太原市2015年高三年级模拟试题（一）
数学试卷（理工类）
一、选择题
1、已知，则复数（）
A.B.C.D.
考点：复数的运算
答案：A
2、已知全集，集合,则下图阴影部分表示的集合是（）
A.[-1,1）B.(-3,1(C.(-(,3)([-1,+(）D.(-3,-1)
考点：集合之间的简单运算
答案：D
3、在单调递减等比数列中，若，则（）
A.2B.4C.D.2
考点：数列的运算
答案：B
4、已知函数，若在上任取一个实数，则不等式成立的概率是（）
、、、、
考点：几何概型
答案：
5、执行如右图所示程序框图，则输出（）
、、、、
考点：读程序框图
答案：
6、已知函数的最小正周期是，若将其图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则函数的图像（）
、关于直线对称、关于直线对称
、关于点对称、关于直线对称
考点：三角函数图像及性质
答案：
7、已知在圆内，过点E（1,0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为
A、B、6C、D、2
考点：圆与直线位置关系
答案：D
8、已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是
A、16B、32C、32D、48
考点：由三视图求体积
答案：C
已知实数满足，则函数的零点所在的区间是
A.B.C.D.
考点：指数函数，函数的零点问题
答案：B
10、已知实数满足条件若目标函数的最小值为5，其最大值为
A.10B.12C.14D.15
考点：线性规划
答案：A
11、已知点为双曲线的对称中心，过点的两条直线与的夹角为，直线与双曲线相交于点，直线与双曲线相交于点，若使成立的直线与有且只有一对，则双曲线离心率的取值范围是
A.B.C.D.
考点：双曲线离心率的求解
答案：A
12、已知数列的通项公式为，其前项和为，则
A.B.C.D.
考点：数列前项和的求解
答案：D
二、填空题
13.已知向量满足，且，则的夹角为。
答案：
已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是__________.考点：二项式定理
答案：60
15、已知在直角梯形中，将已知在直角梯形沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值其外接球的体积为
考点：球的内切问题
答案：
16、已知定义在R上的奇函数满足，数列的前n项和为，且，则
考点：构造数列和函数的对称性及周期性。
答案：3
三、解答题
17、已知分别是所对的边，且。
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若
解：（Ⅰ），由余弦定理得。
的面积等于，。4分
联立解得。6分
（Ⅱ）
。8分
①当。9分
②当由正弦定理得，
联立，
,
综上所述，。12分
18、
某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为，，，，）
（I）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；
（II）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率。
解：
（I）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为
由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2
，，
随机变量X的分布列为
0 1 2
（II）由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3
设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则
故所求概率为
19、（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，侧棱与底面ABC的所成角为，，底面ABC是边长为2的正三角形，点G为的重心，点E在上，且BE=.
（1）求证：；
（2）求平面与底面ABC所成锐角二面角的余弦值；
解析：
（1）证明：连接，并延长交BC于点F，连接,,
（2）证明：过点作垂足为O，连接OC,
点O是AB的中点
，
以O为圆心，分别以OC，OB，OA为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz，由题意可得：A（0，-1,0），B（0,1,0），C（，0,0），（0,0，），（0,2，），（），
设n=（x,y,z）是平面的一个法向量，则
令，则
由（1）知是平面ABC的一个法向量，
设平面与底面ABC所成锐二面角为，则有：
20、已知椭圆的左右焦点其离心率为，点为椭圆上的一个动点，内切圆面积的最大值为
(1)求a,b的值
(2)若是椭圆上不重合的四个点，且满足
求的取值范围。
解析：（1）当为椭圆上下顶点时内切圆面积的最大值设内切圆半径，
（2）直线垂直相交于点由（1）椭圆方程
①直线有一条斜率不存在时
②当斜率存在且不为0时，设方程则是方程组的两组解
方程同理
设
由①②的取值范围
21、已知函数
（I）若当时，求的单调区间；
（II）若，求的取值范围。
解：
由题意得，
当时，则，
令，则令，则；
的单调减区间是（0,1），单调增区间是。
（II）①当时，，显然符合题意；
②当时，当时，
，不符合题意；
③当时，则，
令，则存在，使得，即，
令，则；令，则，
，
综上所述，实数的取值范围
选修4-1：几何证明选讲
如图，已知点是以为直径的半圆上一点，过的直线交的延长线于，交过点的圆的切线于点，，.
求证：直线是圆的切线；
求线段的长.
答案：（1）证明：连接，是圆的切线，
,
,
又,
,
直线是圆的切线；
设
是圆的切线，
，
由（1）得，直线是圆的切线，，
.
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足.
求曲线的普通方程；
以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线、分别交于、两点，求.
答案：（1）设
点在曲线上，，
曲线的普通方程为；
曲线的极坐标方程为
将代入得，的极坐标为，
曲线的极坐标方程为
将代入得，的极坐标为，
.
24.选修4-5：不等式选讲
已知函数。
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若，求的取值范围。
解（Ⅰ）当时，
2分
其图像如图所示，与直线相交于点4分
不等式的解集为，5分
（Ⅱ）
7分
①当
②当
③当10分
M
U
是
开始
输出a
a是奇数
结束
是
否
否
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