哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学
2015年高三第二次联合模拟考试
理科数学试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合M={}，则集合M的真子集个数为
A．8．7C．4D．3
2．命题若>1，则>0”的否命题是
A．若≤l，≤0B．若≤l，>0
C．若>1，则≤0D．若<1，则<0
3．复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若=-2i，则=
A．1．C．2D．4
4．已知，b，m，是四条不同的直线，其中，b是异面直线，则下列命题正确的个数为
(D若m，mb，a，b，则m∥；
②若m∥，∥b，则m，n是异面直线；
③若m与，b都相交，n与，都相交，则m，是异面直线．
A．B．1C．2D．3
5．已知向量与向量a(1，2)的夹角为，，点A的坐标为(3，4)，则点B的坐标为
A．(1，0)B．(0，1)C．(5，8)D．(8，5)
6．函数图象的一条对称轴为
A．B．C．D．
7．阅读程序框图，若输出结果，则整数m的值为
A．7．8
C．9D．10
8．设F、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，则A．B．．D．
9．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为
A．16B．9
C．4D．
10．已知是定义在上的奇函数，是偶函数，当∈(2，4)时，，=
A．1．C．2D．2
11．已知双曲线(>0，b>的左、右焦点分别为F、F2，以FF2为直径的圆被直线截得的弦长为，则双曲线的离心率为
3B．2C．D．
12．若函数在区(0，)上是增函数，则实数的取值范围是
A．(一∞，一l]B．[一1，+∞)C．(一∞，0)D．(0，+∞)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．)
13．的展开式中含项的系数为14．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量(单位为：元)，经统计得～N(520，14400)，从该城市私家车中随机选取容量为l0000的样本，其中每月汽油费用在(400，640)之间的私家车估计有辆．
(附：若～(，)，则P()=0．6826，()=0．9544，()=0．9974)
15．ABC的内角，B，所对的边分别为，，c，且，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则+c的值为．
16．在平面直角坐标系xoy中，已知圆：，点(2，2)，M，N是圆上相异两点，且PN，若，则的取值范围是．
三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)
已知数列{an}前项和为Sn，满足Sn=2an-2n(n∈N)．
(I)证明：{an+2}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(Ⅱ)数列{bn}满足bn=log2(an+2)，Tn为数列{}的前n项和，若对正整数a都成立，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)
微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；若将这些微信用户按年龄分成青年人(20岁至40岁)和中年人(40岁至60岁)两个阶段，那么其中是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有
(I)现对该市微信用户进行经常使用微信与年龄关系的调查，采用随机抽样的方法选取容量为l80的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2×2列联表．
青年人 中年人 经常使用微信 不经常使用微信 合计 (Ⅱ)由列表中的数据，是否有99．9％的把握认为经常使用微信与年龄有关?
(III)从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X，求出X的期望．
附：
P(K2≥) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19．(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC—AB1C1中，底面为正三角形，点M在棱BB上，AB=4，AA=5，平面AMC平面ACCA1．
(I)求证：M是棱BB的中点；
(Ⅱ)求平面AMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)
设F是抛物线C：的焦点．P是C上一点，斜率为l的直线交C于不同两点A，B(不过P点)，PAB重心的纵坐标为．
(I)记直线，PB的斜率分别为k，k．求k+k2的值；
()求的最大值．21．(本小题满分12分)
已知函数．
(I)曲线在=1处的切线与直线垂直，求实数a的值；
(II)当时，求证在(1，+∞)上单调递增；
()当≥1时恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，已知点C在圆直径BE的延长线上，CA切圆于点A，CD是CB的平分线，交E于点F，交AB于点D．
(I)求证：CEAB=AEAC；
(Ⅱ)若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知点P的直角坐标是(，)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(，)，点Q的极坐标是(，+)，其中是常数．设点Q的平面直角坐标是(m，n)．
(I)用，，表示m，n；
(Ⅱ)若m，满足mn=1，且=，求点P的直角坐标(，)满足的方程．
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知，b，>0，a+b+c=1．
求证：(I)；
.
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三校联考二模理科数学答案2015.4
选择题：BABBADCDBBDA
填空题：
13.1614.682615.16.
三．解答题：
17.解：(Ⅰ)由题设，
两式相减得，……2分
即.
又，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列……4分
.
……6分
又，所以
（Ⅱ）因为，
……8分
所以，……10分
依题意得：……12分
18.解：（Ⅰ）由已知可得：下面列联表：
青年人 中年人 合计 经常使用微信 80 40 120 不经常使用微信 55 5 60 合计 135 45 180 ……4分
（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：
所以有﹪的把握认为经常使用微信与年龄有关.……8分
（III）从该市微信用户中任取一人，取到经常使用微信的中年人的概率为
依题意：～所以：……12分
19.解：（1）取中点,连.
在平面上过作垂线交于.
平面平面.平面
如图：以为坐标原点，建立空间直角坐标系
由已知：
……3分
设为平面法向量
取
即：
又为平面法向量
依题意：
为棱的中点……8分
（2）由（1）知：为平面法向量
又为平面法向量
平面与平面所成锐二面角余弦值为.……12分
20.解（1）设直线的方程为：，将它代入得：，
当时，令，则
，，……3分
因为.重心的纵坐标为．所以，所以，．
，
所以：．……6分
（2），……8分
由得，又不过点，则．
令，则且．
则
当，即，时，的最大值为．……12分
21.解：(1)
依题意得：
解得：……3分
（2）当时：
对成立
即：在上为增函数
又，故对成立
在上为增函数……6分
（2）
由得：
设……8分
设
①当时：对成立
又故即：
又故……10分
②当时：由得
当时：
又故：即：
又故这与已知不符
综上所述：实数的取值范围为……12分
22.解：
（1）证明：由∽，得……5分
（2）证明：平分，
为圆的切线，
，即，所以
∽
，……10分
23.解：（Ⅰ）由题意知：和
即
所以……5分
（Ⅱ）由题意知
所以.
整理得.……10分
24.解：（1）证法一：
……5分
证法二：
由柯西不等式得:,
．
（2）证法一：
同理得，
以上三式相加得，
，
．……10分
证法二：
由柯西不等式得:
．
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