2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测
高三理科数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．
（1）已知集合，则（▲）
A. B.
C. D.
【答案】【命题意图】本题考查集合的运算，容易题.
（2）为虚数单位，则复数的共轭复数是(▲)
A． B. C． D．
【答案】【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题.
（）设是公比为的等比数列，则“”是“为递减数列”的（▲）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【命题意图】本题考查等比数列的性质及充要条件，容易题.
（）（▲）
A. B. C. D.
【答案】【命题意图】本题考查，题.
（）已知是圆上的三点，若，则与的夹角为（▲）
A. B. C. D.
【答案】【命题意图】本题考平面向量的线性运算与几何意义，容易题.（）如图，网格纸上正方形小格的边长为（表示），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为，高为的圆柱体毛坯切削得到，则的体积与原来毛坯体积的比值为（▲）
A.B.
C. D.
【答案】【命题意图】本题考查几何体的三视图和几何体体积的计算，容易题.
（）执行如图所示的程序框图，输出的的值为（▲）
A. B. C. D.
【答案】C
【命题意图】本题考查对循环结构和条件结构的理解，题.
（）定义运算，如．已知，，则（▲）
A. B. C. D.
【答案】A
【命题意图】本题考查三角函数的有关概念、性质、变换，考查学生利用已有知识解决问题的能力，中等题.
（）已知分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆，则双曲线离心率的取值范围是（▲）
A. B. C. D.
【答案】【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，中等题.
（10）如图所示的图形是由一个半径为的圆和两个半径为的半圆组成，它们的圆心分别是．动点从点出发沿着圆弧按的路线运动（其中五点共线），记点运动的路程为，设，与的函数关系为，则的大致图象是（▲）
A. B.
C. D.
【答案】A
【命题意图】本题考查三角函数和转化与化归的数学思想，中等题．
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．
（11）已知是定义在上周期为的奇函数，当时，，则▲．
【答案】.
【命题意图】本题考查函数的奇偶性与周期性，容易题.
（12）以平面直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（为参数，）上的点到曲线的最短距离是▲．
【答案】
【命题意图】本题考查极坐标和参数方程，容易题.
（13）已知，其中，则▲．
【答案】.
【命题意图】本题考查二项式定理，容易题.
（14）已知满足，则的取值范围是▲．
【答案】.
【命题意图】本题考查线性规划，中等题.
（15）甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次：当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏．已知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是，则下列结论中正确的是▲（写出所有正确结论的编号）．
①第一局甲就出局的概率是；
②第一局有人出局的概率是；
③第三局才有人出局的概率是；
④若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是；
⑤该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于．
【答案】③④.
【命题意图】本题考查概率及其相关知识，较难题.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）(本题满分12分)
设函数，其中向量，．
(Ⅰ)求函数的最小正周期和在上的单调递增区间；学科网
(Ⅱ)中，角的对边分别为，且，求的取值范围．
【命题意图】本题考查平面向量、三角函数等等相关知识，考查学生运算能力和运用知识的能力，题.
解：(Ⅰ)
及
得在[0，π]上单调递增区间为．………………6分
(Ⅱ)，
………………9分
当C=时， ………………………12分
（17）(本题满分12分)
某程序每运行一次都随机一个五位的二进制数，其中的各位数字中，，为0和1的概率分别和．记，当程序运行一次时：
（Ⅰ）求的概率；
（Ⅱ）求的分布列和数学期望．
【命题意图】本题考查随机变量的分布列与期望等基础知识，考查学生应用知识解决问题的能力，题.
解：（Ⅰ）已知，要使， 只须后四位数字中出现2个0和2个1
（Ⅱ）的取值可以是1，2，3，4，5， 6分
，，，，
的分布列是
1 2 3 4 5 P ……………12分
（另解：记，，）
（18）（本小题满分12分）
三棱中，两两垂直，，分别是的中点，过作平面，平面与侧棱相交于，与侧棱的延长线分别交于点，且．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求二面角的余弦值．
命题意图本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力和运算能力，中等题．
(Ⅰ)，
； …6分
(Ⅱ)以为坐标原点，分别为正半轴，建立空间直角坐标系，
则,,,,,，
二面角二面角垂直知，故的法向量可以取，
设的法向量，则有
，
令得，，
所以二面角的余弦值．（Ⅱ）．（）（本题满分1分）
已知函数，．
（Ⅰ）若函数有极值，求实数的值；
（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．
【命题意图】本题考查导数与不等式的应用，考查学生运算能力、推理思维能力和解决具体问题的能力，题.
（Ⅰ），，
当时，，在上单减，无极值，
当时，在上单减，在上单增，
由题，，故；
（Ⅱ），，
由题，对恒成立，
时，，故对恒成立，
记，则，
故在上单减，又，所以．
（）（本小题满分1分）
如图，椭圆与抛物线有公共的焦点．点为椭圆与抛物线准线的交点之一，过向抛物线引切线，切点为，且点都在轴的右侧．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：直线是椭圆的切线．
【命题意图】本题考查椭圆、抛物线的方程与性质，考查利用导数求曲线切线的方法，考查学生运算能力、分析问题的能力，题.
（Ⅰ）由题，抛物线的准线为，
代入椭圆得点，
抛物线即，，
设点，则切线，
将点代入上式，得：，
即，即，
由于点在轴的右侧，所以点，
从而，
故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线，即，
，
整理得：，即，
该方程有两个等根，故直线是椭圆的切线．
注：本题若有学生利用抛物线、椭圆的光学性质完成正确解答，请酌情给分．
（2）（本小题满分1分）
已知数列中，，且．
（Ⅰ）若，，求的通项公式；
（Ⅱ）若，，求证：当时，．
【命题意图】本题考查，考查学生应用知识解决问题的能力，题.
（Ⅰ），，，，
由累乘法得：；
（Ⅱ）法一：，，，，，
当时，由知不等式成立；
假设时，，那么：
，
要证，只需证，
即证，
而，故时不等式仍然成立，
综上，当时，．
（Ⅱ）法二：，，，由于，
所以，，，于是时有：，
当时，，即，
于是：，
令，，
相减得：，
所以．
8
第（6）题图
是
开始
结束
？
输出S
否
？
否
是
第（10）题图
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