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留畸观倒慰羁固
_数等后的故事
吕增锋(浙江省象山县第二中学)
写作需要灵感，“但肯寻常便有诗，灵犀一点是吾
师”“文章本天成，妙手偶得之”便是对此真实的刻画．
数学论文写作当然也是如此．有不少教师曾痛下决
心：“等到‘赋闲’之时(如寒暑假期)集中精力打造一
篇佳作”，但最后似乎都难逃“心无灵犀点不通”“搜索
枯肠而不得一句”的结局．
那灵感到底是什么?它是怎么来的呢?其实，灵
感并非神秘之物，它是人们对自在之物的一种顿悟性
的思维活动；灵感也并非空穴来风，它的获得在很大
程度上依赖于恰当的“时机”．牛顿被坠落的苹果砸中
之后，悟出了“万有引力”的存在；李白也是在“斗酒”
过后，方才成就了诗词“百篇”．正所谓“论文的写作离
不开灵感，而灵感的捕捉离不开时机”．那捕捉论文写
作灵感的最佳时机到底是什么时候?下面笔者就结
合自身的数学论文写作经历，谈谈对此的看法．
1把握教学时机，从精彩纷呈的课堂中捕捉
灵感
数学论文的写作不是“无根之木，无源之水”，它
的“根”应扎于课堂，它的“源”应发自教学．思维碰撞
激起的绚丽火花，“意外”事件带来的手足无措的尴
尬，攻克难点后那种豁然开朗的感觉……，细心体味
课堂教学中的“喜怒哀乐”，其实到处蕴涵着丰富的写
作资源．我们要做的就是：抓住这些时机，反思隐藏在
“喜怒哀乐”背后的“真相”，捕捉那一瞬即逝的创作
灵感．
论文写作过程回顾1：
那是一堂高三立体几何复习课——空间的角．尽
管向量法已成为解决立体几何问题的“利器”，但它并
不是万能的，部分高考题中出现的很难建系的几何体
便是对向量法的一种挑战．因此，在本课中，笔者打算
通过一题多解的方式使学生同时掌握几何法和向量
法的要领，进而实现拓展学生解题思路的目的．想法
很“丰满”，但现实很“骨感”．当笔者给出题目，学生借
助向量法顺利解决问题后，任凭笔者怎么提问：“还有
没其他解法?”学生就是无动于衷，笔者只能直接抛出
几何法．在讲解几何法时，学生无精打采，不屑一顾，
基本上是笔者一人在唱“独角戏”．面对如此课堂场
景，笔者当时既尴尬又气恼．
为了找到真相，笔者课后进行了调查．学生的理
由是“这道题用坐标法很快得到正确答案，何必弄得
如此麻烦?”原来如此，在学生的眼里，教师用几何法
求解这道题显然是小题大做了．这道立体几何求角问
题能够轻松建系求坐标，向量法是最好的选择；而几
何法则要添加多条辅助线，显然要比向量法繁琐得
多．笔者课堂上遭受“冷遇”自然也就不难理解了．
从课堂教学的角度看这是一堂失败的课，但从失
败中得到的启示应该是绝好的写作素材．这堂课给人
的启示很多．比如，课前要关注学生的学情，要注意题
目的选择，要注重师生的互动等．但哪些启示才具有
较大的论文写作价值呢?这需要教师反复斟酌．回顾
本堂课的设计初衷，笔者原本打算借助数学教学中常
用的一题多解达成拓展学生解题思维的目的，但最后
不仅未能如愿以偿，反而弄巧成拙．由此可见，我们所
推崇的一题多解并不是随时随地可以进行的，而是需
要“见机行事”．找到写作的角度后，笔者马上着手提
炼文章的框架，最后拟出了以下提纲_1j：
(1)落花有意，流水无情——“一题多解”遭受“冷
遇”(背景介绍)．
(2)即鹿无虞，惟入于林中——“一题多解”违背
“时机”(原因揭示)．
(3)器藏于身，待机而动～—“一题多解”把握“时
机”(解决方法)．
①在学生思维受阻时开展一题多解；
②在学生思维兴奋时开展一题多解．
最终这篇名为《“一题多解”要见机行事》的教学
60lI_中掌学参考w}．．爱l一
2013第10L钮、
案例发表于《中学数学教学参考》(上甸)2012年第1—
2期．
事实上，那种波澜不惊、平淡无奇的课堂，转眼就
会被人遗忘，只有那些充满着各种“插曲”的课堂才能
令人印象深刻，而那种令人难忘的“插曲”恰恰是论文
写作的最佳素材．把握时机，反思教学问题背后的原
因，找到问题的症结，提炼解决问题的策略，这就是撰
写论文的一般过程．
2把握高考时机，从林林总总的试题中捕捉
灵感
每年高考刚刚结束之时，也是撰写论文的好时
机．高考试题都是百里挑一、精益求精的杰作，凝聚着
命题者的心血和智慧，体现了命题的发展趋势，对高
三复习教学具有积极的导向作用．很多期刊也都会在
这一时间举行与高考有关的征文活动，例如，高考试
题的赏析、高考试题的教学、高考复习策略的研究等．
因此，教师要充分利用这个时机，从众多高考试题中
发现具有写作价值的题目．
论文写作过程回顾2：
2007年高考一结束，笔者就逐一浏览全国各个
省份的高考数学试卷，试图从中寻找论文写作的蛛丝
马迹．其中江西卷理科第8题引起了笔者的注意，题
目大意是这样的：
四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好
选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆
口酒杯，如下图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯
中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h、h。、
^。、h则它们的大小关系正确的是()
A．^2>^l>矗1B．hl>^2>h3
C．h>z>D．h2>矗4>1
本题在选材上清新自然，充满着浓厚的生活气
息；在解法上更是不拘于泥，既可以通过定量计算得
到精确结果，又可以借助定性分析感知正确答案，因
此，本题具有较大的写作价值．但如何写?写些什么
呢?选择合适的写作角度最为关键．若是单纯将解题
方法罗列，内容显然太单薄，很难打动读者的心；若从
解题方法人手，抽丝剥茧揭示问题的实质，顺藤摸瓜
发现命题的趋势，这样的文章内涵就丰富了，容易吸
引读者的眼球．
于是笔者拟定了写作的提纲，具体如下]：
(1)问题该怎样解决?
①定性分析——以动制静；
②定量分析——以静制动．
(2)圆台和半球中酒的高度可以比较吗?
(3)高度和体积到底有怎样的关系?
(4)往年出现过类似的高考题吗?
笔者也特意给这篇文章取了一个比较生活化的
题目：酒杯中的学问一一对一道高考题的探究．此文
发表于《数学通讯》2008年第3期，这是笔者真正意
义上发表的第一篇论文．
以高考题为素材的论文写作，首先，要选好题目，
应该选择那些具有开放性的、创新性的题目，好的题
目更易激发写作灵感；其次，在写作内容上，最好避免
只是对解题方法的罗列，而是要以题目为生长点，结
合课堂教学，开展对题目本质的探究；最后，此类论文
的发表具有一定的时效性，因此力求“一有灵感，马上
创作，迅速投稿”．
3把握交流时机，从风格迥异的课例中捕捉
灵感
还有一个论文写作素材的最佳来源，那就是各种
公开课、示范课、优质课、探索课、带徒活动等教学交
流活动．因为，在这些活动中，上课教师多会在教学设
计上极尽所能、标新立异，力求打造完美课堂，并且，
课后还有同行的交流与点评、专家的专题报告．如果
你能够充分把握这样的机会，何愁写作没有灵感．事
实上，笔者至今发表的30余篇论文中，灵感多数来源
于此．
论文写作过程回顾3：
这是一堂高三第二轮复习课～平面向量复习．
上课的教师是一位重点中学的骨干教师．整堂课非常
流畅，尤为令人佩服的是这位教师的解题能力，几乎
每道例题都引导学生进行了一题多解的尝试，取得了
比较好的教学效果．在随后的评课中，大家对这堂课
的点评基本上都是溢美之词．这堂复习课在大家的眼
中似乎非常完美．
若把这些点评加以梳理、整合，并与当时的教学
情境相结合，应该就是一篇很不错的教学案例．当然，
类似的教学案例在各类刊物中也比较常见，但笔者认
为，若是人云亦云，就很难写出自己的特色，因此最好
(下转第62页)
中学数学教学参考
～……讥～V2013年第10期(上旬)4㈡-tt。一…l…-|谟与写作
程中缺乏全面严谨的思路．在解题过程中具体表
现为分析不全面导致答案不完整或完全错误．还
以此题为例，若分为5种情况就会避免这种错误，
它们是
f(“一
(2)
lz一
f(“一
(4)
I一
)一1>
z—l≥0
)一1一
一1—0
从而可得出正确答案一3
．值得我们反思．
2．3领略罗教授高超的教学艺术是一大收获
的过程，从中品味思考的乐趣，发展思维的能力，并获
得数学的思想和方法．罗教授的这堂案例分析课就生
动地展现了这一过程：提出研究的问题(抛砖引玉)一
学员给出不同的答案(出现矛盾)～教员引导学员辨
析解法1的正误(集思广益，充分发挥学员的主观能
动性，达到第一个高潮)～通过例2这个反例以及学
员4的正确解法进一步说明解法1的错误(加深理
解，达到目的)～抛出第二个困惑(5种情况可以合并
为2种情况，达到第二个高潮)一教员引导学员析疑
(真相大白，受益匪浅)．这堂课就向一部悬疑剧，步步
惊心，跌宕起伏，让人回味无穷．
参考文献：
[1]罗增儒．与“国培”学员一起做案例分析[j]．中学数学教
一堂好的数学课，必然蕴涵着丰富的数学内涵，学参考：上旬，2013(5)：2—5．
能够善于激发学生思考的热情，使学生经历“百思不[2]罗增儒．与“国培”学员一起做案例分析[jlj．中学数学教
得其解的困惑～茅塞顿开的激动一问题解决的愉悦’，学参考：上旬，2013(6)：2-6．
十一—+_一1一十“—十r“+“+”十一+一+“+十”十一+I一十一+”+一十”+“++“+“+”+”+”+“+“+-·+-·十一+”+”+”++“+“+“+··+一—“+一+一+一+”+”+一十一—+”+“+”+·
(上接第60页)
另辟蹊径．笔者注意到，这堂课的最大亮点是一题多
解，但每道例题都进行一题多解是否有必要?并且在
一题多解的过程中教师需要注意什么问题?从这两
个疑问出发，笔者重新梳理了这堂课，发现所有解法
基本上都是教师自己的想法，很少有解法是学生自己
独立得到的，并且，上课教师过于重视展示解法的多
样性，而忽视了对不同解法进行取舍的分析．这两点
显然是本堂课的最大“败笔”．于是笔者就以“‘一题多
解’是‘亮点’还是‘败笔’～一由一堂高三复习课引发
的思考”为题撰写本堂课的教学案例．为了增加文章
的可读性，笔者重新构思了当时评课的情况：“评委被
分成正反两方，一方认为一题多解运用得当，另一方
认为一题多解运用失策．笔者充当‘裁判’，分别站在
正反两方的立场对这堂课中的一题多解进行理性的
剖析．”当然，这些杜撰的成分不会影响整篇文章的真
实性和有效性，写论文有时也需要“虚构”．本文的具
体框架如下口：
(1)课堂教学过程简介．
(2)“亮点”VS“败笔”(正反两方评委的争论)．
(3)一题多解应该注意什么?(笔者的观点)
①“一题多解”应该关注“考纲”和“考试说明”；
②“一题多解”应该关注学生的学情；
③“一题多解”应该关注解法的选择．
这篇文章在《中学数学教学参考》(上旬)2010年
第l0期上刊发．
一般教学案例根据文章的基调可分为“褒扬”和
“批判”两大类．“褒扬”类文章无非是夸奖执教者的教
学设计是如何的独具匠心、重难点如何完美突破、学
生的主体地位如何得到保障……，整篇文章充斥着溢
美之词，而对课堂教学的不足之处却是轻描淡写或者
干脆视而不见．对于这类文章，笔者向来心存芥蒂．一
则是因为教学原本就是一门“遗憾的艺术”，世上哪有
尽善尽美的课；二则是因为这类文章通常缺乏鲜明的
个性，把对一篇文章中的“点评”转嫁到另一篇文章，
照样合情合理．笔者最感兴趣的是“批判”类的教学案
例．用批判质疑的眼光审视堂课的细微之处，仔细梳
理课堂教学的问题症结，然后把它引申、放大，联系相
关的教学理论，最后通过以小见大的方式展现自己独
到的思考和见解．这样写出的文章才会个性张扬，内
涵深刻，读后让人回昧无穷．
总之，数学论文的撰写要“因时而动，顺势而为”．
只有抓住恰当的时机，才能捕捉到与众不同的灵感，
写出别具一格的文章．
参考文献：
[1]吕增锋．“一题多解”要见机行事[J]．中学数学教学参考：
上甸，2012(1／2)：2223．
[2]吕增锋．酒杯中的学问一一对一道高考题的探究[J]．数
学通讯，2008(3)：44—46．
[33吕增锋．“一题多解”是“亮点”还是“败笔”[j]．中学数学
教学参考：E旬，2010(10)：15—17．
K一一一一一
一一一一一一
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