2013年10月下旬(高中)
话说“
课堂教学研究
基底"
北京市海淀区教师进修附属实验学校(100097)夏繁军
一
、教学情景再现
课题：平面向量基本定理
教师：对一个向量，我们研究它的定义、表示．对于两
个向量，我们研究两个向量的关系：相等、平行、不平行，
得到平行向量基本定理，任何一个向量可以用另一个和
它平行的向量来表示，这就建立了平行向量间的关系对
于三个平面向量，它们之间又有什么关系?
(学生画出三个向量，找它们之间的关系，发现其
中一个向量可以用另两个向量来表示；为了表述方
便，三个向量可以用8、b、c表示．比如c可用n、6表示)
教师：为什么?
学生：根据向量加法法则．
教师：那么对向量a，6有什么要求吗?
学生：不能共线(平行)．
教师：给出平面内另外任一向量d，能否用a、b表示?
学生每人画出第四个向量d，尝试用a、6来表示d
=棚+yb(，YER)，学生画的向量d的形式多种多
样，由此让学生估计、Y的大体范围，然后归纳概括出
平面向量基本定理：如果．、e是平面内的两个不平
行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一
对实数、Y，使aPl+ye2．
教师：我们把不共线的向量P、P：叫做表示这一
平面内所有向量的一组基底，记作，e：}，a=+
：叫做向量口关于基底，P}的分解式．关于基底，
大家如何理解?在生活中有没有类似例子?
沉默，思考，沉默．
教师：有学过绘画的吗?
学生然大悟：底色，三基色，五彩缤纷的颜色可以
通过红、绿、蓝三色按照不同的比例合成产生同样绝大
多数单色光也可以分解成红、绿、蓝三种色光这是色度
学的最基本原理，即三基色原理三种基色是相互独立
表1
中小学数学旧童
的，任何一种基色都不能有其它两种颜色合成．
基底，P}就是平面向量中的基色．
二、话说“基底”
关于“基底”从数学到社会我们能产生很多的想象
首先是数学中存在很多的二元基底情况：(见表I)
中国人似乎向来习惯二维思维．老子《道德经》
第四十二章：道生一，一生二，二生三，三生万物．万
物负阴而抱阳，冲气以为和．天与地，阴与阳，善与恶，
福与祸，重与轻，静与躁，相克相生，变化无穷，令人回
味．我认为从一维到二维是最难的，从二维到三维就
有方法可延续了．就像是有序实数对(，Y)确定平面
内唯一点，那顺推用(，Y，z)就表示空间中任一点，用
(，，，…，)就可以表示／I,维空间中任一点．所
以从一维到二维的突破最应该放慢节奏．其他学科中
也有基底的现象，地理中经度和纬度，化学中的结构
和性质等等．
由物及人，一个人都有自己的基底．这个基底就
是一个人的品德修养和能力素养．过去我们选拔人才
讲究“又红又专”，就是侧重两个基底．现在人们关注
的“情商与智商”亦如此．一个人的基底能在他的日
常行为中表现出来的，当我们见到一个人在公交车上
自觉为老人让座，在公共场合自觉捡起掉在地上的垃
圾，这些行为让我们看到这个人的本色．商务印书馆
出版的加拿大学者曼古埃尔所撰生物《阅读史》中有
一副摄于1940年伦敦大轰炸期间的照片特别感人，西伦
敦荷兰屋图书馆，坍塌的图书馆，靠墙的书架还没有倒
下，在一片废墟中，有三个男子还在怡然自得地阅读，这
反映一个民族不屈精神和对知识的追求的底色
小到个人，大到国家，都有自己的基底．一个国家的
基底可以从政治体制，经济实力，军事力量，科技水平几
个角度反映出来，更能从国民的一言一行中反映出来．
数学对象基底特色
点有序实数对(，Y)确定唯一点
复数z=a+bi(a、b∈R)有序实数对(。，b)确定唯一复数
函数自变量+对应关系确定一个函数
等差数列首项+公差确定唯一的等差数列
等比数列首项+公比确定唯一的等比数列
数学归纳法归纳基础+归纳依据用有限步证明无限的过程
直线点+点(点+方向)确定一条直线
圆圆心+半径确定圆
椭圆焦点+定值2a(2a=lPF1I+IPF21>2c)确定椭圆
双曲线焦点+定值2a(2a=llPFIi—IPFJI<2c)确定双曲线
抛物线焦点+准线确定抛物线
直线+直线外一点平面确定
一个平面(两条相交直线
，两条平行直线)
圆柱、圆锥底面半径+高确定的几何体
．41．
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