圆锥曲线解题方法技巧归纳
第一、知识储备：
1.直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离③夹角公式：
（3）弦长公式
直线上两点间的距离：
或
（4）两条直线的位置关系
①=-1②
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）
标准方程：
距离式方程：
参数方程：
(2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程：
距离式方程：
(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？
如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是（）
A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线
(5)、焦点三角形面积公式：
（其中）
(6)、记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。
（2）
（3）
(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？
第二、方法储备
1、点差法（中点弦问题）
设、，为椭圆的弦中点则有
，；两式相减得
=
2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出AB⊥AC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；
解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有两式作差有(1)F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得
直线BC的方程为2)由AB⊥AC得（2）
设直线BC方程为，得，代入（2）式得，解得或
直线过定点（0，，设D（x,y），则，即所以所求点D的轨迹方程是。
4、设而不求法
例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。
分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,
建立目标函数，整理,化繁为简.
解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称
依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得
，
设双曲线的方程为，则离心率
由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得
，①
②
由①式得，③
将③式代入②式，整理得
，
故
由题设得，
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为
分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式,用的横坐标表示，回避的计算,达到设而不求的解题策略．
解法二：建系同解法一，，
，又，代入整理，由题设得，
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为
5、判别式法
例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式.由此出发，可设计如下解题思路：
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：
简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：
于是，问题即可转化为如上关于的方程.
由于，所以，从而有
于是关于的方程
由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等价于
.
由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得.
点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解：设，则由可得：，
解之得：（1）
设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化简得：(3)
与联立，消去得：
在（2）中，由，解得，结合（3）可求得
故知点Q的轨迹方程为：（）.
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
6、求根公式法
例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以===.
由,解得，
所以，
综上.
分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.
简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
（）
则
令，则，
在（）中，由判别式可得，
从而有，所以，解得.
结合得.
综上，.
点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.
第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。
例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点且．
求椭圆的标准方程；
记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由（Ⅰ）
（Ⅱ）
消元
解题过程：
（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则
又∵即∴
故椭圆方程为假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则
设，∵，故，于是设直线为，由得
∵又
得即
由韦达定理得
解得或（舍）经检验符合条件．．
例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
思维流程：
解：∵（1）原点到直线AB：的距离.
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得.
设的中点是，则
即
故所求k=±.
点石成金:C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD;
例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（II）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
思维流程：
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，
椭圆的标准方程为．
（II）设．
联立
得 ，则
又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即. ．
． ．
解得：，且均满足．
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点CA⊥CB;
例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
思维流程：
解：（Ⅰ）(法一)由题意知,,,
,（1分）
解得.由双曲线定义得:
,
所求双曲线的方程为:
(法二)因,由斜率之积为,可得解.
（Ⅱ）设,
(法一)设P的坐标为,由焦半径公式得,,，
的最大值为2,无最小值.此时,
此时双曲线的渐进线方程为
(法二)设,.
(1)当时,,
此时.
(2)当,由余弦定理得:
,
,,综上,的最大值为2,但无最小值.(以下法一)
把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式
直线l’在l的上方且到直线l的距离为
转化为一元二次方程根的问题
求解
问题
关于x的方程有唯一解
将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理
利用点Q满足直线AB的方程：y=k(x—4)+1，消去参数k
点Q的轨迹方程
所求量的取值范围
把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA=f（k），xB=g（k）
得到所求量关于k的函数关系式
求根公式
AP/PB=—（xA/xB）
由判别式得出k的取值范围
把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA+xB=f（k），xAxB=g（k）
构造所求量与k的关系式
关于所求量的不等式
韦达定理
AP/PB=—（xA/xB）
由判别式得出k的取值范围
写出椭圆方程
由，
，
由F为的重心
两根之和，
两根之积
得出关于
m的方程
解出m
由椭圆经过A、B、C三点
设方程为
得到的方程组
解出
由内切圆面积最大
转化为面积最大
转化为点的纵坐标的绝对值最大最大
为椭圆短轴端点
面积最大值为
得出点坐标为
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