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高2014届第三次模拟考试 数学（理）答案 第I卷（选择题共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B B D B B A B 第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
题号 11 12 13 14 15 A B C 答案
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）∵=
==.……………………3分
∴函数的单调递增区间是.………5分
（Ⅱ）∵，∴.
又，∴.
∴.…………………7分
在中，∵，
∴,即.
∴.…………………………10分
∴……………………12分
17.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）证：因为,则
所以当时，，整理得分
由，令，得，解得．
所以是首项为，公比的等比数列．分
时，由（Ⅰ）知，则
由，得分
当时，
＝，-----------------10分
当时上式也成立．
∴数列的通项公式为．-----------------12分
【解析】（Ⅰ）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.
又三棱柱为直三棱柱，
∴面面，
∴面，.-------2分
设，则.
∴，∴.-------------------4分
又，∴平面.-------------------6分
（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，
则，
，.
-------------------8分
由（Ⅰ）知，平面，
∴可取平面的法向量.
设平面的法向量为，
由
∴可取.-------------------10分
设锐二面角的大小为，
则.
∴所求锐二面角的余弦值为.-------------------12分
19.（本小题满分12分）
【解析】(Ⅰ)一次摸球从个球中任选两个，有种选法，
其中两球颜色相同有种选法；
∴一次摸球中奖的概率.-----------------4分
(Ⅱ)若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是.-----------------8分
(Ⅲ)设一次摸球中奖的概率是，
则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，
∵，
∴在是增函数，在是减函数，
∴当时，取最大值.-----------------10分
由.
∴时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大．-----------------12分
20.（本小题满分13分）
【解析】（Ⅰ）由点在直线上，得，
故，∴．从而．……………2分
所以椭圆方程为．……………4分
（Ⅱ）以为直径的圆的方程为．
即．其圆心为,半径．…………6分
因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离．
所以，解得．所求圆的方程为．……9分
（Ⅲ）方法一：由平几知：，
直线，直线，
由得．
∴．
所以线段的长为定值．……………13分
方法二：设，
则．
．
又．
所以，为定值．……………13分
21.（本小题满分14分）
【解析（Ⅰ）
①时，∴在上增函数-----------------1分
②当时，，由，
∴在上递增，在单调递减-------------------4分
（Ⅱ）当时由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减
又------------------6分
∴．
∴当时，方程有两解------------------8分
（Ⅲ）要证：只需证
只需证．
设则
由（Ⅰ）知在单调递减--------------------12分
∴，即是减函数，而
∴，故原不等式成立--------------------14分
五校联考第三次数学（理）答案第1页共6页
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