广东省惠州市2014届高三4月模拟考试
数学试题（文科）2014.04
本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．的定义域为（）B．C．D．
2．已知，则向量的坐标为（）
AB．C．D．
3．不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
4．是虚数单位，若，则（）
A．B．C．D．直角三角形的直角边长为，那么这
个几何体的体积为()
A．B．
C．D．
6．用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）
A．B．C．D．
7.已知椭圆的长轴在轴上，焦距为，则等于（）
A．B．C．D．
8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面。下列四个命题正确的是（）
A.B.
C.D.
9．已知，则等于（）
A． B． C． D．
10．设命题：函数的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称；
命题：函数在上是增函数．则下列判断错误的是（）A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．已知点满足，则的最小值是．
12.程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是上
的任意实数，则斜边长小于的概率为．
(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系下，曲线
，曲线.若曲线有公共点，则实数的取值范围是____________．
15．（几何证明选讲选做题）如右图所示，是圆
外一点，过引圆的两条割线
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的值；
（2）若，且，求.
17．（本小题满分12分）
某校高三（1）共有名学生，分钟到分钟之间，按他们学习时间的长短分个组统计,得到如下频率分布表： 第二组 第三组 第四组 第五组 （1）求分布表中的值；研究，按分层抽样的方法这名学生中抽取名进行，问应抽取多少名的学生？（）抽取学生中，，，且．
现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（1）求证：∥平面;
（2）求证：;
（3）求点到平面的距离.
19.（本小题满分14分）
已知正项数列中，，前n项和为，当时，有.（1）求数列的通项公式；
（2）记是数列的前项和，若的等比中项，求.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆的左右顶点分别为，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为曲线:上任一点（点不同于），直线与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．
21.（本小题满分14分）
已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
广东省惠州市2014届高三4月模拟考试
文科数学答案2014.04
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B D C A A C D
1．【解析】
2．【解析】.
3．【解析】.
4.【解析】
5.【解析】.
6.【解析】，
当连续函数
7.【解析】
8.【解析】【解析】,相邻两项依次结合可得：
10.【解析】
二．填空题
11.12.13.
14.（或）15.
11.【解析】【解析】
13.【解析】，
14.【解析】），解不等式即可.
15.【解析】
三．解答题
16.（本小题满分12分）
解：(1)…………………2分
(2)…………4分
……………………6分
……………………8分
…………10分
因为，且，所以………11分
所以………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1），．…………4分
（2）设应抽取名的学生，则．
故应抽取名的学生（应抽取名的学生，2名女生为．
按分层抽样的方法抽取名的学生种结果，列举如下：
．……………9分
其中既有男生又有女生被抽中的有这4种结果，……10分
所以既有男生又有女生被抽中的概率为.…………12分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且．…………………………3分
所以四边形为平行四边形．
所以∥．…………………………4分
又因为平面，且平面，
所以∥平面．………………………5分
（2）在正方形中，．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以．………………………7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．
所以．…………………………8分
所以平面．…………………………10分
（3）解法一：因为平面，所以平面平面．…………11分
过点作的垂线交于点，平面
所以点到平面的距离等于线段的长度………………………12分在直角三角形中，
所以
所以点到平面的距离等于.………………………14分
解法二：平面,所以
所以
………………………12分
又，到平面的距离为
则，所以
所以点到平面的距离等于.………………………14分
19.（本小题满分14分）
解析：（1）
……………1分
，……………2分
…………………………………………3分
………………………………………4分
……………6分
（2）
…………………………………7分
…………………………………9分
……………11分
……………………………………13分
………………………………………14分
20.（本小题满分14分）
解析：（1）由题意可得，，∴…………2分
∴，…………………3分
所以椭圆的方程为．…………………4分
（2）曲线是以为圆心，半径为2的圆。
设，点的坐标为，…………………5分
∵三点共线，∴，…………………6分
而，，则，
∴，………………………………………8分
∴点的坐标为，点的坐标为，…………………10分
∴直线的斜率为，
而，∴，
∴，…………………12分
∴直线的方程为，化简得，
∴圆心到直线的距离，…………………13分
所以直线与曲线相切．……………………………14分
21．（本小题满分14分）
解：(1)由已知，…………………………1分
，所以斜率，…………………………2分
又切点，所以切线方程为)，即
故曲线在处切线的切线方程为。………………3分
(2)………………4分
①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为.
………………………………5分
②当时，由，得.……………………6分
在区间上，，在区间上，，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.…………7分
（3）由已知，转化为.………………8分
，所以………………9分
由(2)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)………………10分
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，………12分
所以，解得.…………14分
文科数学第1页共11页
第12题图
否
图2
图1
是
结束
输出a
a>100?
a=2a+1
a=1
开始
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