2008年安徽卷22题
设椭圆过点,且左焦点为.
求椭圆的方程;
当过点的动直线与椭圆相交于不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上.
答案:(1);(2).
细心的朋友会发现,为过点引椭圆的切线,切点所在的直线,为什么呢?
其实,由可知四点成调和点列,首先简单介绍一下调和点列.
定义:直线上依次四点满足,则称四点构成调和点列.
性质1:.
证明:
而
即证.
推论:已知四点调和,为中点.
性质2:如图,为圆外一点,为圆的切线,截圆于,交与点,则四点调和.
证明留给你吧.
推广:椭圆外一点作椭圆的两条切线,切点为,过的任意一条直线截椭圆于,交与点,则四点调和.
你现在明白为什么点总在的直线为切点所在的直线了吧.
无独有偶,在2011年山东卷文科压轴22题也是以调和点列问题为背景的.
题目:在平面直角坐标系中,已知椭圆,如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若.
(ⅰ)求证:直线过定点;
(ⅱ)试问点能否关于轴对称?若能,求出此时的外接圆方程;若不能,请说明理由.
在(Ⅱ)中,延长交椭圆于,由,所以调和.因此直线方程为即,因此直线过定点.
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