鞍山一中2015届高三四模考试数学（文科）试卷
命题人：黄琳校对人：周兴奎
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，所给选项中只有一个正确）
1.复数在复平面上表示的点在第（）象限
A.一B.二C.三D.四
2.命题“对任意，”的否定是（）
A.不存在，B.存在，
C.存在，D.对任意，
3.在中，，，若点满足，则（）
A．B.C.D.
4.数列的前项和为，若，则等于（）
A．B.C.D.
5.将直线绕原点逆时针旋转再向右平移1个单位所得直线为（）
A.B.C.D.
6.已知且，则（）
A．B.C.D.
7.甲乙两位同学最近五次模考数学成绩茎叶图如下，则平均分数较高和成绩比较稳定的分别是（）
A.甲、甲B.乙、甲C.甲、乙D.乙、乙
8.若，则“”是“方程”表示双曲线的（）条件
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9.执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于（）
A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]
10.已知、是不重合直线，、、是不重合平面，则下列命题
①若、则②若、、、则
③若、则④若、则
⑤、则中真命题个数是（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
11.已知点，是坐标原点，点满足，设z为在上的投影的数量，则z的取值范围是（）
A.B.C.D.
12.直线与曲线有3个公共点时，实数的取值范围
（）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13.某几何体三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得该几何体的体积是__________（）
14.椭圆的离心率为
15．若不等式对恒成立，实数的最小值是
解答题（本大题共8道小题，22、23、24题选做一道，多做按第一道记分，分值10分，其他5题每题12分共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.中内角的对边分别为，向量，且
（1）求锐角B的大小；
（2）如果b=2，求的面积的最大值.
18.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点．求证：(1)MN∥平面ABCD；(2)MN⊥平面B1BG.
19.某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了了解树苗生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度(单位：厘米)．把这些高度列成了如下的频数分布表：
组别 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 2 3 14 15 12 4 (1)在这批树苗中任取一棵，其高度在80厘米以上的概率大约是多少？
(2)这批树苗的平均高度大约是多少？
(3)为了进一步获得研究资料，若从[40,50)组中移出一棵树苗，从[90,100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40,50)组中的树苗A和[90,100]组中的树苗C同时被移出的概率是多少？
20.设函数，其中
（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率
（2）求函数的单调区间与极值
（3）已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围
21.如图，设P是抛物线：上的动点，过点作圆的两条切线，交直线：于两点。
（Ⅰ）求圆的圆心到抛物线准线的距离；
（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处的切线平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
（请在22、23、24题中选一道作答，多选按第一道计分，在答题纸上标清题号）
22.（本小题满分10分）几何证明选讲
如图,为△外接圆的切线,分别为弦与弦上的点,的延长线交直线于点,且,四点共圆.
(Ⅰ)证明:是△外接圆的直径;
(Ⅱ)若,求过四点的圆的面积与△外接圆面积的比值.
23.（本小题满分10分）坐标系与参数方程
极坐标系中，是曲线上的动点，是曲线上的动点，试求||的最大值.
24.（本小题满分10分）不等式选讲
设函数
（1）求不等式的解集；（2）求函数的最小值.
2015届高三四模考试
数学（文科）答案
选择题：BCABADABACBB
填空题：13.614.15.16.
解答题：
17.
就是,,
可得
当且仅当a=c=2时即是等边三角形时取等。----------------
18.(1)取CD的中点，记为E，连接NE、AE，如图所示．由N、E分别为CD1与CD的中点可得NE∥D1D且NE＝D1D，又AM∥D1D且AM＝D1D，所以AM∥EN且AM＝EN，即四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，
又AE?面ABCD，MN面ABCD，
所以MN∥面ABCD.---------------------(6分)
(2)由AG＝DE，∠BAG＝∠ADE＝90°，DA＝AB，可得△EDA与△GAB全等，所以，∠ABG＝∠DAE，又∠DAE＋∠AED＝90°，∠AED＝∠BAE，所以∠BAE＋∠ABG＝90°，所以，AE⊥BG，又BB1⊥AE，且BG∩BB1＝B，所以AE⊥面B1BG，又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG.
-------------------(12分)
19.解(1)由已知，高度在80厘米以上的树苗大约有12＋4＝16棵，则所求的概率大约为0.32
(2)树苗的平均高度x≈
＝
＝73.8厘米．
(3)依题意，设事件T=“树苗A和树苗B同时被移出”
记[40,50)组中的树苗分别为A、B，[90,100]组中的树苗分别为C、D、E、F，则所有的基本事件为
ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF，共12个．
满足A、C同时被移出的基本事件为ACD、ACE、ACF，共3个，所以树苗A和树苗C同时被移出的概率P（T）＝＝0.25.
20.（1）当所以曲线处的切线斜率为1-----------------.
（2）解：，令，得到
因为
当x变化时，的变化情况如下表：
+ 0 - 0 + 极小值 极大值 在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
（3）解：由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为
若，而，不合题意
若则对任意的有
则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得
综上，m的取值范围是
21.（Ⅰ）解：因为抛物线C1的准线方程为：
所以圆心M到抛物线C1准线的距离为：
（Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。
再设A，B，D的横坐标分别为
过点的抛物线C1的切线方程为：
（1）
当时，过点P（1，1）与圆C2的切线PA为：
可得
当时，过点P（—1，1）与圆C2的切线PA为：
可得
所以
设切线PA，PB的斜率为，则
（2）
（3）
将分别代入（1），（2），（3）得
从而
又
即
同理，
所以是方程的两个不相等的根，从而
因为
所以
从而
进而得
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为
22.
23.以极点为坐标原点，以极轴为轴正半轴建立直角坐标系,且极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位。的直角坐标方程为,圆心的直角坐标方程为,圆心，
24.
,
,
数学（文科）试卷第7页共13页
甲
98
6
3899
乙
210
7
1
1
2
主视图
1
左视图
2
2
俯视图
A11
D1
D
C
A
B
B1
C1
M
N
G
y
x
P
O
A
B
M
l
|
|
