第十四章整式的乘法与因式分解
课题一14.1整式的乘法
（第1课时14.1.1同底数幂乘法）
课型：新课主备：黄元华审核：八年级数学备课组
【学习目标】
1．理解同底数幂的乘法法则，运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题。
2．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力。
3．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊──
一般──特殊的认知规律。
【学习重点】正确理解同底数幂的乘法法则。
【学习难点】正确理解和应用同底数幂的乘法法则。
【导学助手】
复习an的意义：an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫
做底数，n是指数。
【活动探究】
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？运算次数=_______×______XKb1.Com
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103．
1012×103如何计算呢？
根据乘方的意义可知：通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把
像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样
的运算──同底数幂的乘法。
3.做一做：计算下列各式：
（1）25×22（2）a3·a2你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述根据乘方的意义，我们独立解决上述问题．
（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）=27=25+2。
因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得
a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a5=a3+2。
学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述
我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和。
表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：于是有am·an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：。
注意：底数不相同时，不能用此乘法法则
4想一想：
当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？怎样用公式表示？
am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整数）例1：计算：
（1）x2·x5（2）a·a6×（—2）4×（—2）3（4）xm·x3m+1【展示质疑】
http://www.xkb1.com
（1）b5·b5=2b5（）（2）b5+b5=b10（）
（3）x5·x5=x25()（4）y5·y5=2y10()
（5）c·c3=c3()（6）m+m3=m4()
2.填空：
（1）x5·（）=x8（2）a·（）=a6
（3）x·x3（）=x7（4）xm·（）＝x3m（a+b）2×(a+b)4×[-(a+b)]71.计算：
（1）x2·（—x5）（2）a·（—a6）（）xm·（—x）2n·（—x3m+1）（）×(m-n)4×(n-m)7
2.据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？计算a2·a3，正确的结果是（）A．2a6B．2a5C．a6D．a5下列各项中，两个幂是同底数的是（）A．x2与a2B．（－a）2与a3C．x2与x3D．（x－y）2与（x＋y）2（－a）2·a3＝（）A．?－a5B．?a5C．?－a6D．?a6下列计算错误的是（）A．x4·x3＝x7B．（－c）3·（－c）5＝c8C．2×210＝211D．a5·a5＝2a10下列计算正确的是（）A．b4·b2＝b8B．x3＋x2＝x6C．a4＋a2＝a6D．m3·m＝m4设a为任意实数，则在下列各等式中，恒成立的是（）A．a＋a=a2B．a·a＝2aC．3a3－2a2＝aD．2a·3a2＝6a3下列计算：5x3－x3＝x3；3m·2n＝6mn；am＋an＝amn；xm+1·xm+2＝xm·xm3．其中运算正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个如果am＝3，an＝5，则amn＝________．一（x）3·（－x）5＝________．
填空：
1）8=2x，则x=；（2）8×4=2x，则x=；
（3）3×27×9=3x，则x=。
11.计算
（1）35×(—3)3×(—3)2(2)—a(—a)4(—a)3
(3)xp·(—x)2p·(—x)2p+1(p为正整数)（4）32×（—2）2n×(—2)（n为正整数）
（5）(2a+b)3(2a+b)m-4(2a+b)2n+1（6）(x—y)2(y—x)5XkB1.com
【课后反馈】
第十四章整式的乘法与因式分解
课题一14.1整式的乘法
（第2课时14.1.2幂的乘方）
课型：新课主备：黄元华审核：八年级数学备课组
【学习目标】
1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
1.计算（1）（x+y）2·（x+y）3（2）x2·x2·x+x4·x（3）（0.75a）3·（a）4（4）x3·xn-1－xn-2·x41.64表示_________个___________相乘.(62)4表示_________个___________相乘.
a3表示_________个___________相乘.(a2)3表示_________个___________相乘.2.例题：（62）4=62×62×62×62=62+2+2+2=68（33）5=_____×_______×_______×________×______=__________=__________（am）2=________×_________=__________=__________
（am）n=________×________×…×_______×_______=__________=__________
3.（am）n表示_______个________相乘=________×________×…×_______×_______
=__________
即（am）n=______________(其中m、n都是正整数)1.计算下列各题：
（1）（103）3（2）[（）3]4（3）[（－6）3]4（4）（x2）计算（a2）3的结果是（）Aa5B.a6C.a8D.3a2
2.35可以写成（）A（33）2B.（32）3C.（32）2×3D.（32）2＋3下列各式的计算中，正确的是（）A.（x3）2＝x5B.（x3）2＝x6C.（xn1）2＝x2n1D.x3·x2＝x6计算（a3）2·a3的结果是（）A?a8B.?a9C.?a10D.a11
5.下列算式：①（a5）2＝7；②（a5）2＝a25；③（a5）3＝a15；④a2·a5＝a7；⑤a2·a5＝a10；⑥a2＋a5＝2a7错误的有（）A.2个B.3个C4个D.5个下列计算正确的是（）Ax3＋x2＝x5B.x3－x2＝xC.x3·x2＝x6D.（x3）2＝x6如果正方体的棱长是（1－2b）3，那么这个正方体的体积是（）．A.（1－2b）6B.（1－2b）9C.（1－2b）12D.6（1－2b）6计算：（23）2＝________；（－22）3＝________；－（－a3）2＝________；（－x2）3＝________；－（y4）3＝________．
若（x2）n=x8，则m=_____________.10.若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。
若xm·x2m=2，求x9m的值。
若a2n=3，求（a3n）4的值。
13.已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
14.附加练习
（1）[-(x+y)3]4（2）(an+1)2×(a2n+1)3
（3）a3×a4×a+(a2)4+2(a4)2（4）(xm+n)2×(-xm-n)3+x2m-n×(-x3)m
【课后反馈】
第十四章整式的乘法与因式分解
课题一14.1整式的乘法
（第3课时14.1.3积的乘方）
课型：新课主备：审核：八年级数学备课组
【学习目标】
1.经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义????
2.理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题3.在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力正确区别幂的乘方与积的乘方的异同。3cm，你能计算出它的体积是多少吗？
2.提问：
体积应是V=（2×103）3cm303的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是乘方。乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒。
【活动探究】
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a()b()
（2）（ab）3=______=_______=a()b()
（3）（ab）n==______=a()b()（n是正整数）
2．分析过程：
（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a2b2，【1】
（2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3；
（3）（ab）n=3．得到结论：
积的乘方：（ab）n=an·bn（n是正整数）
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积（ab）n=an·bn·nn为正整数
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：an·bn=（ab）n（n为正整数）例：（1）（2a）3（2）（-5b）3（3）（xy2）2（4）（-2x3）4计算：（ab3）2＝（）A．?a2b2B．?a2b3C．?a2b6D．?ab6计算－（－3a）2的结果是（）A．－6a2B．－9a2C．6a2D．9a2下列运算正确的是（）A．x·x2＝x2B.（xy）2＝xy2C.（x2）3＝x6D.x2＋x2＝x4下列运算正确的是（）A．?x2·y3＝（xy）6B．?x2＋x2＝2x4C．（－2x）2＝－4x2D．（x2）3（x3）2＝x12x2y6＋（－xy3）2的计算结果是（）
下列4个算式结果等于66的是（）．①63＋63；②（2×62）×（3×63）；③（23×33）2；④（22）3×（33）2．
A．①②③B．?②③④C．?②③D．?③④
如果3x＝243×92，那么x的值等于计算－（－3a2b3）4的结果是（－a2）5＋（－a5）2的结果是（－3m）2·（2mn2）2的计算结果是计算：（1）（2ab）3；（2）（2a3）2；（3）（－3x）4；（0.125）2011·（－8）2011；1.经历探索整式乘法运算法则的过程，发展观察，归纳，猜想，验证等能力。
2.会进行单项式与单项式的乘法运算。
3.培养同学们的语言表达能力，逻辑思维能力1．问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?2．学生分析解决：怎样计算(3×105)×(5×102)(3×105)×(5×102)=
3．问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，如何计算？
ac5·bc2===
4.自己动手，得到新知
1）类似地，请你试着计算：2c5·5c2；(-5a2b3)·(-4b2c)
（2）得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式判断：单项式乘以单项式，结果一定是单项式两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（）两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（）两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（）2.计算：0.4x2y·（xy）2（2x）3·xy3
计算结果是（）B.C.D.
2.计算（－2a2）·3a的结果是（）A．－6a2 B．－6a3 C．12a3 D．6a3下列计算正确的是（）
A．4a3×3a2＝12a6B．(－3y8)(－5x2)＝15x10C．(－6an2)×3anb＝－18a2n2bD．4x2·2x2＝8x2若p＝x2y，则－x10y5·（－2x2y）3的计算结果是（）A.－8p8B.8p8C.－6p8D.6p8在下列算式中，不正确的是（）?①（－x）3（xy）2＝－x3y2?②（－2x2y3）（6x2y）3＝－432x8y6③（a－b）2（b－a）＝－（b－a）3?④（－0.1m）·10m＝－m2
A．①②B．①③C．①④D．②④
用科学记数法表示（2×102）×（15×106）的结果应为（）．
A．?30×108B．?3.0?×107C．?3.0×109D．?3.0×10103ab2·5a2b的结果是(－5am1b2n—1)·(2anbm)＝－10a4b4，则m－n的值________．
已知一种电子计算机每秒可以做6×108次运算，则它工作8×102秒可做________次运算．计算：11.先化简，再求值：－10（－a3b2c）2·0.2a·（bc）3－（2abc）3·（－a2b2c）2，其中a＝－5，b＝0.2，c＝2
11.某公园欲建如图所示形状的草坪（阴影部分），求需要铺设草坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，则为修建该草坪需投资多少元？
小华家新购了一套结构如图的住房，正准备装修．（1）试用代数式表示这套住房的总面积；（2）若x＝2.5?m，y＝3?m，装修客厅和卧室至少需要准备多少面积的木地板？
单项式与多项式相乘的法则1．单项式与单项式相乘的法则是?
2．什么叫多项式？指出下列多项式的项：?(1)?2x2-x-1；??(2)-3x2+?2x+3?
方法一:先求三家连锁店的总销量,再求总收入,即总收入为:?。
方法二:先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和,即总收入为:?。
所以容易得到:?单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的，再把所得的相加?
注意：1.利用法则进行单项式和多项式运算时要注意：
多项式每一项都包括前面的符号单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果如有同类项要合并，从而得出最简结果．
2根据去括号法则和多项式中每一项包含它前面的符号，来确定乘积每一项的符号；3.非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍然是多项式；积的项数与所乘多项式的项数相等；对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目，要注意运算顺序；也要注意合并同类项，得出最简结果．
（2）(-4x2)·(3x+1);
【思维拓展】
（1）5x2（2x2－3x3+8）（2）－16x（x2－3y）（3）－2a2（ab2+b4）4）（x2y3－16xy）·xy2
【评价练习】
1．化简X2（的结果是（）A． B． C． D．2．化简的结果是（）A． B． C． D．
3．如图14－2是L形钢条截面，它的面积为（）
A．ac+bc B．ac+(b-c)c C．(a-c)c+(b-c)c D．a+b+2c+(a-c)+(b-c)
4．下列各式中计算错误的是（）
A．B．C． D．．当t＝1时，代数式的值为。．若，则代数式的值为。．计算下列各题
（1）（）（4）（5）
8.已知，求的值。
9．某地有一块梯形实验田，它的上底为m，下底为m，高是m。
（1）写出这块梯形的面积公式；
（2）当m，m，m时，求它的面积。
10．已知│2m—5│+（2m—5n+20）2=0，求—2m2—2m（5n—2m）+3n（6m—5n））—3n（4m—5n）的值。
．解方程：
【课后反馈】
第十四章整式的乘法与因式分解
课题一14.1整式的乘法
（第6课时14.1.4整式的乘法（三））
课型：新课主备：审核：八年级数学备课组
【学习目标】
1.经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行多项式与多项式相乘运算
2.理解多项式与多项式相乘运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化的思想.
【学习重点】多项式与多项式相乘法则及应用【学习难点】1.多项式乘法法则的推导?。?????????2.多项式乘法法则的灵活运用。
所以容易得到:?也可以这样考虑:?当X=m+n时,?(a+b)X=??
由单项式乘以多项式知??(a+b)X=aX+bX????新课标第一网
于是，当X=m+n时，(a+b)X=(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)
?即?(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn?=am+an+bm+bn
【展示质疑】
例1计算：（1）（3x+1）（x+2）（x）（x）（）（x+y）（x2-xy+y2）
【例2】先化简，再求值：
（a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中a=－8，b=－6．
【思维拓展】
计算；（1）（x+）（x+）（x）（x）（）（+4）（x2）（）（）（x+（x的计算结果是（）A．?x2－12x－35 B．?x2＋12x－35 C．?x2－2x－35D．?x2＋2x－35
下列各式中，结果错误的是（）A.（x＋2）（x－3）＝x2－x－6 B．?（x－4）（x＋4）＝x2－16
C（2x＋3）（2x－6）＝2x2－3x－18 D．?（2x－1）（2x＋2）＝4x2＋2x－2
一个长方体的长、宽、高分别是3x－4、2x－1和x，则它的体积是（）
A．?6x3－5x2＋4xB.6x3－11x2＋4xC．?6x3－4x2D.6x3－4x2＋x＋4
计算（x＋3）（x－2）＋（x－3）（x＋3）得（）
A．2x2＋12 B．2x2＋x－15 C．2x2＋x＋12D．2x2－x－12
下列计算错误的是（）
A（x＋1）（x＋4）＝x2＋5x＋4 B（m－2）（m＋3）＝m2＋m－6
C（y＋4）（y－5）＝y2＋9y－20D.（x－3）（x－6）＝x2－9x＋18以下四个算式计算正确的有（）①（x＋y）（x－y）＝x2－xy＋y2；②（a－2b）（3a＋b）＝3a2－5ab－2b2；③（2m－n）（2m＋n）＝4m2－4mn－n2；④（t＋3）（2t一3）＝2t2＋9t－9．
A．?1个B．?2个C．?3个D．?4个
计算：（1）（2）
8、要使x(x2+a)+3x-2b=x3+5x+4成立，则a,b的值分别为多少？
9、若(3x2-2x+1)(x+b)中不含x2项，求b的值.
10、若3k(2k-5)+2k(1-3k)=52，求k的值.
11.先化简，再求值：（x＋1）2－（x＋2）（x－2），其中，且x是整数．1.单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则及其应用和它们的运算算理2.发展有条理的思考及表达能力，提倡多样化的算法，培养学生的创新精神与能力∵am—n?an=a（m—n）+n=am—n
一般地，我们有
即同底数幂相除，底数，指数。
2.am÷am=am—m=a0于是规定
这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1
例7.计算（1）x8÷x2（2）（ab）5÷（ab）2
3.单项式除以单项式如何计算
例如，计算12a3b2x3÷3ab2∵4a2x3?3ab2=12a3b2x3∴12a3b2x3÷3ab2=4a2x3
上面的商式4a2x3的系数4=12÷3，a的指数2=3—1，b的指数0=2—2，而b0=1，
x的指数3=3—0
一般地，单项式相除，把与分别作为商的因式，对于只在被除数里面还有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
4.多项式除以多项式如何计算
例如，计算（am+bm）m就是要求一个多项式，使它与m的积是am+bm
∵（a+b）mam+bm∴（am+bm）m=a+b
又am÷m+bm÷m=a+b∴（am+bm）m=am÷m+bm÷m=a+b
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
例8.计算
（1）28x4y2÷7x3y（2）—5a5b3c÷15a4b（3）（12a3—6a2+3a）3a
【展示质疑】
1.下列计算错在哪里？并改正？（1）（12a3b3c）（6ab2）2ab（2）（p5q4）（2p3q）=2p2q3
【思维拓展】
1.已知3m＝5，3n＝2，求32m—3n+1的值．
2.长方形的面积为4a2－6ab＋2a，若它的一边长为2a，求它的周长．计算（2x）3÷x的结果正确的是（）A．?8x2B．?6x2C．?8x3D．?6x3
当a＝时，代数式（28a3－28a2＋7a）÷7a的值是（）．
A．?6.25B．?0.25C．?－2.25D．?－4
下列运算不正确的是（）
A．a5＋a5＝2a5B．（－2a2）3＝－2a6C．2a2·a＝2a3D．（2a3－a2）÷a2＝2a－1
计算（6x3y－3xy2）÷3xy的结果是（）A．6x2－yB．2x2－yC．2x2＋yD．2x2－xy
若（am）2·（bn1）2÷anb＝a3b3，则m2＋n的值是已知am·an＝a4，am÷an＝a2，则m＝____，n＝____．若2x＝3，4y＝5，则2x—2y的值._______÷（3a2＋2b），商式是3a2－2b，余式是a－8b.
若（y－5）0无意义，且3x＋2y＝10，求x，y的值若，求代数式[(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x的值．
11.（归纳猜想题）观察下列式子的计算；（12＋1）÷1＝2，（22＋2）÷2＝3，（32＋3）÷3＝4，（42＋4）÷4＝5，…（1）归纳解题规律，（2）根据上述规律写出结果为2010的式子。
.已知x3＋kx＋6能被2＋x整除，求k的值．
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）=（2）（m+2）（m-2）=
（3）（2x+1）（2x-1）=（4）（x+5y）（x-5y）=（a+b）（ab）=a2ab+ab—b2=a2—b2．
即（a+b）（ab）=a2b2
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
【展示质疑】
1．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？（1）（2a+3b）（2a—3b）（）（—2a+3b）（2a—3b）（3）（—2a+3b）（—2a+3b）（4）（—2a—3b）（2a—3b）（5）（a+b+c）（a—b+c）（6）（a—b—c）（a+b—c）
认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的是a，变号的是b
【思维拓展】
例1运用平方差公式计算
（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）
在（1）中可以把3x看作a，2看作b．
应注意以下几点：（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
（4）运算的最后结果应该是最简下列各式中，不能用平方差公式的是（）
A（m－n）（－m－n）B（x3－y3）（y3＋x3）C（－m＋n）（m－n）D
2.与（9a－b）的积等于b2－81a2的因式为（）
A．9a－bB．9a＋bC．－9a－bD．b－9a
若（x－a）（x－b）＝x2＋kx＋ab，则k的值是（）
A．a＋bB．－a－bC．a－bD．b－a4.下列各式中，可以用平方差公式计算的是（）
A.（2a－3b）（－2a＋3b）B.（－3a＋4b）（－4b－3a）
C.（a－b－c）（－a＋b＋c）D.（a－b）（b－a）
在下列各式中，运算结果为x2－36y2的是（）
A（－6y＋x）（－6y－x）B.（x＋4y）（x－9y）
C（－6y＋x）（6y－x）D.（－6y－x）（6y－x）用平方差公式计算（m＋n－1）（m－n＋1），下列变形正确的是（）
A．［m－（n＋1）］2B．［m＋（n－1）］［m－（n－1）］
C．［（m－n）＋1］［（m－n）－1］D．［m－（n－1）］2a－b＝1，ab＝2，则（a＋1）（b－1）＝________．
当x＝－7时，代数式（2x＋5）（x＋1）－（x－3）（x＋1）的值为＝________．
若（x－5）（x＋a）＝x2－13x＋b，则a＝________，b＝________．
10.如果的计算结果中不含x的一次项，则m＝________．
.那么代数式A是。
12.计算：（1）（3x－y）（y＋3x）（2）（4x－3y）（－3y－4x）
13.先化简，再求值：（3）（3＋m）（3－m）＋m（m－6）－7，其中
14.老师给同学们出了一道化简求值题：2（x－4）（x＋3）－x（2x－3）－x，其中
小明说老师给的条件是多余的，你认为小明说得正确吗？并说明理由．
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【课后反馈】
第十四章整式的乘法与因式分解
课题二14.2乘法公式
（第2课时14.2.2完全平方公式（一））
课型：新课主备：审核：八年级数学备课组
【学习目标】
1．完全平方公式的推导及其应用。
2．完全平方公式的几何解释。
3．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力。
4.在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神。
【学习重点】完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。
【学习难点】理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算。
【导学助手】
计算下列各式
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=；（2）（m+2）2=；
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=；（4）（m-2）2=
【活动探究】
1.观察上面计算，你能发现什么规律？
发现规律如下：（1）右边第一项是左边第一项的，右边最后一项是左边第二项的，中间一项是它们两个乘积的倍。
（2）左边如果为“+”号，右边全是“”号；左边如果为“－”号，它们两个乘积的2倍就为“”号，其余都为“”号。
2.问题：那我们就利用简单的（a+b）2与（a－b）2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．（a+b）2=（a－b）2=（1）（4m+n）2（2）（y）2（3）（-a-b）2（4）（ba）22（a22）；（1）2（x+y）（x—y）—（x+y）2—（x—y）2；
【评价练习】
一、选择题：
1．计算（a+b）（-a-b）的结果是（）A．a2-b2B．-a2-b2C．a2-2ab+b2D．-a2-2ab-b2
2．设（3m+2n）2=（3m-2n）2+P，则P的值是（）A．12mnB．24mnC．6mnD．48mn
3．若x2-kxy+9y2是一个完全平方式，则k值为（）A．3B．6C．±6D．±81
4．已知a2+b2=25，且ab=12，则a+b的值是（）A．B．±C．7D．±7
二、填空题：
5．计算：（x—y）2=__________；（2a+5b）2=_________6．x2+y2=（x+y）2-__________=（x-y）2+________7．多项式4x2+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，请你写出符合条件的这个单项式是___________三、解答题
8．计算
①（-xy+5）2②（x+3）（x-3）（x2-9）③（a+2b-c）（a-2b-c）④（a+b+c
9．计算：
（1）（2a+3b）2（2a—3b）2；（2）（x+5）2-（x-2）（x-3）；（3）10022；
10．已知：a+b=10，ab=20，求下列式子的值：①a2+b2；②（a-b）2
1．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．
2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式．
．进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．
鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯
=2a-（b-）（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）
【思维拓展】
例：运用乘法公式计算
（1）（x+2y-3）（x-2y+3）（2）（a+b+c）2（3）（x+3）2x2；（4）（x+5）2（x-2）（x-3）下列计算正确的是（）
A.（x＋y）2＝x2＋y2B.（x－y）2＝x2－2xy－y2
C.（x＋2y）（x－2y）＝x2－2y2D.（－x＋y）2＝x2－2xy＋y2
运用完全平方公式计算（x－3y＋2z）2，下列变形不正确的是（）
A．［（x－3y）＋2z］2B．［（x＋2z）－3y］2
C．［x－（3y＋2z）］2D．［x＋（2z－3y）］2
下列各式中，正确的是（）
A．7x2－2x2－3x＋6＝7x2－（2x2－3x＋6）
B（a－b＋c）（a＋b－c）－［a＋（－b＋c）］［a－（－b＋c）］
C．a－b＋c－d＝（a－d）－（b＋c）
D．5a2－2ab－3a－4b＝－（－5a2＋2ab－3a）－4b
下列式子：（1）a＋b－c＝a－（b＋c）；（2）a－b＋c＝a－（b＋c）；（3）a＋b＋c＝a－（－b－c）；（4）a－b－c＝a－（b＋c），其中变形正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2m＋3n－1）（2m－3n＋1）＝（________）2－（________）2＝________．
边长为a的正方形，其边长增加b后，所得正方形面积比原来正方形面积增加________．
计算：（1）（2）（a＋b－2）（a＋b＋2）．
8.一个底面是正方形的长方体，高为8?cm，底面正方形的边长为5?cm，如果高不变，将底面正方形的边长减小xcm，那么它的体积减小了多少？
（1）通过计算，探索规律：152－225，可写成100×1×（1＋1）＋25；252＝625，可写成100×2×（2＋1）＋25；352＝1225，可写成100×3×（3＋1）＋25；…；852＝7225，可写成________；（2）由第（1）题的结果归纳猜想计算（10n＋5）2的结果可写成什么？（3）用你学过的知识验证你的猜想；（4）用上面的规律计算20052．
已知210＝a2＝4b（a＞0），求的值．
已知a、b、c是一个三角形的三条边，且a、b、c满足关系式a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，试判断这个三角形是什么三角形？
观察下面各式的规律：12＋（1×2）2＋22－（1×2＋1）2，22＋（2×3）2＋32－（2×3＋1）2，32＋（3×4）2＋42－（3×4＋1）2，…（1）写出第2003行的式子；（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．
【导学助手】1.把12分解成质因数的形式
2.运用以前所学的知识填空:
（1)(x+1)(x-1)=（2)x(x+1)=.
3.请把下列多项式写成整式的乘积的形式
（1）x2+x=x()（2）x21=()()
上面我们把一个多项式化成了几个的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式的分解因式。
即互逆的运算下列等式从左到右的变形是因式分解的是()．
A．6a2b2＝3ab·2ab B．a－ay＝a(1－y)
C．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1 D．(x＋1)(x－1)＝x－1
将多项式pa+pb+pc写成p（a+b+c）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。
多项式3ax2y+6x3yz有公因式吗？是什么？（把相同因式圈出来）
3ax2y=3·a·x·x·y6x3yz=3·2·x·x·x·y·z应提取的公因式为:________
写出下列各多项式中各项的公因式:
⑴ax+ay-a⑵5x2y3-10x2y⑶24abc-9a2b2
⑷m2n+mn2⑸x(x-y)-y(x-y)（6）q（a2+b2）
小结：正确找出多项式各项公因式的关键是
系数：1、公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。
字母：2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
指数：3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4、多项式中的公因式可以是单项式，也可以是多项式(换元思想)。
【展示质疑】
例1.把8a3b2+12ab3c2分解因式
【思维拓展】
1.把下列各式分解因式：
（1）2x3+6x2（2）3pq3+15p3q（3）－4x+8ax+2x
（4）－3ab+6abx－9aby（5）2(a-b)-a+b（6）2(a－b)－(b－a)
【评价练习】
1.下列从左到右的变形属于正确的因式分解的是（）A.（y＋2）（y－2）＝y2－4B．a2＋2a＋1＝a（a＋2）＋1
C．b2＋6b＋9＝（b＋3）2D．x2－5x－6＝（x－1）（x＋6）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（）
A．?（x＋2）（x－2）＝x2－4B．?2x2－5x＝2x（x－2）－x
C．?x2－4＋3x＝（x＋2）（x－2）＋3xD．?x2－4＝（x＋2）（x－2）
下列多项式中能用提公因式法分解因式的是（）
A．x2－yB．x2＋2xC．x2＋y2D．x2－xy＋y2
将0.5a2b－ab2提公因式后，另一个因式是（）A．?a＋2bB．?－a＋2bC．?－a－bD．?a－2b．2m2n与18n的公因式是_________．
．分解因式：x(5－x)＋6(x－5)＝________________。
．如果b－a=－6,ab=7，那么a2b-ab2的值为
．把下列各式因式分解：
（1）－x2y＋xy2－xy；（2）2a（x＋y）－3b（x＋y）；（3）21xy－14xz＋35x2；（4）15xy＋10x2－5x；（5）12a（x2＋y2）－18b（x2＋y2）；（6）6（a－b）2＋3（b－a）；
.用简便方法计算：
①1.23×48+1.23×65-1.23×13②18.6×0.125+13.4×
11.已知关于x的二次三项式3x2－mx＋n因式分解的结果为（3x＋2）（x－1），求m、n的值．
解方程：（3x＋1）（2x－2）＋（3x＋1）（1－2x）＝0．
了解运用公式法分解因式的意义，掌握用平方差公式法分解因式。
2.分解因式先考虑提公因式法分解因式，再考虑用平方差公式分解因式。
3.培养学生多步骤分解因式的能力。
【导学助手】
1.因式分解的概念是什么？?
2.?平方差公式的内容用字母怎样表示？
3.计算：①(x+2)(x-2)=___________②(y+5)(y-5)=___________
【活动探究】
1.x2—4=(x+2)(x-2)，y2—25=(y+5)(y-5)这是不是因式分解
2.你能将多项式x2－16和多项式m2－4n2因式分解吗？这两个多项式有着什么共同特点？
观察上述两个多项式的特点，可以发现上述两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，而整式乘法公式中的平方差公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2
反过来就是a2－b2＝(a＋b)(a－b)，这样的变形就是因式分解，从而可以对上述多项式因式分解．
x2－16＝m2－4n2＝
归纳：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)例3分解因式（1）4x2－9；（2）(x+p)2－(x+q)2．
4分解因式（1）x4－y4；（2）a3b－ab．
分析：（1）x4－y4可以写成(x2)2－(y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解．
（2）a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．
在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式。?分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
【评价练习】
1.下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）
A．（m＋1）2＋n2B．－（m＋1）2－n2
C．（m＋1）2－n2D．（－n）2＋（m＋1）2
2.将式子36a2－81b2分解因式的结果正确的是（）
A．（6a＋9b）（6a－9b）B．（9b＋6a）（96－6a）
C．3（2a＋3b）（2a－3b）D．9（2a＋3b）（2a－3b）
下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）
A．?x2?－xyB．?x2＋xyC．?x2－y2D．?x2＋y2|课|标|第|一|网
4.已知多项式x＋81b4可以分解为（4a2＋9b2）（2a＋3b）（3b－2a），则x的值是（）
A．16a4B．－16a4C．4a2D．－4a2
已知2x－y＝0，则16x4－y4的值为（）A．0B．1C．2D．4下列各式中，能用平方差公式分解因式的有（）①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2；⑤；⑥x2－2．
A．2个B．3个C．4个D．5个.如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为________．
.已知a＋b＝3，ab＝2，则a2b＋ab2＝________．
若M＋4＝（x＋2）（2－x），则M等于（）
若n为正整数，则能整除（2n＋1）2－（2n－1）2的数中最大的为________．
分解因式：（1）9m4－64n2；（2）－1＋49x2；（3）a4－1；（4）－mn5＋m5n；（5）4（x＋y）2－9（x－y）2；（6）8（x2－2y2）－x（7x＋y）＋xy；
一个等腰三角形的两边长m、n满足9m2－n2＝－13，3m＋n＝13，求这个等腰三角形的周长．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，求用上述方法产生的密码．（求出一个即可）
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【课后反馈】
第十四章整式的乘法与因式分解
课题三14.3因式分解
（第3课时14.3.2公式法（二））
课型：新课主备：审核：八年级数学备课组
【学习目标】
1、会用完全平方公式分解因式。
2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
3、通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、预见等能力，进一步体会换元思想，提高处理数学问题的技能。
【学习重点】用完全平方公式因式分解。
【学习难点】能否判断一个多项式是否为完全平方式。
【导学助手】1.问题：填上适当的式子，使等式成立.
(1)(a+b)2=_________(2)(a-b)2=__________(3)25x2+________+y2=(5x-y)2
2.请同学们回忆完全平方公式？(a±b)2=a2±2ab+b2反过来，可得a2±2ab+b2=(a±b)2
两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的两倍，等于这两数
和（或者差）的平方。形如a2±2ab+b2的多项式称为完全平方式.
实质为：两数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍．)．其中有两项分别是某两个数（或式）的平方．
(3).另一项是上述两数（或式）的乘积的2倍，符号可正可负．
【展示质疑】
1.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式
（1）x2++y2（2）4a2+9b2+（3）x2—+4y2wWw.xKb1.coM
（4）a2++0.25b2（5）x4+2x2y2+2.填空
a2+8a+16=a2+2×()×()+()2=()2a2—8a+16=a2—2×()×()+()2=()2
9a2+12ab+4b2=()2+2×()×()+()2=()2
【思维拓展】
例1.把下列各式分解因式（1）16x2+24x+9（2）—a2+4ab—4y2
例2：把下列式子分解因式(1)3ax2+6axy+3ay2(2)(m+n)2—4(m+n)+4
分析：（1）中有公因式3a，应先提取公因式，在进一步分解；（2）将（a+b）看作一个整体
注意：公式中的a、b可以表示单项式甚至是多项式。
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。
【评价练习】
1.下列式子中是完全平方式的是（）A．B．C．D．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A．?x2＋1B．?x2＋2x－1C．?x2＋x＋1D．?x2＋4x＋4多项式－x2＋4xy－4y2分解因式的结果是（）
A．（x－2y）2B．－（x－2y）2C．（－x－2y）2D．（x＋y）2下列分解因式正确的是（）A．?－a＋a3＝－a（1＋a2）B．?2a－4b＋2＝2（a－2b）
C．?a2－4＝（a－2）2D．?a2－2a＋1＝（a－1）2分解因式4（a－b）2－4（b－a）＋1的结果是（）
A．（2a－2b＋1）2B．（2a－2b－1）2
C．（2a＋2b＋1）2D．（2a－2b＋1）（2a－2b－1）下列各式：①x2－4x＋4；②6x2＋3x＋1；4x2－4x＋1；x2＋4xy＋2y2；9x2＋16y2－20xy，其中是完全平方式的是（）A．B．C．D．因式分解x3－2x2y＋xy2＝________．若9x2＋mxy＋25y2是完全平方式，则m＝________．
（1）x2＋（___）＋36＝（__＋__）2；（2）4a2＋（__）＋（_）2＝（__－3）2分解因式：（）－25a2＋20ab－4b2；（）2x3y－12x2y＋18xy；
（）9（a＋b）2＋12（a＋b）＋4（）已知x，y满足，求2x＋y的值．
已知a2＋2ab＋b2＝0，求代数式a（a＋4b）－（a＋2b）（a－2b）的值．
四名同学把一个正整数代入代数式n3－n中计算，得出了四个不同的结果：甲：388947，乙：388944，丙：388953，丁：388949，其中正确的结果只有一个，请你判断谁计算得正确，说明你判断的理由
【评价练习】
1.下列运算正确的是（）A．a3·a2＝a6（x3）3＝x6C．x5＋x5＝x10D.（－ab）5÷（－ab）2＝－a3b3已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值为（）A．－1B．1C．－5D．5下列运算正确的是（）A．－（a－1）＝－a－1B．（a－b）2＝a2－b2C．D．a2·a3＝a5下列等式不成立的是（）A．m2－16＝（m－4）（m＋4）B．m2＋4m＝m（m＋4）
C．m2－8m＋16＝（m－4）2D．m2＋3m＋9＝（m＋3）25.从边长为a的大正方形纸板中挖去－个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图），然后拼成－个平行
四边形（如图），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）
A．a2－b2＝（a－b）2B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a－b）2＝a2－2ab＋b2D．a2－b2＝（a＋b）（a－b）
若代数式x2－6x＋b可化为（x－a）2－1，则b－a的值是________．
多项式9x2＋1加上－个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式是________．（填上一个你认为正确的即可）
分解因式：16－8（x－y）＋（x－y）2＝________．
若4x2＋4xy＋y2＋|?y－4?|＝0，则x＋2y＝________．
当时，代数式s2－2st＋t2的值等于________．
请写一个三项式，使它能先提公因式，再运用完全平方公式来分解因式，你编写的三项式是________，分解因式的结果是________．
若a＋b＝3，ab＝2，则的值是________．http://www.xkb1.com
若x2＋kx＋16是完全平方式，则是k＝________．运用因式分解进行简便运算：（1）17.82－2×17.8×7.8＋7.82；（2）982＋4×98＋4．
分解因式：（1）－x2－8xy－16y2；（2）x－2xy＋xy2；（3）（4）（a2＋b2）2－4a2b2；（5）（a＋b）2－4（a＋b－1）．已知（a＋2b）2－2a－4b＋1＝0，求（a＋2b）2011的值．
（2011，浙江绍兴）先化简，再求值：a（a－2b）＋2（a＋b）（a－b）十（a＋b）2，其中，b＝1．
（2011，河北）已知是关于x，y的二元－次方程的解．求（a＋1）（a－1）＋7的值．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开中的系数等等（1）根据上面的规律，写出（a＋b）5的展开式；（2）利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1．
观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：XkB1.com甲：x2－xy＋4x－4y＝（x2－xy）＋（4x－4y）（分成两组）＝x（x－y）十4（x－y）（提公因式）＝（x－y）（x＋4）乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－（b2＋c2－2bc）（分成两组）＝a2－（6－c）2（运用公式）＝（a＋b－c）（a－b＋c）请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：（1）m3－2m2－4m＋8；（2）x2－2xy＋y2－9．
1.同底数幂的乘法法则：am?an=am+n（m、n都是正整数）?
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
2.幂的乘方法则：（am）n=amn（n、m,都是正整数）?
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：（—23）2=26
幂的乘方法则可以逆用：即amn=（am）n=（an）m如：6=（）?（n是正整数）?积的乘方，等于各因数乘方的积。
4.同底数幂的除法法则：am÷bm=am—n
同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷bm=am—n
5.零指数
a0=1，即任何不等于零的数的零次方等于1。
6.单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。?注意：?
7.单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
?即m(a+b+c)=ma+mb+mc
8.多项式与多项式相乘的法则；?多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。即（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd
9.平方差公式：
10.完全平方公式：
11.单项式的除法法则：?
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。?
12.多项式除以单项式的法则：?
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
（ma+mb+mc）÷m=a+b+c
【知识点分析】
例题1.若，则a=；若，则n=.
例题2.若，求的值。
例题3.计算
1.若，则=.2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于。
例题4.2009×2007－20082a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）
已知，求xy的值（ab）（2ab）（3a2b2）；
（2）[（a－ba＋b）]2÷（a2－2ab＋b2）－2ab．（3）已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．
因式分解：
1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。
2.公式法：根据平方差和完全平方公式
3.十字相乘法：（1）x2＋（p+q）x+pq型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．
例6.把下列各式因式分解：(1) x2—7x+6(2)x2+13x+36
例7.把下列各式因式分解：(1) x2+xy—6y2 (2)（x2+x）2—8（x2+x）+12
（2）一般二次三项式x2+bx+c型的因式分解
大家知道，（a1x+c1）（a2x+c2）=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2http://www.xkb1.com
反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）分解成，常数项分解成，把写成，
例8.把下列各式因式分解：(1) 12x2—5xy—2 (2)5x2+6xy—8y2
1．（2x24x－10xy）（）x－1－y．2．若x＋y＝8，x2y2＝4，则x2＋y2＝_________．
3．代数式4x2＋3mx＋9是完全平方式则m＝___________．
4．（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）等于（A）a4－1（B）a4＋1（C）a4＋2a2＋1（D）1－a4
5．已知a＋b＝10，ab＝24，则a2＋b2的值是（A）148（B）76（C）58（D）52
6．（2）（3y）2（3y）2（x22x－1）（x22x－1））（1－）（1－）…（1－）（1－）的值．
8．已知x＋＝2，求x2＋，x4＋的值．
9．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代数式－ab的值．
10．若（x2px＋q）（x22x－3）展开后不含x2，x3项，求p、q的值．
【课后反馈】
还地桥镇“三环一体式”导学助教案第十四章整式的剩法与因式分解八年级数学备课组
a
b
P
q
把多项式相乘的问题转化为单项式与多项式相乘的问题
am÷an=am—n（a≠0，m、n都是正整数，并且m>n）。
底数不变，
指数相减。
保留在商里
作为因式。
商式＝系数?同底的幂?被除式里单独有的幂
12a3b2x3÷3ab2就
是（12a3b2x3）2)
a0=1（a≠0）
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