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2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（文科）
2015.4
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．已知集合，集合，则．
2．若复数为虚数单位），则．
3．已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．
4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体名学生中抽取名学生进行体能测试．现将名学生从到进行编号，求得间隔数．若从中随机抽取个数的结果是抽到了，则在编号为的这个学生中抽取的一名学生其编号应该是．
5．已知函数与的图像有一个横坐标为的交点，则常数的值为．
6．设函数，则不等式的解为．
7．设等差数列的前项和为，若，则的值为．
8．从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动，假设每位同学选到的可能性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是．（结果用最简分数表示）
9．执行如图所示的程序框图，输出的结果．
10．矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第列各元素之和为，则．
11．一个正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是．
12．设是定义域为R的奇函数，是定义域为R的偶函数，若函数的值域为，则函数的值域为．
13．所在平面上一点满足，若的面积为，则的面积为．
14．对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15．“”是“”的（）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
16．下列不等式中，与不等式同解的是（）
（A）（B）
（C）（D）
17．曲线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）
（A）（B）（C）（D）
18．已知函数．给出下列三个命题：
(1)是定义域为R的奇函数；
(2)在上单调递增；
(3)对于任意的，都有．
其中真命题的序号是（）
（A）(1)(2)（B）(1)(3)（C）(2)(3)（D）(1)(2)(3)
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图，在中，，斜边，是的中点．现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且．
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
（结果用反三角函数值表示）
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线与梯形下底的两个焊接点为．已知梯形的高是厘米，两点间的距离为厘米．
（1）求横梁的长度;
（2）求梯形外框的用料长度．
（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数，．
（1）求函数的零点；
（2）设（其中常数），求的最小值；
（3）若直线与的图像交于不同的两点，与的图像交于不同的两点，求证：．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于一组向量()，令，如果存在()，使得，那么称是该向量组的“向量”．
（1）设()，若是向量组的“向量”，
求实数的取值范围；
（2）若()，向量组是否存在“向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知均是向量组的“向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积．
文科参考答案
填空题：（每题4分）
1.2.3.4.5.
6.7.8.9.
10.11.12.13.14.
选择题：（每题5分）
15.A16.D17.A18.D
解答题
19、解：（1）中，
即圆锥底面半径为2
圆锥的侧面积……………….4’
故圆锥的全面积……………….6’
（2）过作交于，连
则为异面直线与所成角……………….8’
在中，
是的中点是的中点
在中，，……………….10’
，即异面直线与所成角的大小为……………….12’
20、解：（1）……………….3’
所以，即
由……………….6’
由于，故……………….7’
（2）由余弦定理得，
所以……………….12’
故……………….14’
21、解：（1）如图，以为原点，梯形的上底所在直线为轴，建立直角坐标系
设梯形下底与轴交于点，抛物线的方程为：
由题意，得，……….3’
取，
即
答：横梁的长度约为28cm………………..6’
（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点
设………………..7’
则，即…………..10’
得
梯形周长为
答：制作梯形外框的用料长度约为141cm………………..14’
22、解：（1）由，函数的零点为………4’
（2）则……………..5’
函数的值域为……………..6’
若，即，时，有……………..8’
若，即，时，有
综上所述：…………….10’
（3）设
，则……………..14’
同理由，则
则中点与中点重合，即……………..16’
23、解：(1)由题意，得：，则……………..2’
解得：……………..4’
(2)是向量组的“向量”，证明如下：
，
而……………..7’
，
故
即
所以是向量组的“向量”……………..10’
(3)由题意得：，，即
，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以……………..13’
由，则
……………..15’
……………..18’
（注：分解结果不唯一） |
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