重庆育才成功学校初2015级初三（下）
第一次诊断性考试数学试题
（满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项．
参考公式：
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，），对称轴公式为．
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．
1．在这四个数中，属于负分数的是（▲）
A. B. C.0 D.
2．的算术平方根是（▲）
A．4 B． C．2 D．
3．已知，则的值为（▲）
A． B． C．D．
4．一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为（▲）
A．1440° B．1296° C．1152° D．1584°
5．分式方程的解为（▲）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列说法正确的是（▲）
A．一个游戏的中奖概率是，则做100次这样的游戏一定会中奖
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C．一组数据8,8,7,10,6,8,9的众数和中位数都是8
D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
7．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（▲）
A．30° B．45° C．50° D．60°
第7题图
8．如图，⊙O是的外接圆，已知∠B=62°，则的度数是（▲）
A．28° B．30° C．31° D．62°
9．已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（▲）
A．0＜α＜1 B． 1＜α＜1.5 C． 1.5＜α＜2 D． 2＜α＜3
10．2015年3月8日，学校组织女老师到重庆南山看樱花．早上，大客车从学校出发到南山重庆植物园，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后大客车加快速度行驶，按时到达南山重庆植物园．参观结束后，大客车匀速返回．其中，x表示客车从学校出发后所用时间，y表示客车离学校的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（▲）
A．B．C．D．
11．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有9个，第（2）个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律．则第（10）个图形中面积为1的正方形的个数为（▲）
A．72B．64C．54D．50
12．如图所示，在平面坐标系中，⊥轴，反比例函数过点，反比例函数过、点，，，则点的坐标为（▲）
A． B．C．D．
二、填空题：(本题共6小题，每小题4分，共24分)请把下列各题的正确答案填写在答题卡对应的横线上．
13.中国政府宣布2015年的国防预算将在2014年的1300亿美元基础上增加约10%，达到1430亿美元，1430亿元用科学记数法表示为▲元；
14．若，则▲（用含的代数式表示）；
15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=
1：4，则S△BDE：S△ACD=▲；
第12题图第15题图第16题图
16．如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC＝，则图中阴影部分的面积是▲；
17．一个口袋中装有分别标有，，1，2，3五个数的完全相同的小球，搅匀后从中摸出一个小球，将小球上的数记为，则使得关于的不等式组有解且关于的函数与轴有且只有一个交点的概率是▲；
18．如图所示，在矩形中，，，是线段的中点，是线段上的动点，△沿直线翻折到△，连结，.当最短时，则▲.
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
20．随着我市减负提质“1＋5”行动计划的全面实施，某校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求在此次调查活动中一共抽查了名学生，并将不完整的统计图补充完整；
（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动,
其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自不同小组且恰有1人是女同学的概率．
四、解答题：（本大题共个4小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
21．先化简，再求值：，其中x是一元一次方程的解．
22．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m．
（1）求建筑物BC的高度；
（2）求旗杆AB的高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）
23．2014年9月重庆双福育才中学正式开学，在开学前几个月，学校为了装修教室和机房，计划购置一批新的投影仪和一批电脑．经市场调查，购买1台投影仪比买3台电脑多3000元，购买4台投影仪和5台电脑共需8万元．
（1）求购买一台投影仪和一台电脑各需多少元？
（2）根据学校实际情况，需购买投影仪和电脑共500台，且电脑的台数不多于投影仪台数的4倍，则当购买电脑多少台时，学校需要的总费用最少？并求出最少的费用．
24．如图所示，△中，,∠=90°,⊥，⊥，△沿直线翻折到△，连结交、、分别于点、、.
（1）求证：⊥；
（2）求证：.
五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
25．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）直接判断函数（）和（）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；
（2）若一次函数（）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；
（3）将二次函数（，）的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足．
26．如图，抛物线y=与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且对称轴为，点D为顶点，连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若抛物线对称轴右侧上一点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标；
（3）连接BC交DE于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为，设Q点的运动时间为（）秒，求使得△PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的时对应的值．
重庆育才成功学校初2015级初三（下）
第一次诊断性考试数学试题参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A A D C D A C A C D
填空题
题号 13 14 15 16 17 18 答案 1:20
解答题
19．证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AD=BC．
20．解：（1）一共抽查了400名学生．扇形统计图，演讲25%，英语15%．条形统计图书法80人；
（2）设第一小组中男为、女为B，则第二小组中两男为；
由树状图知一共有12种等可能的结果，其中有一名女生且来自不同小组的有4种：
答：﹦．
解答题
21．解：原式=
=
=
=
解方程得x=3
∴当x﹦3时原式﹦．
22．解：（1）如图，作ED⊥BC于点D
在Rt△BED中，
∵∠BED＝45°，
∴BD＝tan45°×ED＝12(米)
∴BC＝BD+CD＝12+1.6＝13.6(米)
答：建筑物BC的高度为13.6米.
（2）在Rt△AED中，
∵∠AED＝52°
∴AD＝tan52°×ED＝12×1.28＝15.36(米)
∴AB＝AD－BD＝15.36－12＝3.36≈3.4(米)
答：旗杆AB的高度约3.4米.
23．解：（1）设购买一台笔记本电脑需x元，购买1台投影仪需y元，
所以得到方程组，解得x=4000,y=15000,
所以购买买一台笔记本电脑需4000元，购买1台投影仪需15000元；
（2）设电脑为台，则投影仪为（）台，总费用为元；
∴，则：
∵-11000<0
∴随的增大而减小；
∴当时，万元；
即：当购买电脑400台时，总费用最少为310万元．
24．证明：（1）在△中，,∠=90°,是的中点
，
在△中，,⊥,
，
△沿直线翻折到△
△△
，
，
在△和△中
△△（）
⊥
(2)找的中点，连结
又（1）知
四边形为正方形
‖，=
，=
在△和△中
△△（）
⊥
是的中点，是的中点
‖
=
．
解答题
25．解：(1)根据有界函数定义知：函数（）不是有界函数；
函数（）是有界函数，边界值为9.
当k>0时，由有界函数的定义得函数过（1,2）（-2，-3）两点，设，将
（1，2）（-2，-3）代入上式，即得：所以：.
当k<0时，由有界函数的定义得函数过（-2,2）（1，-3）两点，设，将
（-2,2）（1，-3）代入上式，即得：所以：.
若，函数向上平移个单位后，x=0时，y=m，此时边界值，不符合题意.
故.函数过点（-1，-1）；（0,0）向上平移m个单位后，平移图像经过（-1，-1+m）；（0，m）.
，即.
26．解：（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）①若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴==，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=a，
∴CG=FG﹣FC=a，
∴M（a，﹣3+a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=，
∴M（，﹣）；
②若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴==，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN﹣NF=a，
∴MG=FG=a，
∴CG=FG+FC=a，
∴M（a，﹣3+a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5，
∴M（5，12）；
综上可知，点M坐标为（，﹣）或（5，12）．
（3）或．
A
B
C
O
（第8题图）
18题图
A
B
C
E
F
A
B
C
E
F
D
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