknkkkknnkkykCaxnCaxnxa???????????????????
（2）对函数????nnnfxxxa???求导数：??11nnnfnxnxa??????，
????11.nnnfnnnna???????????当0xa?时，??0nfx?
????nnnaxxxa?????n当时，f是关于x的增函数因此，当na?时，
??????11nnnnnnanna??????。
????????????????11111111nnnnnnnfnnnnannnannnna?????????????????????????????
????1nnfn???即对任意na?，??????111nnfnnfn?????.
39
【易错点45】求曲线的切线方程。
例45、（2005高考福建卷）已知函数daxbxxxf????23)(的图象过点P（0，2），且在点M（－1，
f（－1））处的切线方程为076???yx.（Ⅰ）求函数)(xfy?的解析式；
【思维分析】利用导数的几何意义解答。
解析：（Ⅰ）由)(xf的图象经过P（0，2），知d=2，所以,2)(23????cxbxxxf
.23)(2cbxxxf????由在))1(,1(??fM处的切线方程是076???yx，知
.6)1(,1)1(,07)1(6??????????fff即
.3,0,32.121,623??????????????????????cbcbcbcbcb解得即故所求的解析式是.233)(23????xxxxf
【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数y=f(x)在点0x处的导数，就是曲线y=(x)在点))(,(00xfxP
处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点0x
处的导数，即曲线y=f(x)在点))(,(00xfxP处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，
求得切线方程为))((''000xxxfyy???特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00xfxP处的切线平
行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为0xx?。利用导数的几何意义作为解题工具，
有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.
【练45】（1）（2005福建卷）已知函数
bxaxxf???26)(
的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为
x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；答案：
362)(2???xxxf
（2）（2005高考湖南卷）设0?t，点P（t，0）是函数cbxxgaxxxf????23)()(与的图象的
一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；答案：.3tabc???故
2ta??，tb?，.3tc??
【易错点46】利用导数求解函数的单调区间及值域。
例46、(2005全国卷III)已知函数??2472xfxx???，??01x?，（Ⅰ）求??fx的单调区间和值域；
40
（Ⅱ）设1a?，函数????223201gxxaxax????，，，若对于任意??101x?，，总存在??001x?，
使得????01gxfx?成立，求a的取值范围。
【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解
不等式的运算能力第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数??ygx?在区间??01，上的
值域是函数??fx的值域的子集，从而转化为求解函数??ygx?在区间??01，上的值域。
解析(Ⅰ)????2
22
4167(21)(27)()
22
xxxxfx
xx
?????????
??
，令()0fx??解得12x?或72x?,在
1(0,)2x?，()0,fx??所以()fx为单调递减函数；在1(,1)2x?，()0,fx??所以()fx为单调
递增函数；又71(0),(1)3,()422fff??????，即()fx的值域为[-4，-3]，所以()fx的单调递
减区间为1(0,)2，()fx的单调递增区间为1(,1)2，()fx的值域为[-4，-3].(单调区间为闭区间也可以).
（Ⅱ）∵22()3()gxxa???,又1a?，当(0,1)x?时，2()3(1)0gxa????，
因此，当(0,1)x?时，()gx为减函数，从而当[0,1]x?时，有()[(1),(0)]gxgg?.
又2(1)123,(0)2gaaga?????，即当[0,1]x?时，有2()[123,2]gxaaa????，
任给1[0,1]x?，有1()[4,3]fx???，存在0[0,1]x?使得01()()gxfx?，
则2
51,
12343
323
2
aaaa
aa
??????????
????
??????
??
或又1a?，所以a的取值范围是2
13a??。
【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数
与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长
考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值
问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数
研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为2006年高考命题重点应引
起高度注意．单调区间的求解过程，已知)(xfy?（1）分析)(xfy?的定义域；（2）求导数
)(xfy???（3）解不等式0)(??xf，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(??xf，解
集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数)(xf在
),(ba单调递增，在),(cb单调递增，又知函数在bxf?)(处连续，因此)(xf在),(ca单调递增。同
理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以
41
个区间。
【练46】（1）（2005高考北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）
若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，
＋∞）（2）－7
（2）(2005全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小
正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多
少?
答案：当x=10时,V有最大值V(10)=1960
【易错点47】二项式??nab?展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错。
例47、
32
2nx
x
?????
??
展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x的一次项为。
【易错点分析】本题中若x与
32
2x的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。
解析：椐题意有：????22122162,212162,9
nnCCnnnn??????????即
????929231993222rrrrrrrrTCxCxx????????????????则由921,323rrr?????
??3334912672TCxx???????
【知识点归类点拨】二项式????nnabba??与的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在
遇到类似问题时，要注意区分。
【练47】（潍坊高三质量检测）4
111
nx
x???????
展开式中第5项与第12项系数的绝对值相等，则展开式的常
数项为。
解析：据题意有????41141111
nnCC???
，即
411nnCC?4411nnnnCCC????,411,15nn?????
????1546015115151111rrrrrrrTCxCxx??????????????令60150,r??得：4r?故展开式中常数项为：
??441511365C??
42
【易错点48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。
例48、在53
22xx???????
的展开式中，5x的系数为，二项式系数为。
【易错点分析】在通项公式155152rrrrTCx?????中，5C是二项式系数，52rrC?是项的系数。
解析：令1555r??，得2r?，则项5x的二项式系数为2510C?，项的系数为225240C??。
【知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通
常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。
【练48】（2005高考山东卷）如果
32
13nxx???????的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数
是（）（A）7（B）7?（C）21（D）21?
答案：当1x?时
321(31)2128,71nnn??????
即7
32
1(3)xx?,根据二项式通项公式得
2577733177(3)(1)()3(1)rrrrrrrrrTCxxCx?????????573,63rr????时对应31x,即
676661733311213(1)73.TCxxx????????故31x项系数为21.
【易错点49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在次
往往因为概念不清导致出错。
例49、已知??
22
nxnN
x?????????
的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10：1
求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。
【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当n为偶数时，中间的一项的
二项式系数最大；当n为偶数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位
置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。
解析：由题意知，第五项系数为??442nC??，第三项的系数为22(2)nC??，则有????44
22
2101
2nn
C
C
???
??
，
8n??设展开式中的第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为11118882,2,2rrrrrrCCC???????，
若第r+1项的系数绝对值最大，则1188
11
22rrrr
rrrr
CC??
??
??????
?????
，解得：56r???系数最大值为
71111792Tx?
由8n?知第五项的二项式系数最大，此时
5611120Tx?
【知识点归类点拨】在??nab?的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a，b的系数不为1时，最大
43
系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组1
12
rr
rr
TTTT?
??
????
?
来确定之。
【练49】（2000年上海）在二项式??111x?的展开式中，系数最小的项的系数为。（结
果用数值表示）
解析：展开式中第r+1项为??11111rrrCx????，要使项的系数最小，则r为奇数，且使11rC为最大，由此
得5r?，所以项的系数为??55111462C????。
【易错点50】对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。
例50、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中1人1本，1人两本，1人3本；
（3）平均分成三组，每组2本；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本。
【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是排列问题。
解析：(1)分三步：先选一本有16C种选法，再从余下的5本中选两本，有25C种选法，最后余下的三本全
选有33C种选法，有分步计数原理知，分配方式有：12365360CCC???
（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）题的基础上，还考虑再分配问题，分配方式共有
12336533360CCCA????种。
（3）先分三步：则应是222642CCC??种方法，但在这里容易出现重复。不妨记六本书为,,,,,ABCDEF
若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF）则222642CCC??中还有
（AB，EF，CD），（CD，EF，AB）（CD，AB，EF），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共33A种情况，而且这些情
况仅是AB，CD，EF顺序不同，依次只能作为一种分法，故分配方式有222642
3315CCCA???
种
（5）在问题（3）的基础上，再分配即可，共有分配方式2223642
333CCCAA???
种。
【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于词类问题的关键是搞清
楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重
复或遗漏。
【练50】（2004年全国9）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到三个班担任班主任（每班一
位班主任），要求这三位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方法共有（）
A、210种B、420种C、630种D、840种
解析：首先选择3位教师的方案有：①一男两女；计125430CC??；②两男一女：计2154CC?=40。
44
其次派出3位教师的方案是33A=6。故不同的选派方案共有
????312213545463040420ACCCC????????种。
【易错点51】不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。
例51、四个男同学和三个女同学站成一排。
（1）三个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？
（4）甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法？
（5）女同学从左往右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（三个女生身高互不相等）
【易错点分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题，顺序一定问题等，如果对题意理解不够充分，
往往选择错误的方法。
解析：（1）3个女同学是特殊元素，我们先把她们排列好，共有33A种排法；由于3个同学必须排在一起，
我们可视排好的女同学为一个整体，在与男同学排队，这时是五个元素的全排列，应有55A种排法。由乘
法原理，有35720AA??种不同排法。
（2）先将男生排好，共有44A种排法；再在这4个男生的中间及两头的5个空中插入3个女生，有35A种
方案。故符合条件的排法共有43451440AA??种。
（3）甲、乙2人先排好，共有22A种排法；再从余下的5人中选三人排在甲、乙2人中间，有35A种排法，
这时把已排好的5人看作一个整体，与剩下的2人再排，又有33A种排法；这样，总共有423423720AAA???
种不同的排法。
（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有44A种排法，由于甲、乙要相邻，故把甲、乙排好，有22A种
排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中，有25A种排法；这样，总共
有422425960AAA???种不同的排法。
（5）从七个位置中选出4个位置把男生排好，有47A种排法；然后再在余下得个空位置中排女生，由于女
生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有47A种不同的排法。
【知识点归类点拨】解决有限制条件的排列问题方法是：①直接法：
??
??
??
?
位置分析法
元素分析法用加法原理（分类）
用乘法原理（分步）插入法（不相邻问题）
捆绑法（相邻问题）
②间接法：即排除不符合要求的情形③一般先从特殊元素和特殊
位置入手。
45
【练52】（2004年辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间
三个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数（）
A、234B、346C、350D、363
解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间3个座位，共有12192AA?种，再加上4种不能算相邻的，共有
212201924346AAA????种。
【易错点53】二项式展开式的通项公式为1rnrrrnTCab???，事件A发生k次的概率：
????1nkkknnPkCPP???。二项分布列的概率公式：
,0,1,2,3,01,1kknkknpCpqknppq???????且，三者在形式上的相似，在应用容易混
淆而导致出错。
例53、（2004年全国理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100
分，回答不正确得—100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没
有影响。
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分?的概率分布和数学期望。
（2）求这名同学总得分不为负分（即0??）的概率。
【易错点分析】对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量?以及二项分布的条件的理解
出错。
解析：（1）?的可能取值为—300，—100，100，300。
??
??
??
??
3
2
2
3
3000.20.008
10030.20.80.096
10030.20.80.384
3000.80.512
P
P
P
P
?
?
?
?
????
??????
?????
???
所以?的概率分布为
?—300—100100300
P0.0080.0960.3840.512
根据?的概率分布，可得?的期望
????3000.0081000.0961000.3843000.512180E????????????
（2）这名同学总得分不为负分的概率为
??00.3840.5120.896P?????。
46
【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率
????0,1,2,Pkk???就是独立重复实验n次其中发生k次的概率??1nkkknCPP??。但在解决实
际问题时一定看清是否满足二项分布。
【练53】（2004年重庆理18）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）
的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，?表
示停车时已经通过的路口数，求：
（1）?的概率分布列及期望E?；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。
解析：（1）?的所有可能值为0，1，2，3，4。用kA表示“汽车通过第k个路口时不停”‘则
????123431,2,3,4,,,4kPAkAAAA??且独立。故????1104PPA????
????????2121233133191,2(),44164464PPAAPPAAA???????????????
????
????
3
1234
4
1234
31273,
44256
3814
4256
PPAAAA
PPAAAA
?
?
????????????
??
???????????
??
从而?的分布列为
?01234
P1
43169642725681256
13927815250123441664256256256E????????????
（2）????811753141256256PP?????????。
【易错点54】正态总体??2,N??的概率密度函数为????2221,
2
xfxexR??
??
????，当
0,1????时，??221,2xfxexR????，叫作标准正态总体??0,1N的概率密度函数，两者在
使用范围上是不同的。
例54、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为?（单位：小时），已知??21000,30N?，要使灯泡的平均寿
命为1000小时的概率为0099.7，问灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上。
【易错点分析】由于?服从正态分布，故应利用正态分布的性质解题。
47
解析：因为灯泡的使用寿命??21000,30N?，故?在??1000330,1000330????的概率为
0099.7，即?在??910,1090内取值的概率为0099.7，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上。
【知识点归类点拨】在正态分布??2,N??中，?为总体的平均数，?为总体的标准差，另外，正态分
布??2,N??在??,??????的概率为0068.3，在??3,3??????内取值的概率为0099.7。
解题时，应当注意正态分布??2,N??在各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计算失误。
【练54】一总体符合??0,1N，若????1,2ab????，则该总体在（1，2）内的概率为。
解析：由题意可得??12(2)(1)Pba?????????。
【易错点55】对于数列的两个基本极限①lim0n
nq???
；②1lim
1nnaSq????
，两个极限成立的条件不同，
前者为1q?；而后者为01q??。
例55、在等比数列??na中，11a?，且n项和nS，满足
1
1lim,n
nSa???
那么1a的取值范围是（）
A、??1,??B、??1,2C、??1,2D、??1,4
【易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式1
1asq??
，求1a的范围时，容易忽视0q?这个条
件。
解析：设公比为q，由
1
1limn
nSa???
知
1
2
1122
11
122
11
1
11
1102
111
110
00
a
qaaq
aa
qqa
aa
qq
??
?????
???????????
??????????
?????????
????
??
又
所以112a。
【知识点归类点拨】对于
??
??
??
11
lim01
11
n
n
qq
qq
qq
??
???
??
???
????
??
存在或
不存在或
，公比的绝对值小于1的无穷等比数列
前n项和在n无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。
48
【练55】
??131lim331nnnna??????
，求a的取值范围。
解析：
??1
3111limlimlim0
33131
3
3
11,42
3
nn
nnnnnn
a
aa
aa
???????
???????
???????
???
????
???????
【易错点56】立体图形的截面问题。
例56、（2005哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体ABCD--1111ABCD，E、F分别是1AA、
1CC的中点，p是1CC上的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨
迹是（）
A、线段1CFB、线段CFC、线段CF和一点1CD、线段1CF和一点C。
【易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。
解析：如图当点P在线段CF上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线DE平行于平面11BBCC，则
过DE的截面DEP与平面11BBCC的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线，由于点
P在线段CF上故此时过P与DE平行的直线与直线1BB的交点在线段1BB上，故此时截面为四边形（实
质上是平行四边形），特别的当P点恰为点F时，此时截面为1DEFB也为平行四边形，当点P在线段1CF
上时如图分别延长DE、DP交11AD、11DC于点H、G则据平面基本定理知点H、G既在平
截面DEP内也在平面1111ABCD内，故GH为两平面的交线，连结GH分别交11AB、11BC于点K、N
（注也有可能交在两直线的延长线上），再分别连结EK、KN、PN即得截面为DEKNP此时为五边形。故
选C
【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对
平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中
阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面
内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该
P
F
ED1
C1
B1A1
C
B
D
A
KN
H
G
P
F
ED1
C1
B1A1
C
B
D
A
49
定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为
两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都
是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过
空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。
另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作
出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。
【练56】（1）（2005高考全国卷二）正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R、分别是AB、AD、B1C1的中
点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）
（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形答案：D
（2）在正三棱柱ABC-111ABC中，P、Q、R分别是BC、1CC、11AC的中点，作出过三点P、Q、R
截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。
【易错点57】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数
例57、（93全国考试）如果异面直线a、b所在的角为50?,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都
是30?的直线有几条？
A、一条B二条C三条D四条
【易错点分析】对过点P与两异面直线成相同的角的直线的位置关系空间想象不足，不明确与两直线所的
角与两异面直线所成的角的内在约束关系。
解析：如图，过点P分别作a、b的平行线a?、b?，则a?、b?所成的角也
为50?，即过点P与a?、b?成相等的角的直线必与异面直线a、b成相等的
角，由于过点P的直线L与a?、b?成相等的角故这样的直线L在a?、b?
确定的平面的射影在其角平分线上，则此时必有
coscoscosAPBAPOOPB?????当cos30coscos25APO????
时，有??cos30cos0,1cos25APO?
????
，此时这样的直线存在且有两条当130BPC???时，有
cos30cos1cos65APO?????这样的直线不存在。故选B
【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对本题来说是解决与
两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线
成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的
条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角?与平面内的直线与平面外的直线在平面内
的射影所成的角?的关系，由公式coscoscos????（其中?是直线与平面所成的角）易知
coscos???????，coscos???????（最小角定理）故一般地，若异面直线a、b所
成的角为?，L与a、b所成的角均为?，据上式有如下结论：当02????时，这样的直线不存在；当
0
l
C
B
b''
a''
A
p
50
2???时，这样的直线只有一条；当22???????时，这样的直线有两条；当2?????时这样的
直线有3条；当22???????时，这样的直线有四条。
【练57】如果异面直线a、b所在的角为100?,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是50?的直
线有几条？
A、一条B二条C三条D四条答案：C
【易错点58】有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视",//,"aabb????三
个条件中的某一个。
例58、如图，PA?矩形ABCD所在的平面，M，N分别为AB，PC的中点。求证：//MN平面PAD
[易错点分析]：在描述条件中，容易忽视,AEPADMNPAD??面面。
解析：取PD中点E，连结AE，EN，则有//////ENCDABAM，
1122ENCDABAM????AMEN为平行四边形，//MNAE?
,AEPADMNPAD??面面//MNPAD?面
[知识点归类点拨]判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是
所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件
缺一不可。
【练习58（2005浙江）如图，在三棱锥P—ABC中，,ABBCABBCkPA???，
点O，D分别为AC，PC的中点，OP?平面ABC求证：OD//平面PAB
证明：,OD分别为AC、PC的中点//,ODPA?
又PA?平面,PAB
,//PAPABODPABODPAB???平面平面平面
【易错点59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内
的两条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨步太大。
例59、如图，在正方体1111ABCDABCD?中，M、N、P分别是11111,,CCBCCD的中点，
求证：平面MNP//平面1ABD
【易错点分析】本题容易证得MN//1AD,MP//BD，而直接由此得出面
1//MNPABD面
解析：连结111,,,BDBCPN分别是1111,DCBC的中点，11//,PNBD?11//,/BDBDPNBD?
又11,//PNABDPNABD??面平面同理：1//,MNABDPNMNN?平面又
1//DMNABD?平面平面。
C
B
A
P
D
O
A
P
N
M
E
DC
B
AB
P
CD
M
NE
51
【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问
题，即“线面平行则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，
定理中的条件缺一不可。
【练59】正方体1111ABCDABCD?中，（1）M，N分别是棱1111,ABAD的
中点，E、F分别是棱1111,BCCD的中点，求证：①E、F、B、D共面；
②平面AMN//平面EFDB③平面11ABD//平面1CBD
证明：（1）①1111//,////,EFBDBDBDEFBD?则E、F、B、D共面。
②易证：MN//EF，设1111,,ACMNPACEFQACBDO???
//,//PQAOPQAOPAOQ??//AMNEFDB?平面平面
③连结AC，1111ABCDABCD?为正方体，ACDB??11,AAABCDACBD???平面，同理
可证11ACBC?于是得111!1,ACCBDACABD??平面同理可证平面111//ABDCBD?面面
【易错点60】求异面直线所成的角，若所成角为090，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要
方法。
例60、（2001全国9）在三棱柱111ABCABC?中，若12ABBB?，则11ABCB与所成角的大小为
（）A、060B、090C、0105D、075
【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。
解析：如图1,DD分别为11,BCBC中点，
连结1,ADDC，设11,2BBAB??则
则AD为1AB在平面1BC上的射影。又
11322,,cos,323BCBEBDCBCBC?????
22212cosDEBEBDBEBDCBC???????1132212323263???????
而2220111,90362BEDEBDBED?????????11ABCB与垂直。
52
【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如090时，可
以采用证明垂直的方法来求之。
【练60】（2005年浙江12）
设M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAD?于E
（如图），现将ADE?沿DE折起，使二面角
ADEB??为045，此时点A在平面BCDE内的
射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的
大小等于。
解析：易知0045,90,AEBABEABBE??????取AE中点Q，连MQ，
BQ11//,,//,22MQDEMQDEDEBCDEBC??，N为BC的中点
//,,//MQBNMQBNBQMN???,BQAEMNAE???，即M，N连线与AE成090角。
【易错点61】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出
现错误。
例61、如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD?中，M，N，P分别为1111,,ABBBCC的中点。
求异面直线1,DPAMCNAM与与所成的角。
[易错点分析]异面直线所成角的范围是?000,90????，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角
的余弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线
所成的角。
解析：如图，连结1AN，由,NP为11,BBCC中点，
则1111//,,PNADPNAD?从而11//ANDP
故AM和1DP所成的角为1AMDP和所成的角。
易证1RtAAM?≌11RtABN?。所以1ANAM?，
故1DPAM与所成的角为090。
又设AB的中点为Q，则11//,.BQAMBQAM?又11//,,CNBPCNBP?从而CN与AM所成的角
就是1PBQ?（或其补角）。
易求得
1156,.22BQBPPQ???
在1PBQ?中，由余弦定理得
12cos5PBQ??
，
DC
BA
A1
D1
B1
C1
N
M
P
53
故CNAM与所成的角为2arccos5。
【知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面
直线所成的角的范围：00090???；直线与平面所成角的范围：00090???；二面角的平面角的
取值范围：000180???。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两
向量的夹角的联系与区别。
【练61】（济南统考题）已知平行六面体ABCD--1111ABCD中，底面ABCD是边长为1的的正方形，
侧棱1AA的长为2，且侧棱1AA和AB与AD的夹角都等于120?，（1）求对角线1AC的长（2）求直线
1BD与AC的夹角值。答案：（1）2（2）3arccos3（提示采用向量方法，以1AA、AB、AD
为一组基底，求得
13cos,3BDAC??
故两异面直线所成的角的余弦值为33）
【易错点62】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆。
例62、如图，在北纬045的纬线圈上有B两点，它们分别在东经070与东经
0160的经度上，设地球的半径为R，求B两点的球面距离。
【易错点分析】求A、B两点的距离，主要是求B两点的球心角的大小，正确描述
纬线角和经度角是关键。
解析：设北纬045圈的圆心为O?，地球中心为O，则00011607090,AOB????
0145,,OBOOBR???112,,2BOARABR???连结,AOAB，则
0,60AOBOABRAOB??????11263ABRR?????。故A、B两点间的球面距离为
13R?。
【知识点归类点拨】数学上，某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（0经线）
和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。
如下图：
54
图（1）：经度——P点的经度，也是ABAOB?或的度数。
图（2）：纬度——P点的纬度，也是POA?PA或的度数。
【练62】（2005高考山东卷）设地球的半径为R，若甲地位于北纬45?东经120?，乙地位于南纬75?东
经120?，则甲、乙两地的球面距离为（）
（A）3R（B）6R?（C）56R?（D）23R?
答案：D如图所示东经120与北纬45线交于A点
东经120与南纬75线交于C点,设球心
为B点从而45ABC??,75DBC??
即120ABD??以B点为圆心过A、C、D的
大圆上ACD即为所求.ACD12022.3603RR?????
【易错点63】向量知识在立体几何方面的应用
例63、如图,在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝23，
AA1＝3，AD⊥DC，AC⊥BD,垂足未E，（I）求证：BD⊥A1C；（II）
求二面角A1－BD－C1的大小；（III）求异面直线AD与BC1所成角的
大小．
【易错点分析】本题主要考查学生运用向量法中的坐标运算的方法来解
决立体几何问题.学生在解题中一方面不能根据条件建立恰当的空间坐
标系，另一方面建系后学生不能正确找到点的坐标.或者没有运用向量知
识解决问题的意识。
解析：解法一：（I）在直四棱柱1111ABCDABCD?中,
1AA?底面ABCD,AC?是1AC在平面ABCD上的射影.
,BDAC?1.BDAC??
（II）连结1111,,.AECEAC
与（I）同理可证11,,BDAEBDCE??
11AEC??为二面角11ABDC??的平面角.
,ADDC?11190,oADCADC?????
又111112,23,3,ADADDCDCAA?????且,ACBD?
11114,1,3,2,23,ACAEECAECE???????
在11AEC?中,222111111,90,oACAECEAEC?????即二面角11ABDC??的大小为90o.
（III）过B作ADBF∥交AC于F,连结1,FC则1CBF?就是AD与1BC所成的角.
2,,1,2,1,2,,ABADBDACAEBFEFFCBCDC?????????
117,15.FCBC???在1BFC?中,1115471515cos,arccos,552.2.15CBFCBF???????
东经120o
南纬75o
北纬45o
B
A
C
D
E
B1
C1
C
B
A
A1
D1
D
F
55
即异面直线AD与1BC所成角的大小为15arccos.5
解法二：（I）同解法一.
（II）如图,以D为坐标原点,1,,DADCDD所
在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
连结1111,,.AECEAC与（I）同理可证,11,,BDAEBDCE??
11AEC??为二面角11ABDC??的平面角.
1133(2,0,3),(0,23,3),(,,0),22ACE由
得13333(,,3),(,,3).2222EAEC??????
11111139.30.,.44EAECEAECEAEC?????????????即
?二面角11ABDC??的大小为
90o.
（II）如图,由
1
1
11
1
1
1
(0,0,0),(2,0,0),(0,23,3),(3,3,0),
(2,0,0),(3,3,3).
.6,||2,||15,
.615cos,.
5215||||
DACB
ADBC
ADBCADBC
ADBCADBC
ADBC
??
????
??
??
??
????
????
??????
得
?异面直线AD与1BC所成角的大小为15arccos.
5
解法三：（I）同解法一.
（II）如图,建立空间直角坐标,坐标原点为E.
连结1111,,AECEAC
与（I）同理可证,11,,BDAEBDCE??
11AEC??为二面角11ABDC??的平面角.
由11(0,0,0),(0,1,3),(0,3,3).EAC?
得`1(0,1,3),(0,3,3).EAEC?????
111111.330,,EA.EAECEAECEC???????????即?二面角11ABDC??的大小为90.o
（III）如图,由1(0,1,0),(3,0,0),(3,0,0),(0,3,3).ADBC??
得1(3,1,0),(3,3,3).ADBC??????
X
Y
Z
E
B1
C1
C
B
A
A1
D1
D
Y
Z
X
E
B1
C1
C
B
A
A1
D1
D
56
1111
1
.615.336,||2,||15,cos,.5215
||||
ADBCADBCADBCADBC
ADBC
????????
?????????????
?异面直线AD与1BC所成角的大小为15arccos.5
【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地
进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的
思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证
明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.
用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：①要解决的问题可用什么向量知识来解决？需
要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？③所需
要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量
与由已知条件转化的向量有何关系？④怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？
【练63】（2005高考淅江东）如图,在三棱锥ABCP?中,BCAB?,
kPABCAB??,点O、D分别是AC、PC的中点,
ABCOP底面?.(I)求证PABOD底面?;(II)当21?k时,求直线PA与
平面PBC所成角的大小;(III)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为PBC?的重心?
【答案】方法一：
（Ｉ）Ｏ、Ｄ分别为AC、PC的中点.?//ODPA
又PA?平面PAB.?OD//平面PAB.
(II)ABBC?,OAOC??,OAOBOC??
又OP?平面ABC?PAPBPC??.
取BC中点Ｅ，连结PE,则BC?平面POE.
作OFPE?于F,连结DF,则OF?平面PBC,
?ODF?是OD与平面PBC所成的角.
又//,ODPAPA?与平面PBC所成角的大小等于ODF?.
在RtODF?中，210sin
30OFODFOD???
?PA与平面PBC所成的角为210arcsin30.
（III）由II知，OF?平面PBC，F?是O在平面PBC内的射影.
D是PC的中点，若点F是PBC的重心，则B、F、D三点共线，
?直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.
OBPC?PCBD??PBBC??，即1K?.
反之，当1K?时，三棱锥OPBC?为正三棱锥，
O?在平面PBC内的射影为PBC?的重心.
方法二:
OP?平面ABC,,,OAOCABBC??
,,.OAOBOAOPOBOP????
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系Oxyz?(如图)，
设,ABa?则2(,0,0)2Aa,2(0,,0)2Ba,2(,0,0)
2Ca?
.设OPh?,则(0,0,)Ph
(I)D为PC的中点，?OD?＝21(,0,)42ah?，又2(,0,)2PAah???,?OD?＝
-12PA??OD?//PA??OD//平面PAB.
(II)12K?,即2,PA???7
2ha?
,PA?=27(,0,),
22a??
B
C
P
D
Ao
B
C
P
D
Ao
z
y
x
57
可求得平面PBC的法向量1(1,1,),
7n?????210cos,.30||PAnPAnPAn
????
??????
设PA与平面PBC所成的角为?,则210sin|cos,|30PAn???????,PA?与平面PBC所成的角为
210arcsin30
(III)PBC??的重心221(,,),663Gaah?221(,,).
663OGaah????
OG?平面.PBC.OGPB??又2(0,,),2PBah??22110.63OGPBah????
2.2ha??22,PAOAha????即1k?反之，当1k?时，三棱椎OPBC?为正三棱锥，
O?在平面PBC内的射影为PBC?的重心.
【易错点64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错。
例64、（2003年天津理12）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
（）A、33aB、34aC、36aD、312a
【易错点分析】正确的分析图形，采用割补法。
解析：如图此八面体可以分割为两个正四棱锥，而
2222.
222aaaAB???????????????23111326Vaaa?????八面体
，故选C。
【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易
求。
【练64】（2004全国20）如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩
形，AB=8，AD=43，侧面PAD为等边三角形，并且与底面成二面角
为060。求四棱锥P—ABCD的体积。
解析：如图，去AD的中点E，连结PE，则PEAD?。作PO?平面ABCD，垂足为O，连结OE。
根据三垂线定理的逆定理得OEAD?，所以PEO?为侧面PAD与底面所成二面角的平面角。由已知
条件可060,6PEOPE???，所以33PO?，四棱锥P—ABCD的体积
184333963PABCDV??????。
【易错点65】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。
例65、（2005年春季上海19）如图，已知正三棱锥
58
P—ABC的体积为723，侧面与底面所成的二面角的大小为060。
（1）证明PABC?；
（2）求底面中心O到侧面的距离。
解析：（1）证明：取BC边的中点D，连结AD、PD，则
,ADBCPDBC??，故BCAPD?平面PABC??。
（2）解：如图，由（1）可知平面PBC?平面APD，则PDA?是侧面与底面所成二面角的平面角。
过点O做OEPD?，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离，设OE为h，由题意可知点O在AD上，
060,2.PDOOPh????2,4,3hODBCh?????2234434ABCShh????
22183723432,333hhhh??????即底面中心O到侧面的距离为3。
【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或
者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用
等积求高。
【练65】如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，
底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，
点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小
（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.
解析：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
11
22
1
1
,,,,
,,.
1
,1,3.
3
126
2,.
33
2,22,23,3.
612
sin.
333
2
arcsin.
3
DECCABDCABCCDEF
DEGADBGDFEFD
EFFGFDFDEFFD
EDEG
FCCDABABEB
EG
EBG
EB
ABABD
??
???
??????
?
???
??????
??????
?
分别是的中点又平面为矩形
连结是的重心在直角三角形中
于是
与平面所成的角是
（Ⅱ）连结A1D，有EAADAEDAVV
11???
,,,FABEFEFEDABED????又?
ABAED1平面??,设A1到平面AED的距离为h，
59
则EDShSABAAED?????
1
362
1??KA
.故A1到平面AED的距离为362.
【易错点62】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。
例62、如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1＝A1C1＝a，E为BB1的
中点，若截面A1EC⊥侧面AC1．求截面A1EC与底面A1B1C1所成锐二面角度数．
解法1∵截面A1EC∩侧面AC1＝A1C．连结AC1，在正三棱ABC－A1B1C1中，
∵截面A1EC⊥侧面AC1，
数就是所求二面角的度数．易得∠A1AC1＝45°，故所求二面角的度数是45°．
解法2如图3所示，延长CE与C1B1交于点F，连结AF，则截面A1EC∩面A1B1C＝AF．
∵EB1⊥面A1B1C1，∴过B1作B1G⊥A1F交A1F于点G，
连接EG，由三垂线定理知∠EGB1就是所求二面角的平面角．
即所求二面角的度数为45°．
【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通
过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在
二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：
是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角；
【练65】如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，侧棱长为2，底面△ABC中，
∠B=90°，AB=1，BC=3，D是侧棱CC1上一点，且BD与底面所成角为30°.
（1）求点D到AB所在直线的距离.（2）求二面角A1－BD－B1的度数.
解析：①∵CC1⊥面ABC，∠B=90°，∴DB⊥AB，
60
∴DB的长是点D到AB所在直线的距离，
∠DBC是BD与底面所成的角，即∠DBC=30°，
∵BC=3，∴BD=
?30cos3cos??DBCBC
=2.
②过B1作B1E⊥BD于E，连A1E，∵BB1⊥AB，AB⊥BC，且BB1∩BC=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∵A1B1∥AB，∴A1B1
⊥平面BCC1B1，∵B1E⊥BD，∴A1E⊥BD，即∠A1EB1是面A1BD与面BDC1B1所成二面角的平面角.连B1D.
∵BC=3，BD=2，∴CD=1.∵CC1=2，∴D为CC1的中点∴S△BDB1=21SBCC1B1∴21B1E·BD=21BC·CC1即
21B1E·2=213·2∴B1E=3在Rt△A1B1E中，
tan∠A1EB1=
633arctan,333111111???????EBAEBBA
【易错点66】直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系，也可以联立直线方
程与双曲线方程通过判别式，两种方法往往会忽视一些特殊情形。
例66、过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线22143xy??只有一个公共点，则直线l的条数是（）
A、1B、2C、3D、4
【易错点分析】在探讨直线与双曲线的位置关系时，可以考虑直线方程与双曲线方程的解的情况，但容易
忽视直线与渐进线平行的特殊情况，这时构成的方程是一次的。
解析：用数形结合的方法：过点（0，3）与双曲线只有一个公共点的直线分两类。一类是平行于渐进线的，
有两条；一类是与双曲线相切的有两条。如图所示：
故选（D）
【知识点归类点拨】直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种：
一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程20axbxc???。
（1）若0,0a???，直线与双曲线相交，有两个交点；若0a?，直线与渐进线平行，有一个交
点。
O
y
x
(
0
,
3
)
61
（2）若0,0a???，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点。
（3）若0,0a???，直线与双曲线相离，没有公共点。
二是可以利用数形结合的思想。
【练66】（2004年浙江，理21）如图已知双曲线的中心在原点，
右顶点为A（1，0）P、Q在双曲线的右支上，点M（m，0）到
直线AP的距离为1。
（1）若直线AP的斜率为1，且3,3
3k???????
，求实数m的取值范围。
解析：（1）如图，由条件得直线AP的方程为(1)ykx??，即0kxyk???
点M到直线AP的距离为1。
211
mkkk????，即2
2
1111kmkk?????
323,31233km?????????
??
解得2323131133mm???????或?m的取值
范围是23231,11,3
33???????????????
oA
Q
P
M
y
xO
|
|
