马鞍山市二十二中孙滨发言提纲公开课引起的思考-----我对教学的理解数
学课例分析-----我的教学实践如何上好一节数学课
-----我的一点感悟公开课引起的思考-----我对教学的理解常规方式：先复习锐角三角函数，联
系前面学习的任意角概念，直接推广任意角的三角函数。阅读全章，整体把握为解直角三角形而引入锐角三角函数；
为解任意三角形而推广到钝角三角函数；为了刻画一些简单的周期运动（已和解三角形毫无关系
）而再次推广到任意角的三角函数．最大的困难是“找到一个好的切入点”，能让学生感受到：
三角函数学习是“必要的”、“有用的”；定义的规定是“自然的”、“合理的”.摩天轮的中心离地
面的高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒若现在你坐在座舱中，从初始位置点Ａ出发（如图所示）
课堂教学环节任意角的三角函数东升西落照苍穹，影短影长角不同．昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣．摩天轮的
中心离地面的高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点Ａ出发（如图所
示）教师：让我们想象一下整个运动过程，高度h是怎样变化的？师生：开始高度h先渐渐增高，再渐渐降低，然后再渐渐增高，最后回到
初始位置；第二周、第三周…周而复此，呈“周期现象”。教师：进一步，再计算几个。师生：过了45秒，h＝h０＋r?sin45°
过了50秒，h＝h０＋r?sin50°过了70秒，h＝h０＋r?s
in70°一般的，过了t秒呢？想法（愿望）：h(t)＝h０＋r?sint°教师：这样想合情，但合理吗？有什么
问题？师生：随着摩天轮的转动，角度也不知不觉地推广到任意角。对任意角α，sinα该如何定义？引出任意角三角函数．
把前面这个问题往下具体分析一下当时间为t秒时，人距离地面的高度用模型：h＝h0±MP来表示其中M
P表示点P到水平位置OA的距离．4、定义——建构三角函数模型教师：那么按以上设想，在坐标系中，一个角的正弦可以怎么定义呢？
教师：联系已学过的知识，类比正弦函数的定义，你能给出任意角余弦、正切的定义吗？最初的想法的有所创新第一次上课引起争议第二次
交流引起困惑（安庆）反思二：数学观与数学教学观“……有一种观点严重威胁着科学的生命：数学是一
门不知所云的学科，它只是从定义和公理出发推导出来的一系列结论，而这些公理除了必须相互一致外，完全出自数学家心灵的自由创造。如果这种
说法正确的话，那么数学就不可能吸引任何一个有智慧的人，它将是定义、法则和三段论的游戏，既无动力也无目的。……”
——摘自R.柯朗《数学是什么》数学是什么这个问题对于从事数学教育的数
学教师来说，显然是个十分重要的问题；也许我们并没有对此问题有意识的进行过认真思考，但在我们的实际工作中，却必然自觉和不自觉地以某种
观念指导着具体的行动，从而也影响着数学教学的实践。我的数学观（理解、接受）对数学教师来说，数学观直接影响
着数学教学观，教师对数学知识本质的认识和理解直接决定着他对数学知识传授方式的选择。张奠宙先生“数学本质”、数学教育形态的观点
和案例“数学本质”的内涵：1.数学知识的内在联系；2.数学规律的形成过程；3.数学思想方法的提炼
；4.数学理性精神的体验。教育数学是数学的教育形态：数学的原始形态：繁复曲折的数学思考;数学的学术形态：书面发
表的数学,冰冷的形式化美丽。数学的教育形态：张奠宙案例1:三角形内角和问题姜伯驹院士在政协的提案指出“三角
形内角和等于180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？”不鼓励学生问为
什么，数学课就失去了灵魂。李大潜院士：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了”三角形内角和定理的价值没有实际价值，超越
日常经验。当初古希腊学者不是“量”出来的。价值在于理性思维，从公理出发的演绎推理。建议：要么作公理，要么进行推理。
例如：所有矩形的四个角都是直角?直角三角形内角和为180度?任意三角形内角和为180度案例2：正弦定理的教学
（一个忽视数学实质的设计）请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算c/sinC,b/
sinB,a/sinA的值，看看有什么结果？（学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习）正弦定理是量出来
的吗？分组测量，汇报结果，这是败笔。数学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介，比一
下立刻推得。正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”，平面几何“大边对大角”的数量化。案例3：函数的单调性单
调性的本质是描述函数的变化趋势。这可以直观地观察，画图等但是，单调性概念的数学本质在于处理无限变化的趋势；呈现的方式对“任意
”两个自变量x1数学课例分析------我的教学实践自己的上课经历2000年参加安徽省第三届“高中数学课堂教学”评比获全省一等奖；200
1年执教的《一道综合题的讲解》被评为市级精品课；2003年执教全市数学教学公开课《日常生活中的概率》；2004年执教全市数学教
学公开课《对数的运算法则》；2005年执教全市数学教学公开课《圆的一般方程》；2006年执教全市数学教学公开课《高三数学试卷讲
评》；2007年执教全市数学教学公开课《方程的根与函数的零点》；2007年执教全市数学教学公开课《任意角的三角函数》；200
7年参加市“教坛新星”评比公开课《抛物线的几何性质》；2008年3月参加安徽省高中青年教师数学优秀课评比中获一等奖（《排列》）；
2008年4月参加的安徽省“教坛新星”评比，（《重要不等式》）；2008年11月代表安徽省参加全国“第六届高中教师优秀课评选”
获一等奖；2009年3月年执教全市数学教学公开课《曲边梯形的面积》。课列1《排列》这是安徽省中学数学青年教师新课程优秀课评
比活动的参评公开课。时间：2008年3月19日地点：安徽省蚌埠市第九中学本次评比采用当场抽签，现场备课，第二天上课的形式，备
课时只允许参考数学课程标准、教科书、教师教学用书，上课前事先对所上课题、学生情况均不太了解。“排列”教学要揭示什么“数学
本质”？课例2《基本不等式》“基本不等式”教学要揭示什么“数学本质”？课例2《基本不等式》课列3《方程的根与函
数的零点》如何上好一节数学课-----我的一点感悟关于备课这个环节中深刻而准确的知识结构分析是其
他各项的基础，数学观点的提炼、数学方法的阐发和教学艺术的设计都有赖于这种分析。结构分析不仅反映出一节课的教学内容，而
且揭示了更广泛范围内的地位与作用。于是，教师站在讲台上能“胸有全局”，讲起课来能“得心应手”、“左右逢源”。关于
上课Polya对教师提出了“教师十戒”，这就是1）要对你讲的课题有兴趣；2）要懂得你讲的课题；3）要懂得学习的途径，学习
任何东西的最佳途径是靠自己去发现；4）要观察你的学生的脸色，弄清他们的期望和困难；5）不仅要教给他们知识，并且要教给他们“才智
”、思维的方式和有条不紊的工作习惯；6）要让他们猜测；7）要让他们学会证明；8）要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征，
即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式；9）不要立即吐露你的全部秘密，让学生在你说出来之前先去猜。尽量让他们自己找出来；
10）要建议，不要强迫别人去接受。●一个核心：引导学生自己概括出数学的本质，使学生在数学学习过程中保持高水平的数
学思维活动。谢谢!请指正接下来是教案设计，要重点考虑课如何展开：引入要有悬念、要简洁、要激发兴趣
，过渡要自然，发展要有必要，结果要有好处。上课时，不死记教案，只要记住各环节和过渡语。在备课时要思考这样
几个问题：第一教什么，第二为什么要教，第三如何教，第四为什么这么教。每次多问两个为什么，课备得就会有深度，有思维含金量。章建跃：
数学课堂教学的“321”Polya对教师提出了“教师十戒●三个基本点：理解数学；理解学生；理解教学●两个关键：提好的
问题；设计自然的过程数学课堂教学的“321”（章建跃）教出数学味道、教出数学品位教出数学境界、教出人文精神
让我们共同努力上好数学课在准备《任意角三角
函数》这节课时，恰好读到R.柯朗写的这段话，颇有感触，这也是作出以下教学设计的一个重要原因。“人是价值观的动物”A数学研究的
对象；B数学的价值；C数学具有两重性；数学研究的对象（1）数学对象是由人类所发明和创造的。（2）它们不是任意地
被创造的，而是在已经存在的数学对象的活动中，科学研究和生活实践的需要中产生出来的。（3）数学对象所具有的性质是客观存在的。
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学（恩格斯）。20世纪初的定义：数学是模式的科学。数学的价值
数学是一种语言（数学符号、形式化）数学是生活、生产实践、科学研究的工具（数学应用）数学是人类的一项活动、一种文化（数学史、数
学价值、数学思想方法）数学是一种思考方式、理性精神（数学思维、数学证明、辩证、哲学）数学是一门艺术（数学的发现、数学美）数
学具有两重性从最后确定定型的数学看是一门系统的演绎科学，从创造过程看是一门实验性的归纳科学。数
学教学学生观数学教学观数学观数学课要关注学生的学习规律，使学生感兴趣、容易接受，数学课要有“数学味
”，要努力体现数学的方法、思想、精神。揭示数学本质教学观学生观教师应关注学生：听中学；做中学；听懂后做出的
事；做好后说出的话。不要混淆“具体数学知识”的本质和“数学本质”理解：教师的责任:把数学的学术形态化为数学的教
育形态：“返朴归真”，“平易近人”，“言之有理”，“感悟真情”奇偶性比赛课的准备、教学录像、教案“求简的思想
”，将一类特殊的计数问题模型化，数数→计数原理（乘法原理）→排列、组合这种简化表现在思维的减缩，运用排列数公式解题时，将乘法
原理的多步重复考虑缩减为两步。并概括出排列的概念及其计数公式。突出数学方法论：数学思想、数学哲学一、创设情境以旧托新——
概念外延的具体感知二、抽象概括提炼新知——概念内涵的理性分析三、逐层递进类比理解——概念形成的语词表述和符号表示1、
排列1．1概念的语词理解1．2概念的的辨析2、排列数概念四、示例练习深化理解——概念的巩固和利用
3、排列数公式及其推导课列1《排列》教学设计突出数学方法论：数学思想、数学哲学五、归纳小结
注重提升——整体结构课列1《排列》教学设计一、创设情境以旧托新——概念外延的具体感知问题2（出示幻灯片）从1、2
、3、4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？问题3（出示幻灯片）由a、b、c、d、e、f、g
七名同学站一排照相，有多少种不同解法。问题1（出示幻灯片）从甲、乙、丙3名同学中选出2人今天值日，一名上午值日，一名下午值日，
有多少种选法?二、抽象概括提炼新知——概念内涵的理性分析课列1《排列》教学设计问题2：从4个数字中取3个，排
成三位数问题3：7名同学全部，排队照相问题1：从3人中选2人，上下午值日取元素排顺序不同点：研
究对象不同，具体任务不一样（完成一件具体的事是不一样的）相同点：问题结构相同，解决问题方法相同（利用乘法计数原理）可以抽象为:
从n个不同元素中每次取出m个不同元素(m≤n)，按一定顺序排成一列。三、逐层递进类比理解——概念形成的语词表述和符
号表示1、排列1．1概念的语词理解1．2概念的的辨析2、排列数概念问题：什么是两个相同的排列？结
论：元素同、顺序同教师：相等（同）概念在数学学习中经常遇到，如两个集合相等，两个函数相同，两个向量相等，相等（同）概念可以让我们
更加清楚研究对象的本质。是一个新的数学符号3、排列数公式及其推导课列1《排列》教学设计五、归纳小结注重提升5.
1、归纳提升教师：计数是人类最基本、最原始和最古老的数学实践活动。最初用的方法是“数数”，“一个个地数”的过程所产生的繁琐而且容
易出错，促使人们寻找方便、快捷的方法，两个计数原理正是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律。同样的，沿用“减少重复、避免繁
琐、简便计数”的“求简的思想”，将一类特殊的计数问题模型化，并概括出排列的概念及其计数公式。数数→计数原理（乘法原理）→排列（
简化为两步）这种简化表现在思维的减缩，运用排列数公式解题时，将乘法原理的多步重复考虑缩减为两步。这种简化的思想，我
们在前面的学习也有过：我们学完加法后，发现一类特殊加法用乘法表示更简洁，进一步，一类特殊乘法用乘方表示更简洁。——作为基本而重要
的不等式模型，如何理解“基本”？如何理解“模型”？——实数的两种基本运算引出的变化,——两种“不同平均”
的比较，代数角度（代数变换能力）几何角度（几何直观能力）结构特征，使用条件。一、情境引入：问题：用臂长不等的天平称物
体质量。［过渡］：那么它们哪个更大一些？（师）：如何证明？让学生自己先证预案一：用比较法证明预案二：用分析法证明，可以引导
学生看书P98，填空预案三：用综合法证明在证明过程中，引出等号成立条件。2、从几何角度认识不等式3、从变化形式认识不等式
4、在运用中体验不等式三、练习巩固四、小结五、阅读材料1、鼓励学生先猜想二、新知教学假定某人上山速度为V1，下山速度
为V2，求平均速度。联系的观点，多角度认识一、教材分析——阅读全章，整体把握[内容设置与编排]：突出数学文化二、教法学法
探究——细读章节，构思教法教材的安排是从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助于对图像的观察帮助学生获得函数零点与
二次方程根的关系，并将这种关系推广到一般情形。接下来引导学生观察二次函数零点所在区间端点函数值乘积的特点，介绍零点存在定理。
仔细阅读教材后，我觉得如果教学中照此顺序安排，虽然学生理解起来较为简单，但作为初学者，学生会产生疑惑：为什么要研究函数零
点？因为二次方程他们都能用公式法求方程的根，如果带着这样的疑虑学习，必然会降低求知欲，也势必会对下一节课引入二分法的必要性产生怀疑
。另一方面，零点存在定理作为《数学分析》中介值定理的推论，无法用初等方法给出证明，教科书只要求学生理解并会用，于是如何帮助学生较自
然的“发现”定理，进一步理解定理是又一个重要环节。简言之，阅读教科书后，初步确定本节课两个环节：环节一引入零点
，要让学生觉得有必要！环节二零点存在的判定方法，要让学生感到有好处。教案认真备好一节课，通常要完成三个阶段的工
作：分析准备、拟定计划、完成教案。这一阶段也是自己学习的过程，
要充分准备，什么是充分？其中分析准备阶段包括：收集参考资料、熟悉教学内容、理清知识结构、确定目的要求、分析重点难点
、了解学生实际、选定课型和准备教具等。我理解是通过学习要能找到两个感觉：被所教学的内容打动了，感受了数学家的伟大，
感受了数学知识的价值（奇妙、有用等）；非常想将自己所学的体会教给学生。数学必修4第一章三角函数任意角的三角函数背景：2
007年在全市公开课最初的想法的有所创新，第一次上课引起争议，第二次交流引起困惑。（学生的疑惑）(1)为什么学完任
意角后要学习任意角的三角函数？(2)任意角三角函数定义为什么要引入坐标系？(3)正弦为什么用y比r，而不是y的绝对值比r？
有利于学生从已有的认知基础出发学习概念，但未能反映出这个数学知识的学科价值，不利于学生理解数学和认识数学。结构联系P68
体会（教材特点）与过去的教材相比，新教材强调了三角函数是“描述周期现象的一种数学模型”；加强了单位圆
的直观作用，借助单位圆定义三角函数、理解三角函数的性质；删减了余切、正割、余割概念；突出了周期性，本章的研
究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，教材中把“周期性”看成是三角函数学习的出发点和归属．阅读章节，构思教学
教什么？（为什么要教？）怎样教？（为什么要这样教？）它是一个最基本的、最有表现力的周期函数，是描述一般周期函数
的基石，是数形结合的产物，这是三角函数最本质的地方．欧拉用直角坐标定义三角函数，解决了三角函数在四个象限中的符号
问题，使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为反映现实世界中某些运动和变化的一门学科．求相对于地面的高度h与时间t
的函数关系式。AOp情境以数学应用为明线，讲数学背景、讲数学应用；以数学文化为暗线，
讲数学概念学习引入的必要性、规定的合理性、表述的简洁性.过程1、导入2、情境——选择数学模型
3、探究——分析数学模型4、定义——建立三角函数模型５、应用６、联系7、小结学生集体朗读：1、导入教师：日出日落，
寒来暑往，自然界中存在许多“按一定规律周而复始”的现象，称之为“周期现象”。我们曾学习过用“指数函数”模型刻画人口增长问题、储蓄中
复利计算问题，用“对数函数”模型刻画地震的震级变化、溶液酸碱度的pH值变化，那么用怎样的数学的模型来刻画周期现象呢？请看下面的实
例．求相对于地面的高度h与时间t的函数关系式。AOp2、情境——选择数学模型教师：已学过的函数没有这种性质，应
该用怎样一个函数模型来刻画？教师：不妨先从一个简单具体情形入手。例如过了30秒后，你离地面的高度为多少？（设计意图：解决问题的
一般策略，先特殊后一般。学生也加深对问题理解。）（设计意图：是突出研究问题的“周期性”特点，如果展开…）（设计意图：先猜想再探
究，是一种合情推理，使教学环节显得生动，同时感受到接下来新知识学习的必要性。以实际问题解决为背景，引入任意角三角函数概念，是想让学
生感受到“数学是自然的”、“数学是有用的”。）3、探究数学模型对任意角α，sinα该如何定义？AOMPAO
MPAOMPAOMPh＝h０＋MPh＝h０＋MPh＝h０－MPh＝h０－MPAOMPA
OMPAOMPAOMPh＝h０＋MPh＝h０＋MPh＝h０－MPh＝h０－MP人距离地面的
高度用模型：h＝h0±MP与猜想:h＝h０＋r?sint°比较r?sint°＝±MP即sint°＝±要想两者完
美和谐统一，就必须有：ppppPMPPPMMM小结：点P在圆周上旋转运动，引起∠POA的变化，对任一个
确定的∠POA，对应着唯一点P，进而有唯一的MP，得到，教师：何时取正值，何时取负值？根据这些特点，用怎样的一个量来代替
MP或－MP，可以使上面的表述更简洁？师生：引入直角坐标系，用点
P的纵坐标y来替代MP或－MP.（设计意图：让学生感受到任意角三角函数定义中“坐标系的引入”，“坐标比值法的规定”不仅有必要、有
好处，而且顺其自然，体会“数学是自然的”，而不是完全出自数学家心灵的自由创造。）（设计意图：数学研究的“求简”意识）学生：设
是“放在”直角坐标系内一个任意角，以原点为圆心作圆，半径为r，与的终边上相交于点P，点P的坐标(x，y)，规定：教师
：能这样定义吗？这可是我们自己规定的!问题2：圆的半径ｒ大小有限制吗？结论：不矛盾，而且坐标法的引入摆脱了锐角的束缚。结
论：根据相似三角形的知识，……，对于确定的角α，上面三个比值都是唯一确定的．问题1：当α是锐角时，此规定与初中定义矛盾吗？于是：结论：考虑取ｒ＝1.，引出单位圆。问题3：半径ｒ为取多少时，会使得比值更加简洁？a的终边P(x,y)Oxy教师：这正是我们教科书上的定义方式，请同学们阅读教材。（设计意图：数学概念的学习有概念形成和概念同化两种方式，任意角三角函数定义的教学运用的是概念同化方式，安排问题1、2、３的环节，正是为了完成同化过程。）困惑（安庆）：张：数学“四基”，基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。课堂训练较少，学生不会做课外题，我认为“一个数学老师在教学生时只剩下数学题目”，是很可怕的。章：背景太复杂，可以考虑直接出示“单位圆”争议：这样上，学生不会做题，双基无法落实.反思一：不是所有的课都适合这样设计，一方面是数学知识背景材料问题，另一方面也与教学对象的程度有关。在这个意义上，直接由锐角三角函数引出定义也是一种不错的选择。如果从双基落实这个角度看，这节课的确不足。数学教学除了教会学生知识、方法，似乎还应告诉学生更多的东西。数学观是人们对于数学的总的认识和看法，主要包括数学知识观、数学本质观、数学价值观三个方面。 |
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