南通市2014届高三第二次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、共14小题，每小题5分，共70分．，则▲．
【答案】．
2．某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为．
3．（其中i为虚数单位）的模为▲．
【答案】．
4．从??方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则
??该样本中产品的最大编号为▲．
【答案】76．
5．的值为．若，则a的取值范围是．
7．函数为奇函数其图象的一条切线方程为则b的值?【答案】．
8.?设l，m表示直线，m是平面内的任意一条直线．则“”是“”成立的▲条件．[来源:Z+xx+k.Com]
（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）
【答案】充要．
9．在平面直角坐标系xOy中是半圆：（）上一点，直线的倾斜角为45°，过点作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交半圆于点，则直线的方程是▲．
【答案】．
10．△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则的值为▲．
【答案】－36．
11．x，y，zx，y，z成等比数列，且，，成等差数列，则的值是▲．
【答案】．
12．是函数的一个零点则在区间内所有极值点之和为
【答案】
13．［2－(+1)m－1］≥恒成立，则实数x的值为▲．[来源:Zxxk.Com]
【答案】1
14．实数a，b，c满足a2＋b2≤c≤1，a＋b＋c的最小值为
【答案】．
二、共6小题，共90
15．本小题满分14分ABC中，已知．求：
（1）AB的值；
（2）的值．
【解】（1）（方法1）因为，……………………………4分
所以，即，故7分
（方法2）设A，B，C的对边依次为a，b，c，
则由条件得3分[来源:Z.xx.k.Com]，即，故7分
（方法3）设A，B，C的对边依次为a，b，c，
则由条件得3分
由余弦定理得，
两式相加得故7分
（2）…………………………10分
由正弦定理得．…………14分
16．本小题满分14分P－ABCD中，E是的中点∥平面PAD；
??（2）平面PBC⊥平面PAB．
【证】（1）（方法1）取PA的中点F，连EF，DF．……2分E是的中点．
因为AB∥CD，AB＝2DC，4分，于是四边形DCEF是平行四边形，
从而CE∥DF，而平面PAD平面PAD∥平面PAD．……………………7分2分E是的中点，所以平面PAD平面PAD∥平面PAD．同理，CM∥平面PAD．
因为，平面CEM平面CEM∥平面PAD，故CE∥平面PAD．………………………7分
（2）（接（1）中方法1）因为PD＝AD，且F是PA的中点，所以．
因为AB⊥平面PAD，平面PAD．………………………10分
因为CE∥DF，所以，．
因为平面PAB，所以平面PAB平面PBC所以14分
17．本小题满分14分在1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y随着时间(单位天)变化的函数关系式近似为
若多次则某一时刻中的剂浓度为每次投放的剂在相应时刻所释放的浓度之和,当中剂的浓度不低于4(克/)时它才能起到的作用
（1）若一次4个单位的剂则时间可达几天?
（2）若第一次2个单位的剂6天后再）个单位的药剂要使接下来的4天中能够持续有效试求的最小值精确到0.1参考数据取1.4解（1）因为一次4个单位的剂所以浓度
则当时由解得所以此时3分
当时由解得所以此时
综合得若一次投放4个单位的制剂则有效时间可达8天．7分
（2）设从第一次喷洒起x（）天．10分
因为而所以故当且仅当时有最小值为.
令解得所以a的最小值为14分
18．本小题满分1分所围成的封闭图形的面积为
，曲线C1上的点到原点O的最短距离为．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记
为C2．
（1）求椭圆C2的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点??重合）．
若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
若是l与椭圆的交点，求△的面积的最小值．
（1）又，解得，．
因此所求椭圆的标准方程为．…………………………4分
（2）①设，，则由题设知：，．
即解得在椭圆C2，
即，亦即．
所以点M的轨迹方程为．………………………10分
②（方法1）设，则，
因为点A在椭圆C2，即（）（ii）（）+（ii）得，
所以.
当且仅当（即）时，.………………………16分
（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)．
解方程组得，，[来源:学.科.网Z.X.X.K]
所以，.
又解得，，所以．……………12分
（解法1）由于
，
当且仅当时等号成立，即k＝±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝．……………15分
当k＝0，S△AMB；
当k不存在时，S△AMB．
综上所述，△AMB面积的最小值为．……………16分
（解法2）因为，
又，于是，
当且仅当时等号成立，即k＝±1时等号成立．（后同方法1）
19．(本小题满分16分)
设数列{an}的首项不为零，前n项和为Sn，且对任意的r，tN，都有．
（1）求数列{an}的通项公式（用a1表示）；
（2）设a1=1，b1=3，，求证：数列为等比数列
（3）在（2）的条件下，求．
【解】（1），，则，得，即．…2分
当时，，且当时，此式也成立．
故数列{an}的通项公式为．……………5分
（2）Sn＝n2．
依题意，时，，………7分
于是，且是首项为等比数列（3）（2），所以．………12分
于是．………16分
20．(本小题满分16分)
设函数，其图象轴交于，两点，且x1＜x2．
（1）求的取值范围；
（2）证明：（为函数的导函数函数的图象，求
的值．
【解】（1）．
若，则是单调增函数，这与题设矛盾．………………………2分
所以，令，则．
当时，，是时，，是时，取得极小值．………………………4分
因为函数的图象轴交于两点，(x1＜x2)，
所以，即．.
此时，存在；
存在，
又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围.………………………………6分
（2）因为两式相减得．
记，则，……………8分
设，则，所以是单调减函数，
则有，而，所以．
又是单调增函数，且
所以．…………………………………………11分
（3）依题意有，则．
于是，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，……………………13分
所以，即，
由直角三角形斜边的中线性质，可知，
所以，即，
所以，
即．
因为，则，
又，所以，……………………………………15分
即，所以……………………………………16分Ⅱ（附加题）
21A．选修41：几何证明选讲
如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP?//?AC，交AB于点E，交圆O
在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．
【证明】因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．
因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，
所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．
又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．……………………10分
21B．选修4：
已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，且＝．求矩阵M．解设，则由，
再由，
联立以上方程组解得，故10分
21C．选修4：与参数方程
在平面直角坐标系xOy中动点（θ为参数）上，且这两
点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ的中点M与定点A(1，0)间的距离为d，
求d的取值范围．
【解?(?1?+?2cosα，2sinα?)，Q?(?1?+?2cos2α，sin2α?)，…………………………2分
于是PQ的中点M．…………………………4分
从而…………………………6分
因为0＜α＜2π，所以－1≤cosα＜1，…………………………8分
于是0≤d2＜4，故d的取值范围是．…………………………10分
21D．选修4：选讲
R．
求证：．
证明：因为|m|+|n|≥|m－n|，
所以．…………………………………………8分≥2，故≥3．
所以．……………………………………………………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）
在长方体ABCD—A1B1C1D1中，，点E棱AB上．．
（1）证明：；
（2）二面角D1—EC—D的大小为的值．
【证（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系．
不妨设AD=AA1＝1，AB＝2，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)．
＝λ，，(－1，0，－1)．
．D1EA1D．D1D⊥平面ABCD，平面DEC的法向量为＝(0，0，1)．
又，(02，1)＝(，，)，
则n2·，n2·，
所以向量n2的一个解为．
因为二面角D1—EC—D的大小为，则±－1．
又因E是棱AB上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为－1．………10分
23.（本小题满分10分）
设数列{an}共有n（）项，且，对每个i(1≤i≤，iN)，均有
．
（1）当时写出满足条件的所有数列时求满足条件的数列解时，．
因为，，即，，
所以或或；1，1，1；1，2，1．………3分
（2）令bi＝(1≤i≤7)，则对每个符合条件的数列{an}，满足条件：
，且bi∈(1≤i≤7)．
反之，由符合上述条件的7项数列{bn}可唯一确定一个符合条件的8项数列{an}．………7分
记符合条件的数列{bn}的个数为N．
显然，bi(1≤i≤7)中有k个2；从而有k个，7－2k个1．
当k给定时，{bn}的取法有种，易得k的可能值只有0，1，2，3，
故．
因此，符合条件的数列{an}的个数为393．………10分
E
D
C
B
A
P
（第5题）
（第16题）
P
A
B
C
D
E
（第16题）
F
M
B
D
C
A
P
E
（第21—A题）
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
E
（第22题）
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