摘要：解题教学，重在教会学生思考．通过教学，让学生学
会解决问题的思考策略，并不断应用于解题之中．长此以往，当
面对新问题时，知道应该如何寻找解题思路，并最终成为自己
的思考习惯，真正获得解决问题的能力．
关键词：解题教学；思考策略；解决问题能力
一般情况下，一个高中毕业生，在高考复习阶段要做到
4000~5000道题．但一旦进入考场，面临稍有灵活性或综合性
较强的题目，就不知所措．说明在复习时，有较大盲目性，不能
事半功倍．如何复习才会科学、高效？教师应怎样实施解题教
学？是值得我们深思的问题．本文结合“不等式综合”习题课的
教学，谈谈解决新问题的思考策略，与同行交流，不当之处，
敬请指正．
一、思考策略
1．理解题意
理解题意，首先要弄清楚“问题是什么（求什么或求证什
么）”；其次，题目中有哪些已知的条件；最后，理解条件中蕴
含的意思．而要想做到理解其中的含义，就需要分析出每句话、
每个名词、每个式子，以及每个符号、上标、下标的含义，直
到整个问题的含义．
例如，“不等式综合”习题课的教学，教师首先提出问题1：
若关于x的不等式x
2
log
2
4（a+1）
a
-2xlog
2
2a
a+1
+log
2
（a+1）
2
4a
2
＞0
恒成立，求a的取值范围．
怎样理解问题1的题意？
（1）首先要弄明白什么．
当然是所求的问题，即“求a的取值范围”．
知道“求什么”，问题真的明确了吗？我们需要知道在什么
条件下，求a的取值范围．
所以这时“问题是什么”并不真正清楚．匆忙动手会不得要
领，要接着追问．
（2）弄清楚“在什么条件下，求a的取值范围”．
是在“关于x的不等式x
2
log
2
4（a+1）
a
-2xlog
2
2a
a+1
+
log
2
（a+1）
2
4a
2
＞0恒成立”的条件下，求a的取值范围．真正明
白这句话的意思吗？
①什么叫“关于x的不等式”？
即x是变量（要学会知道x，马上联想其他，思维不要停
滞）．
其他的呢？都是系数（常数或参数）．
能否看出这个不等式的类型？如果看不出，可用其他字母
代替这些系数．比如各项系数为A、B、C，不等式写成什么？
Ax
2
+Bx+C＞0．一眼看出是一元二次不等式，太熟悉了！（原
来表面陌生，看穿了就是熟悉的）
这时，前句话明白了，连后面跟着的数学式也清楚了．
②什么叫“恒成立”？
“恒成立”，意味着x取任何数都成立．即当x∈R，不等式
Ax
2
+Bx+C＞0均成立．
在理解题意的过程中，要不断追问题中的每一个对象（它）
“它是什么”“它怎样表示”“还能怎样表示”，以及“它有什么性
质”“这些性质怎么表示”“还能怎么表示”．其实，这就是在“转
化”，转化为我们能明白的意思，以方便解题．追问是理解题意
的要诀！
2．制定计划
在理解题意之后，应怎样求解问题？
不等式的问题，能让我们联想起什么？方程和函数．那么，
方程、不等式与函数有什么关系？方程f（x）=0的根，即为函数
的零点；不等式f（x）>0或f（x）<0的解，即为函数值大于0或
小于0的x的取值范围．方程、不等式本质上都是函数问题，可
以统一到函数观点下．
于是问题1即为：“若f（x）=Ax
2
+Bx+C＞0恒成立，求a
的取值范围．”
看清不等式的本质以后，这个“恒成立”应如何解决？
f（x）是二次函数，能否用图象说明？（如下图所示.）
x
收稿日期：2011-07-21
作者简介：张跃红（1972-），女，吉林省吉林人，中学高级教师，主要从事数学教育与中学教学研究.
新问题的思考策略
——从高三“不等式综合”习题课谈起
张跃红（江苏省南京师范大学附属中学）
JournalofChineseMathematicsEducation
2012年第1-2期No.1-22012
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恒成立的条件是什么？二次项系数A>0，判别式Δ<0.
当然，“恒成立”问题也可采用分离参数的方法解决．
制定计划时，我们可以展开联想，利用知识与知识之间的
内在联系，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题；也可以回想从
前是否见过此类问题，借助以往的经验，将问题解决．
3．实施计划
制定好计划之后，接下来就要实施．怎样“求a的取值范围”？
（1）A、B、C中，都带着对数式，很麻烦！能否想办法让
它简单些？（如果没有对数式就好了）
把“复杂转化为简单”是人类思考的最基本思想！
能办到吗？如何才能办到？要想办到，至少有一条路：分
析每一项！即逐项观察分析、寻找、发现、抽取共同特点．
观察发现，每项中都有
a+1
a
或
a+1
2a
，可令s=log
2
a+1
a
或t=log
2
a+1
2a
，而t=s-1，所以函数为f（x）=（3+t）x
2
+2tx+
2t＞0，t为参数．
这时t的取值范围似乎都会求了，但取值范围总要与分类讨
论有关．
（2）如何分类讨论？
基本原则是：满足定义、题设要求，保证“有意义”．
①（对数定义）对数真数＞0→
a+1
2a
＞0→a＞0或a＜-1；
②（开口向上）二次项系数＞0→A＞0→t＞-3；
③（x轴上方）Δ=B
2
-4AC＜0→4t
2
-8t（t+3）＜0→t（t+6）＞
0→t＞0或t＜-6．
与②综合得t＞0，即log
2
a+1
2a
＞0→
a+1
2a
＞1再与①综合．
结论：0＜a＜1时，原不等式f（x）＞0恒成立．
（3）能否有另一种方法？
把t和x分离→tx
2
+2tx+2t+3x
2
＞0→t＞
-3x
2
x
2
+2x+2
（还能
怎么表示？）→
-3x
2
x
2
+2x+2
=
-3
2
1
x
2
+
1
x
xx+1
（x≠0）？发现分母
可以配方求极值，令u=
-3x
2
x
2
+2x+2
→-6
后，怎么解释与“恒成立”的关系？t>u
max
．）
④t>
-3
2
1
2
+
1
x
ax
2
+
1
2
→t>0，即log
2
a+1
2a
＞0→
a+1
2a
＞1
与①综合．
结论：0＜a＜1时，原不等式f（x）＞0恒成立．
在实施制定的求解计划时，要边解题边留意，自己是否能
清楚地看出每一步骤的正确性，是否能证明每一步骤的正确性，
要学会检验．
4．回顾反思
（1）针对审题的反思．
想想题目的目标是什么，题目中给了哪些条件，是否有隐
含条件，等．回顾问题1，在审题时首先要弄清题目所要求的问
题是什么；其次，注意题中“关于x的不等式”这个条件，它
反映了此不等式的类型；再次，要观察出各项系数之间的联系，
为换元埋下伏笔；最后，要对“恒成立”有深入理解．
（2）对解题思维过程的反思．
已知条件都用在哪里？解决这个问题的方法是什么？是怎
样解决这个问题的？问题1的解题思维过程是，首先确定了不
等式的类型（包括利用换元简化了不等式），进而联想到函数，
利用二次函数的图象，给出满足“恒成立”的条件．
（3）对多种解法评价的反思．
还有其他解法吗？哪种解法更好？问题1有两种常见解法，
一是构造二次函数，画出图象，根据开口方向及判别式写出恒
成立的等价条件；另一种是分离参数，即a>φ（x），再求出φ（x）
的最大值，满足a>φ（x）
max
．在本题中，由于x∈R，所以第一种
解法要好一些．但若x有限定，第二种解法则好一些．
（4）对题目本身及解法本身存在规律的反思．
想想此题目属常见问题吗？其解法是通解通法吗？它能解
决类似的问题吗？问题1是一种常见的“恒成立”问题，解决
“恒成立”问题的常见方法，都体现在了它的两种解法之中．
（5）对题目变化的反思．
问题还能演变成哪些题目？变化后还会解吗？问题1还可
以有以下几种变式
令t=log
2
a+1
2a
ax：①关于x的不等式（3+t）x
2
+
2tx+2t>0在x∈［－3，－2］上恒成立，求t的取值范围；②关于
x的不等式（3+t）x
2
+2tx+2t>0在t∈［－3，－2］上恒成立，求x
的取值范围；③关于x的不等式（3+t）x
2
+2tx+2t>0的解集为
-∞，-
1
3
ax∪
1
2
，+
ax
∞
，求t的取值范围．
二、启示
对于解题教学，首先解决的应是“教”学生解题．不是只让
学生解题，而是教学生“学解题”．学生的首要任务是“学”，然
后才是自己独立地去解题．
那么“学”什么？“学”思考!尤其对那些不善于解题的学
生（大多数），更要学思考．如果一味让会解的学生讲给其他学
生听（目前中学教学普遍存在的现象），就等于让会思考的告诉
不会思考的，原来不会思考的学生仍然不会思考．
怎样学思考？就要“从无到有”，“从不会到会”，这就是前
面总结的新问题的思考策略．解题时按此策略思考，长此以往，
就学会了如何思考，学会了遇见一个没见过的新问题时，知道
应该如何寻找解题思路，并最终成为自己的思考习惯．这时，也
就真正获得了解决新问题的能力．
高考复习，不仅要体现“量”，更需要体现“质”，才能举
一反三．学生获得的不仅是知识，更应有能力．这样，学生在离
开教师的时候，才会自己“走路”，并且会越“走”越好．
参考文献：
［1］涂荣豹，王光明，宁连华．新编数学教学认识论［M］．
上海：华东师范大学出版社，2006．
［2］章建跃．理解数学理解学生理解教学［J］．中国数
学教育（高中版），2010（12）：3-7，15.
JournalofChineseMathematicsEducation
2012年第1-2期No.1-22012
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