一lI中小学数学解题研究2013年10月下旬(高中)
分类思想重在“标准’’
从一道高考数学改编题的教学谈起
江苏省常州高级中学(213003)陈玉娟
1．问题的提出与呈现
近几年，笔者在高三的数学教学中发现，学生对
分类与整合的数学思想方法虽比较熟悉，通常也能找
到解决问题的突破口，但“会而不对、对而不全”的现
象较为严重．究其原因，主要是他们难以整体把握分
类的“标准”．纵观近几年高考试题，通常是由参数的
变化及变化过程需要一些条件的限制而引起的分类
讨论．下面笔者结合一道高考数学改编题的教学，谈
谈如何运用分类思想解决有关含参变量的分段函数
的最值问题．
【2009江苏高考第20题】设n为实数，函数，()
=2x+(一0)I一01．
(1)若0)≥1，求。的取值范围；
(2)求_厂()的最小值；
(3)设函数h()=_厂()，∈(n，+。。)，直接写
出(不需给出演算步骤)不等式h()≥1的解集．
本题主要考查函数的概念、性质、图像及解一元
二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分
类与整合的思想方法进行探索、分析与解决问题的综
合能力．阅卷情况显示该题得分率很低，满分16分，全
省均分不到3分．
【改编题】已知，()=一1，g(x)=nl—lI．
求h(x)=I，()I+g()在[一2，2]上的最大值．
考虑到二次函数和分段函数是高中数学中两类
重要的初等函数，研究此类函数的图像和性质的方法
．．54-．
是学生必须掌握的．改编题侧重对第二小问的变式训
练，与原题相比，结构形式上仍然是含有绝对值符号
的一元二次函数的最值问题，但所含绝对值符号由原
来的“一个”增加到“两个”，分段函数的“段”由原题
的“两段”增加到“三段”，分类讨论的“标准”更
“广”，分类讨论后呈现的“结果”更“杂”，从而更能体
现出分类思想的方法和“韵味”．
2．问题的分析与解决
分类思想，是根据数学对象本质属性的相同点与
不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想，它
也是一种重要的数学逻辑方法．运用分类思想解决的
数学问题，引起分类的原因归纳起来大致有五种：一
是涉及的数学概念是分类定义的；二是运用的数学定
理、公式或运算性质、法则是分类给出的；三是求解的
数学问题的结论有多种可能性；四是数学问题中含有
参变量，这些参变量的取值会导致不同的结果；五是
对较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的
解题策略来解决．
2．1直观分析问题形式特征，确定分类标准，化简
函数表达式
函数h()的表达式中含有两个绝对值符号，因
为绝对值的概念是分类定义的，所以应该依据绝对值
的定义，按“一1”和“一1”的符号的不同取值范围
确定分类标准，在定义域内化简函数表达式．
由题，h()=
2013~10月下旬(高中)……………………解题研究
fx2-~+a-1=一号)2一普+。一1(-2≤<_1)，
{一一似+n=一+号)2+普+。+l(一≤<1)''
【+ax—n一-=+号)2一普一。一1(1≤≤2)，
该分段函数在定义域的每个区间段上都是关于的一
元二次函数，它的最值受“双变元”——“”和“n”共
同影响．
2．2适当选取主变元，确定分类标准，寻求分类与
整合的方法和规律
分类思想的关键在于如何分类，分类之后解题如
何展开，最后如何整合．分类与整合思想运用得当，不
仅可以简化求解过程，还可以培养学生思维的周密性
和条理性，帮助学生形成适度形式化的解题步骤和方
法．
2．2．1选取“”为主变元，“8”为参变元，先分类
求解，最后再整合
因为函数h()各段上的解析式都是“定区间”、
“动对称轴”的二次函数，学生对此类函数的最大值
的求解方法比较熟悉．所以可先分别求解分段函数每
段上的二次函数的最大值，然后再整合得出原函数的
最大值，这是求分段函数最值的一种常规方法．
首先，分别依据主变元“”的不同取值范围内的
函数解析式，通过判定二次函数的对称轴与区间的位
置关系，以“o”为参变元，确定为分类标准，求解在
三个不同区间上的函数的最大值(考虑到书写的方
便，端点处重复选取)．
(I)当一2≤≤一1时，设^t()=(一号)‘
一等+。一1．①当詈≤一丁3，即。≤一3时，h。()
=(一1)=2。．②当詈≥一下3，即n≥一3时，
h1()=h(一2)=3a+3．
(Ⅱ)当一1≤<1时，设：()=一(+詈)
+予+。+1．①当一号≤一1，即。≥2时，hz()…
=h2(一1)=2a．(当一2≤0≤2时，h2()…=
h：(一号)=等+n+1．③当。≤一2时，h()…=
中小学数学灌1
h2(1)=0．
(Ⅲ)当1≤≤2时，设()=(+号)‘一手
一。一1．①当一号≤手，即a≥一3时，h，()…=
(2)=n+3·②当一号≥÷，即a≤一3时，
h3()=h3(1)=0．
然后，按参变元“a”的不同取值范围，进行整合．
分段函数的最大值必须比较分段函数中每个区间段
上的函数的最大值的大小，选取其中最大的一个作为
原函数的最大值．在教学中笔者发现，由于三个区间
段上函数的最大值的表达式都是关于参变元n的分段
函数，而且分段区间复杂多样，学生在最后比较大小
和整合的环节感觉困难较大，有些学生甚至一筹莫
展．为此可巧妙运用列表的方式，这样既便于比较，又
易于整合．
＼＼参数
最大＼口-3-34-2-2d2d2
^∞2a+33a+33口+3
OO+口+l2a
4
(x)O4+3+3+3
3a+3(a~0)
^(。On+33a+3
a+3(a<0)
，0(0<一3)，
综上所述，得出h(x)一={n+3(一3≤0<0)，
3n+3(n≥0)．
2．2．2选取“n”为主变元，“”为参变元，按照口
整体分类讨论
分段函数是指在定义域不同部分上，有不同的解
析表达式的一类函数，分段函数是一个函数，而不是
几个函数．因为h()在每个区间上的解析式都是学
生耳熟能详的二次函数，所以可以通过对称轴随变元
0的变化情况来研究函数h()在定义域[一2，2]上的
整体图像，利用“图像法”直接求解原函数的最大值．
这样可删减利用“先分类后整合”的求解方法中的整
一55—
囊II中小学数学解题研究……………………-·2o13~10月下旬(高中)
合的步骤，而这个整合的过程正是学生解题的困难所
在．
首先确定整体分类讨论的标准．这是一个关键环
节，由于每个区间段上的二次函数图像的开口方向都
是明确的，因此可以通过比较分段函数中涉及到的对
称轴=詈，=一—和区间端点=一1，=1的值
二二
大小，确定分类讨论的“分界值”，即o=0，。=2，n
=一2．“分界值”把实数(数轴)分成的四个不同区
间，即Ⅱ≥2，0≤0≤2，一2≤n<0，。<一2．从而确
定了整体分类的标准．
然后，根据变元n的四种不同取值范围，画出函数
h()在整个定义域[一2，2]上的图像，根据图像求解
h()的最大值．(考虑到o=0，。=2，o=一2时部分
区间端点值相等且与对称轴有重合的情况，所以最后
单独验证)
(I)当Ⅱ>2时，詈>1，一詈<一1，如图1．结
一二
合图形可知h(x)在[一2，1]上递减，[1，2]上递增．
又h(一2)=3a+3>n+3=h(2)，所以h()在
[一2，2]上的最大值为3。+3．
图1图2
(II)当o
0，~N[N2．结合图形可知()在[一2，一1]和[一号，
1]上递减，在[一1，一号]和[1，2]上递增．通过比较
(一2)，(2)及(一号)的大小，得出()在[一2，
2]上的最大值为3a+3．
(III)当一2<。<0时，一1<号<0,0<一号
<1．如图3．结合图形可知hf1存『一2．一1]和
一56一
[一号，1]上递减，在[一1，一号]和[1，2]上递增．通
过比较(一2)，(2)及h(一号)的大小，得出()
在[一2，2]上的最大值为。+3．
22
图3
i要x一1z。11曼22
图4
(IV)当n<一2时，÷<一1，一>1，如图4．
结合图形可知()在(一，号]和[1，一号]上递
减，在[号，1]和[一号，+)上递增．所以()在
=1处有极大值，又h(一2)=3a+3<0+3=h(2)，
h(1)=0．①当一3≤0<一2时，h(2)≥h(1)，所以
h(x)在[一2，2]上的最大值为Ⅱ+3．②当。<一3时，
h(2)
0(通过比较区间[一2，2]端点值和极大值的大小确定
函数最大值，可避免讨论函数h(x)在[一2，2]的单调
性)．
最后单独验证端点情况．当。=一2时函数h(x)
最大值为1，当n=0时函数h(x)最大值为3，当n：
2时函数h()最大值为9．
，0(n<一3)，
综上所述，得出()：{0+3(一3≤n
l3
。+3(0≥0)．
3．结束语
解决含参变量的分类问题，学生普遍感到的困难
主要有两点，一是如何不重不漏的分类，二是分类讨
论后如何正确整合．为此，首先要选取适当的分类标
准或依据，掌握合理的分类方法．另外还应弄清楚是
分情况求解最后整合，还是整体分类讨论．若能恰当
建模，善作图像，直观分析，数形结合，常能巧妙分类，
事半功倍，体现数学直观美和简洁美的本质．
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