试卷类型：A
2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）
2015.4
本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟1．答卷前，考生务必用2B铅笔黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5．考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回的值为
A．B．C． D．的反函数为，则
A．B．C． D．：经过点，则双曲线的离心率为
A．B．C． D．的值是
A．B．C． D．：，，命题：，使，则下列命
题为真命题的是
A．B．C． D．，，若，则实数的取值范围为
A．B．C． D．满足，且，则数列的通项公式为
A．B．C． D．，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为
A．B．C． D．，母线长，点在母线上，且，
有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是
A．B．C． D．设函数两个极值点，且，则点在
平面上所构成区域的面积为
A．B．C． D．本大题共小题，考生作答小题，每小题5分，满分0分．
（一）必做题（～13题）
．为虚数单位，复数，则．
12．已知向量，，，则与刹车时的速度的关系可以用来描述，已知这种型号的汽车在速度为60时，紧急刹车后滑行的距离为．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为，则这辆车的行驶速度为．
（二）选做题（14～1514．如图，在平行四边形中，，点为边的中点，与的延长线交于点，平分，，垂足为，若，则长为15．16．（本小题满分12分）
的三边，，所对的角分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若△外接圆的半径为14，求△的面积．
17．（本小题满分12分） 0.7 [30,40) 27 0.9 [40,50) 10 4 [50,60] 20 0.1 （1）分别求出，，的值；
（2）答对全卷的人中随机抽取2人，求的人中有1人的概率．
18．（本小题满分1分）的棱长为3，，分别是
棱，上的点，且．
（1）证明：，，，四点共面；
（2）平面将此正方体分为两部分，求这两部分的体积
之比．
19．（本小题满分1分）在直线：上，是直线与轴的交点，数列是公差为1的等差数列．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若是否存在，使成立？若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由．
20．函数在处的切线平行于轴，求实数的值，并求此时函数的极值；
（2）求函数的单调区间．
21．（本小题满分1分）已知圆心在轴上的圆过点和，圆的方程为．
（1）求圆的方程；
（2）由圆上的动点向圆作两条切线分别交轴于，两点，求的取值范围．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（）
数学（科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
本大题考查基本知识和基本运算．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B C A D B B D
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算共小题，每小题，满分0分．其中1~15题是选做题，考生只能选做题． 答案
16．（本小题满分12分），
所以可设，，，…………………………………………………………2分
由余弦定理得，
…………………………………………………………3分
．………………………………………………………………………………………………4分
（2）由（1）知，，
因为是△的内角，所以．…………………………………………6分
由正弦定理，…………………………………………………………………………………7分
得．…………………………………………………………………8分
由（1）设，即，
所以，．………………………………………………………………10分
所以……………………………………………………11分
．
所以△的面积为．…………………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）．………………………………1分
年龄在中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以．……………2分
年龄在中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为，
所以，解得．…………………………………………………………………………3分
根据频率直方分布图，得，
解得．……………………………………………………………………………………………4分
（2）因为与中答对全卷的人数分别为4人与2人．
年龄在中答对全卷的4人记为，，，，年龄在中答对全卷的2人记为，，则从这6人中随机抽取2人，，，，，，，，，，，，，，共15种．…………………………………………………………………………………8分
其中所抽取的人中有1人，，，，，，，，共9种.……………………………………11分
故所求的概率为.………………………………………………………………………………12分
18．（本小题满分1分）（1）证明：连接，
在四边形中，且，
所以四边形是平行四边形．
所以．…………………………………………2分
在△中，，，
所以，
所以．…………………………………………………………………………………………4分
所以．
所以，，，四点共面．………………………………………………………………………6分
（2）解法一：记平面将正方体分成两部分的下部分体积为，上部分体积为，
连接，，，
则几何体，，均为三棱锥，
所以
………9分
．……………………………………………………………………………………………11分
从而，…………………………………………………13分
所以．
所以平面分此正方体的两部分体积的比为．……………………………………………14分
解法二：记平面将正方体分成两部分的下部分体积为，上部分体积为，
因为平面平面，所以平面平面．
延长与相交于点，
因为，
所以，即，解得．
延长与相交于点，同理可得．
所以点与点重合．
所以，，三线相交于一点．
所以几何体是一个三棱台．……………………………………………………………9分
所以，………………………………………………11分
从而，…………………………………………………13分
所以．
所以平面分此正方体的两部分体积的比为．……………………………………………14分
19．（本小题满分1分）是直线：与轴的交点，
所以，．……………………………………………………………………………………2分
因为数列是公差为1的等差数列，
所以．……………………………………………………………………………………………4分
因为点在直线：上，
所以．
所以数列，的通项公式分别为，．………………………6分
（2）因为
假设存在，使成立．………………………………………………………7分
①当为奇数时，为偶数，
则有，
解得，符合题意．………………………………………………………………………………10分
②当为偶数时，为奇数，
则有，
解得，不合题意．………………………………………………………………………………13分
综上可知，存在符合条件．………………………………………………………………………14分
20．的定义域为，……………………………………………………………………1分
因为，
所以，………………………………………………………………………………2分
依题意有，即，解得．………………………………………………3分
此时，
所以当时，，当时，，
所以函数在上是增函数，在上是减函数，………………………………………5分
所以当时，函数取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分
（2）因为，
（ⅰ）当时，………………………………………………………………………………………7分
因为，所以，
此时函数在是增函数．……………………………………………………………………9分
（ⅱ）当时，令，则．
因为，
此时，
其中，．
因为，所以，又因为，所以．……………………………………11分
所以当时，，当时，，
所以函数在上是增函数，在上是减函数．…………………………………13分
综上可知，当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．……………………………………14分
21．（本小题满分1分）的方程为：，………………………………………1分
因为圆过点和，………………………………………………………………………………3分
解得，．
所以圆的方程．…………………………………………………………………4分
方法二：设，，
依题意得，圆的圆心为线段的垂直平分线与轴的交点．………………………………1分
因为直线的方程为，即，……………………………………………………2分
所以圆心的坐标为．…………………………………………………………………………3分
所以圆的方程．…………………………………………………………………4分
（2）方法一：设圆上的动点，
则，
即，
解得．…………………………………………………………………………………………5分
由圆圆向圆作两条切线的方程为：，的方程为：，
则点的坐标为，点的坐标为，
所以，
因为，是圆的切线，所以，满足，
即，是方程的两根，………………………………7分
即
所以……………………………………………9分
因为，
所以．…………………………………………………………………………10分
设，
则．………………………………………………………………………………11分
由，可知在上是增函数，在上是减函数，……………………12分
所以，
，
所以的取值范围．…………………………………………………………………14分
方法二：设圆上的动点，
则，
即，
解得．…………………………………………………………………………………………5分
设点，，
则直线：，即，
因为直线与圆，
化简得．①
同理得，②
由①②知，为方程的两根，…………………………………………7分
即
所以
．……………………………………………………………………9分
因为，
所以……………………………………………………………………………10分
．………………………………………………………………11分
令，因为，所以．
所以，………………………………………12分
当时，，
当时，．
所以的取值范围．…………………………………………………………………14分
数学（文科）试题A第13页共13页
C1
N
M
D
C
D1
B1
A1
B
N
M
D
C
D1
C1
B1
A1
B
A
A
0.03
0.04
c
0
0.01
C
V
60
图4
B
N
A
M
D
C
D1
B1
A1
B
A
C1
图2
50
B
40
30
频率/组距
年龄
图3
图1
开始
否
C
结束
A
G
F
E
D
输出z
y=z
x=y
z<20?
是
z=xy
x=1,y=2
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