考点跟踪突破12反比例函数及其图象一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·安顺)若y＝(a＋1)xa2－2是反比例函数，则a的取值为()A．1B．－1C．±1D．任意实数A2．(2014·扬州)若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过P(－2，3)，则该函数的图象不经过的点是()A．(3，－2)B．(1，－6)C．(－1，6)D．(－1，－6)D3．(2013·绥化)对于反比例函数y＝3x，下列说法正确的是()A．图象经过点(1，－3)B．图象在第二、四象限C．x＞0时，y随x的增大而增大D．x＜0时，y随x的增大而减小D4．(2014·潍坊)已知一次函数y1＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y2＝mx(m≠0)的图象相交于A，B两点，其横坐标分别是－1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是()A．x＜－1或0＜x＜3B．－1＜x＜0或0＜x＜3C．－1＜x＜0或x＞3D．0＜x＜3A5．(2014·鄂州)点A为双曲线y＝kx(k≠0)上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为()A．23B．±23C.3D．±3D二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·莱芜)已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝kx的图象相交于A(4，2)，B(－2，m)两点，则一次函数的表达式为．y＝x－27．(2013·张家界)如图，直线x＝2与反比例函数y＝2x和y＝－1x的图象分别交于A，B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是____．8．(2013·德州)函数y＝1x与y＝x－2图象交点的横坐标分别为a，b，则1a＋1b的值为____．－29．(2014·湖州)如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．y＝2x10．(2013·绍兴)在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y＝3x上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是．2或－2三、解答题(共40分)11．(10分)(2014·白银)如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝nx相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.(1)求m，n的值；(2)求直线AC的解析式．12．(10分)(2013·嘉兴)如图，一次函数y＝kx＋1(k≠0)与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象有公共点A(1，2)．直线l⊥x轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积．13．(10分)(2014·威海)已知反比例函数y＝1－2mx(m为常数)的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过?ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．①求出函数解析式；②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，则P点的坐标为；若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为____个．(2，3)4②∵反比例函数y＝6x的图象关于原点中心对称，∴当点P与点D关于原点对称，则OD＝OP，此时P点坐标为(－2，－3)，∵反比例函数y＝6x的图象关于直线y＝x对称，∴点P与点D(2，3)关于直线y＝x对称时满足OP＝OD，此时P点坐标为(3，2)，点(3，2)关于原点的对称点也满足OP＝OD，此时P点坐标为(－3，－2)，综上所述，P点的坐标为(－2，－3)，(3，2)，(－3，－2)；由于以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1，P2，则点P1，P2满足条件；以O点为圆心，OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3，P4，则点P3，P4也满足条件，如图，∴满足条件的点P的个数为4个14．(10分)(2014·呼和浩特)如图，已知反比例函数y＝kx(x＞0，k是常数)的图象经过点A(1，4)，点B(m，n)，其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C.(1)写出反比例函数解析式；(2)求证：△ACB∽△NOM；(3)若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
解：(1)∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(－1)，B两点点横坐标为1即C(1)，∵△AOC的面积为1(－1)，将A(－1)代入y＝mx＝得m＝－2＝－2(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b＝kx＋b经过点A(－1)，C(1，0)∴解得k＝－1＝1直线AC的解析式为yx＋1
解：(1)将A(1)代入一次函数解析式得：k＋1＝2即k＝1一次函数解析式为y＝x＋1；将A(1)代入反比例解析式得：m＝2反比例解析式为y＝
设一次函数与x轴交于D点令y＝0求出＝－1即OD＝1过A作AE垂直于x轴垂足为E则有AE＝2＝(3，0)，∴点B横坐标为3将x＝3代入一次函数得：y＝4将x＝3代入反比例解析式得：y＝(3，4)，即ON＝3＝4(3，)，即CN＝则S＝S－S－S梯形AECN＝×4×4－×2×－×(＋2)×＝
根据题意得1－2m＞0解得m＜
根据题意得1－2m＞0解得m＜
(2)①∵四边形ABOD为平行四边形＝＝而A点坐标为(03)，∴D点坐标为(2)，
∴1－＝＝6反比例函数解析式为y＝；
∵y＝过(1)点＝反比例函数的解析式为＝
∵B(m，n)，A(1，4)在y＝的图象上＝4－n＝－1n，OM＝1∴＝＝－1而B(m，n)在y＝上＝m＝m－1而＝＝.又∵∠ACB＝∠NOM＝90
∵△ACB与△NOM的相似比为2－1＝2＝点坐标为(3)．设AB所在直线的解析式为y＝kx＋b∴k＝－＝所求解析式为y＝－x＋
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