2015年4月玉林市贵港市高中毕业班联合考试
数学试卷(文科)
2015.4.
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-3,-1,1,2},B={-2,0,1,2},则A∩B=
(A){1} (B){1,2} (C){-3,1,2} (D){-3,0,1}
2.复数的共轭复数是
(A)-1-i (B)-1+i (C)1-i (D)1+i
3.“sin2θ<0”是“tanθ<0”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
4.某市修建经济适用房,已知A、B、C三个社区分别有低收入家庭400户、300户、200户,若首批经济适用房有90套住房用于解决住房紧张问题,采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从A社区中抽取低收入家庭的户数为
(A)40 (B)36 (C)30 (D)20
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为,则它的一个焦点到它的一条渐近线的距离为
(A)1 (B)2 (C) (D)2
6.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时有f(x)=2x,则f(2015)=
(A)-1 (B)-2 (C)1 (D)2
7.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出S的值是
(A)25
(B)55
(C)72
(D)110
8.设x、y满足约束条件,则z=x-2y的最大值为
(A)11 (B)-1 (C)12 (D)-2
9.一个几何体的三视图如图所示,已知正(主)视图是底边长为1的平行四边形,侧(左)视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形,则该几何体的体积V是
(A)1 (B)
(C) (D)2
10.设F为抛物线y2=5x的焦点,P是抛物线上x轴上方的一点,若|PF|=3,则直线PF的斜率为
(A)3 (B) (C) (D)2
11.若函数f(x)=ex+4x-kx在区间(,+∞)上是增函数,则实数k的最大值是
(A)2+e (B)2+ (C)4+e (D)4+
12.定义运算M:xy=f(x)=(x2-3)(x-1),若函数y=f(x)-c恰有两个零点,则实数c的取值范围是
(A)(-3,-2)∪[2,+∞) (C)(-1,0]∪(2,+∞)
(C)(-3,-2) (D)(-1,0)
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在1,3,5,7中任取两个不同的数,则这两个数的和为8的概率为__________。
14.设向量、满足||=1,|-|=,?(-)=0,则|2+|=______。
15.在△ABC中,A=45°,AB=2,BC=3,则AC=_____________。
16.已知A为射线x+y=0(x<0)上的动点,B为x轴正半轴上的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值为__________。
三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知数列{an}中,a1=3,a2=5,且{an-1}是等比数列
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn。
(18)(本小题满分12分)
某市地铁即将于2015年6月开始运营,为此召开了一个价格听证会,拟定价格后又进行了一次调查,随机抽查了50人,他们的收入与态度如下:
月收入(单位百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 赞成定价人数 1 2 3 5 3 4 认为价格偏高人数 4 8 12 5 2 1 (Ⅰ)若以区间的中点为该区间内的人均月收入,求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数);
(Ⅱ)由以上统计数据填下面2乘2列联表并分析是否有99%的把认为“月收入以5500元为分届点对地铁定价的态度有差异”。
月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计 认为价格偏高者 a= c= 赞成定价者 b= d= 合计 参考数据K2=
P(χ2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635
19.(本小题满分12分)
四棱锥S-ABCD中,侧面SAD是正三角形,底面ABCD是正方形,且平面SAD⊥平面ABCD,M、N分别是AB、SC、AD的中点,
(Ⅰ)求证:MN∥平面SAD;
(Ⅱ)求证:平面SOB⊥平面SCM。
(20)(本小题满分12分)
已知一椭圆E的中心在坐标原点,左右焦点在x轴上,若其左焦点F1(-c,0)(c>0)到圆C:(x-2)2+(y-4)2=1上任意一点距离的最小值为4,且过椭圆右焦点F2(c,0)与上顶点的直线与圆O:x2+y2=相切
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=-x+m与椭圆E交于A、B两点,当以AB为直径的圆与y轴相切时,求△F1AB的面积。
(21)(本小题满分12分)
定义在(0,+∞)上的三个函数f(x),g(x),h(x),已知f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x)
h(x)=x-a,且g(x)在x=1处取得极值。
(Ⅰ)求a的值及h(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:当1<x<e2时,恒有x<。
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时标出所选题目的题号。
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D,使BC=CD,
过点C作圆O的切线交AD于E。
(Ⅰ)求证:CE⊥AD;
(Ⅱ)若AB=2,ED=,求证:△ABD是等边三角形.
23.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+cosθ)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长。
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|.
(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+4)≥8
(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f()
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A B B C A C C D A 13. 14.2 15.+ 16.2+2
解析:
2.==1+i,其共轭复数为1-i,选C
4.设从A社区抽取n户,则=,解得n=40,选A
6.∵f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x),故周期为T=4,
又∵函数为奇函数,f(2015)=f(504×4-1)=f(-1)=-f(1)=-2,故选B
7.此程序是求i=1,3,5,7,9,11时,2i的值的和,
故输出的S=2+6+10+14+18+22=72
9.由三视图可知,该几何体是一个平行六面体,其底面是边长为1的正方形,高为,
∴V=1×1×=
12.由题意得f(x)=,作出函数f(x)的图象如图,
要使函数y=f(x)-c恰好有两个零点,即使函数y=f(x)与函数y=c的图象有两个交点,由图象可知,当c∈(-3,-2)∪[2,+∞)时,函数y=f(x)与函数y=c的图象有两个交点,即函数y=f(x)-c恰好有两个零点。
14.∵?(-)=0∴?=2=||2=1
∵|-|=
∴(-)2=3
∴2-2?+2=3
∴2=4
∴|2+|====2
16.设A(-a,a),B(b,0)(a>0,b>0),则|AB|==
又×|AB|×1=S△AOB=ab得|AB|=ab∴=ab
∴(ab)2=2a2+b2+2ab≥2+2ab∴ab≥2+2(当b=a时取等号)
∴|AB|的最小值为2+2.
(17)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵{an-1}是等比数列且a1-1=2,a2-1=4,=2
∴an-1=2?2n-1=2n,∴an=2n+………………………………6分
(Ⅱ)bn=nan=n?2n+n
故Tn=b1+b2+b3+…+bn=(2+2×22+3×23+…+n?2n)+(1+2+3+…+n)
令T=2+2×22+3×23+…+n?2n则
2T=22+2×22+3×24+…+n?2n+1
两式相减得-T=2+22+23+…+2n-n?2n+1=-n?2n+1
∴T=2(1-2n)+n7`2n+1=2+(n-1)?2n+1
∵1+2+3+…+n=∴Tn=(n-1)?2n+1+……………………………12分
(18)(本小题满分12分)
(Ⅰ)“赞成定价者”的月平均收入为
x1=≈50.56…………………2分
“认为价格偏高者”的月平均收入为:
x2==38.75…………………………4分
“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是:
x1-x2=50.56-38.75=11.81(百元)……………………………………6分
(Ⅱ)根据条件可得2×2列联表
月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计 认为价格偏高者 a=3 c=29 32 赞成定价者 b=7 d=11 合计 10 40 50 K2=≈6.27<6.635……………………………11分
∴没有99%的把握认为月收放以5500为分届点对地铁定价的态度有差异。………12分
19.(本小题满分12分)
如图,取SD的中点R,连结AR、RN,
则RN∥CD,且RN=CD,AM∥CD
∴RN∥AM,且RN=AM
∴四边形AMNR是平行四边形
∴MN∥AR,由AR(平面SAD,MN平面SAD
∴MN∥平面SAD…………………………6分
(Ⅱ)如图,设OB∩CM=H,由SO⊥AD,面SAD⊥面ABCD
∴SO⊥平面ABCD,∴CM⊥SO
易得△ABO≌△BCM∴∠ABO=∠BCM
则∠BMH+∠ABO=∠BMH+∠BCM=90°
∴CM⊥OB
∴CM⊥平面SOB
∵CM(平面SCM
∴平面SOB⊥平面SCM…………………………………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设椭圆+=1(a>b>0)焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),
则椭圆的右焦点到圆上任意一点距离的最小值为:
-1=4又c>0∴c=1………………………………3分
过椭圆右焦点和上顶点的直线方程为+=1即bx+y-b=0
由直线和圆O相切可得=,解之得b=1,
∴a2=b2+c2=2
∴椭圆E的方程为+y2=1………………………………………………5分
此时|AB|===
点F1到直线AB的距离为d=
∴当m=时,△F1AB的面积为S=|AB|?d=×(1+)=…………11分
当m=-时,△F1AB的面积为S=|AB|?d=×(-1+)=………12分
(21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)由题意得,g(x)=x2-af(x)=x2-alnx
∴g''(x)=2x-………………………………………………………………………….2分
∵g(x)在x=1处取得极值,∴g''(1)=2-a=0∴a=2
∴h(x)=x-2,h''(x)=1-…………………………………………………4分
∴当1<x<e2时,恒有x<………………………………………………………………………………………12分
23.解:(Ⅰ)圆C的普通方程是(x-1)2+y2=1又x=ρcosθ,y=ρsinθ
∴圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ……………………………………………………………5分
(Ⅱ)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,则有,解得
设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,则有,解得
由于θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1-ρ2|=2
∴线段PQ的长为2……………………………………………………………………………10分
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
解:(Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=
【高中毕业班联合考试?数学第2页(共4页)文科】
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