第六章图形的性质(二)
第24讲圆的基本性质～2014年安徽中考命题分析 2015年安徽中考命题预测 对于圆有关知识的考查安徽近几年中考主要以基础知识的考查为主内容一般是圆的概念和性质垂径定理预计2015年安徽中考对本节的内容的考查有：圆的概念及性质、弧、弦、圆心角的关系直径所对的圆周角是直角垂径定理切线的判定和性质主要以选择题填空题的形式出现难度不大可能也会考查切线的判定和性质的解答题．
年份 考察内容 题型 题号 分值2014 圆的性质及垂径定理 解答题 19 102013 圆的性质 选择题 10 42012 切线的性质及函数图象 选择题 9 4圆周角定理、圆内接四边形 填空题 13 5
1．主要概念(1)圆：平面上到__定点__的距离等于__定长__的所有点组成的图形叫做圆．__定点__叫圆心__定长__叫半径以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫__弧__连接圆上任意两点的线段叫__弦__经过圆心的弦叫直径直径是最长的__弦__．(3)圆心角：顶点在__圆心__角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在__圆上__角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在__同圆或等圆__中能够完全__重合__的弧．圆的有关性质(1)圆的对称性：圆是__轴对__图形其对称轴是__过圆心的任意一条直线__．圆是__中心对称__图形对称中心是__圆心__．旋转不变性即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合．(2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径__平分弦__并且__平分弦所对的两条弧__．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径__垂直于弦__并且__平分弦所对的两条弧__；弦的垂直平分线__经过圆心__并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧．(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧__相等____相等__．推论：在同圆或等圆中如果两个__圆心角__、__两条弧__、__两条弦__、__两条弦心距__中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等．(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__．圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧__相等__．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90的圆周角所对的弦是__直径__．(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离为圆的半径)：点P在圆上__d＝r__；点P在圆内__dr__．(6)过三点的圆：经过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边__垂直平分线__的交点这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．(7)圆的内接四边形：圆内接四边形的对角__互补__．相关辅助线
,第六章图形的性质(二))(这是边文，请据需要手工删加)
两条辅助线(1)有关弦的问题常作其弦心距构造直角三角形；
(2)有关直径的问题常作直径所对的圆周角．
1．(2014·毕节)如图已知⊙O13，弦AB长为24则点O到AB的距离是()
A．6B．5(2012·安徽)如图点A在⊙O上点在∠D的内部四边形OABC为平行四边形则∠OAD＋∠OCD＝____．,第2题图),第3题图)(2014·赤峰)如图是⊙O的直径是⊙O上两点若∠DAB＝65则∠BOC＝()
A．25°B．50°
C．130°D．155°
4．(2014·济南)如图的半径为1是⊙O的内接等边三角形点D在圆上四边形BCDE为矩形这个矩形的面积是()
A．2B.
C.D.
5．(2013·安徽)P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点在以下判断中不正确的是()
A．当弦PB最长时是等腰三角形当△APC是等腰三角形时当PO⊥AC时＝30当∠ACP＝30时是直角三角形
圆周角与圆心角的关系
【例1】(2014·山西)如图是△ABC的外接圆连接OA＝50则∠C的度数为()
A．30°B．40°【点评】当图中出现同弧或等弧时常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半通过相等
1．(2014·临沂)如图在中＝25则∠BOC的度数为()
A．25°B．50°
C．60°D．80°
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例2】(2014·龙东)直径为10的⊙O中弦AB＝则弦AB所对的圆周角是__或150°__．【点评】在很多没有给定图形的问题中常常不能根据题目的条件把图形确定下来因此会导致解的不唯一性这种题一题多解必须分类讨论．本题中弦所对的圆周角不是唯一的圆周角的顶点
2．(2014·六安模拟)如图半圆O的直径AB＝10弦＝平分∠BAC则AD的长为()
A．4cmB．3cm
C．5cmD．4cm
点与圆的位置关系【例3】矩形ABCD中＝8＝3点在边AB上且BP＝3AP如果圆P是以点P为圆心为半径的圆那么下列判断正确的是()
A．点B均在圆P外点B在圆P外点C在圆P内点B在圆P内点C在圆P外点B均在圆P内【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判定根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．
3．在数轴上点A所表示的实数为3点B所表示的实数为a的半径为2.下列说法中不正确的是()
A．当a＜5时点B在⊙A内当1＜a＜5时点B在⊙A内当a＜1时点B在⊙A外当a＞5时点B在⊙A外垂径定理及应用
【例4】(2014·亳州模拟)在直径为的圆柱形油槽内装入一些油以后截面如图．若油面的宽AB＝160则油的最大深度为()
A．40cmB．60cm
C．80cmD．100cm
【点评】
4．(2014·哈尔滨)如图是△ABC的外接圆弦BD交AC于点E连接CD且AE＝DE＝CE.(1)求∠ACB的度数；(2)过点O作OF⊥AC于点F延长FO交BE于点G＝3＝2求AB的长．
解：(1)证明：在△AEB和△DEC中∴△AEB≌△DEC(ASA)，∴EB＝EC又∵BC＝CE＝CE＝BC为等边三角形＝60
(2)解：∵OF⊥AC＝CF为等边三角形＝60＝＝2＝1又∵＝＝3CF＝＝4＝8＝5＝5作BM⊥AC于点M＝60＝＝＝＝＝AC－＝＝＝7
第25讲直线与圆的位
1．直线和圆的位置关系(1)设r是⊙O的半径是圆心O到直线l的距离．
直线和圆的位置 图形 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 公共点名称 直线名称相交 2 d＜r 交点 割线相切 1 d＝r 切点 切线相离 0 d＞r 无 无(2)切线的性质：切线的性质定理：圆的切线__垂直于__经过切点的半径．推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过__圆心__．推2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过__切点__．(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且__垂直于__这条半径的直线是圆的切线．(4)三角形的内切圆：和三角形三边都__相切____三角形三条角平分线的交点__内切圆的圆心叫做三角形的__内心__内切圆的半径是内心到三边的距离且在三角形内部．相关辅助线
两种方法：欲证直线为圆的切线时：(1)若知道直线和圆有公共点时常连接公共点和圆心证明直线垂直半径；(2)不知道直线和圆有公共点时常过圆心向直线作垂线证明垂线段的长等于圆的半径．
1．(2014·临夏)已知⊙O的半径是6点O到同一平面内直线l的距离为5则直线l与⊙O的位置关系是()
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
2．(2014·哈尔滨)如图是⊙O的直径是⊙O的切线连接OC交⊙O于点D连接BD＝40则∠ABD的度数是()
A．30°B．25°
C．20°D．15°
3．(2014·无锡)如图是⊙O的直径CD是⊙O的切线切点为D与AB的延长线交于点C＝30给出下面3个结论：＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC其中正确结论的个数是()
A．3个B．2个C．1个D．个
4．(2014·绍兴)把球放在长方体纸盒内球的一部分露出盒外其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC分别相切和相交(E是交点)已知EF＝CD＝8则⊙O的半径为____．
判断直线与圆的位置关系【例1】如图的4cm，OA⊥OB，OC⊥AB于C＝4OA＝2试说明AB是⊙O的切线．
解：∵OA⊥OB＝＝＝10.又∵S＝AB·OC＝OA·OBOC＝＝＝4.又∵⊙O的半径为4是⊙O的切线【点评】在判定直线与圆相切时若直线与圆的公共点已知证题方法是“连半径证垂直”；若直线与圆的公共点未知证题方法是“作垂线证半径”．这两种情况可概括为一句话：“有交点连半径无交点作垂线”．
1．(1O为圆心的两个同心圆中大圆的弦AB切小圆于点C.若∠AOB＝120则大圆半径R与小圆半径r之间满足()
A．R＝r．＝3r＝2r．＝2r
(2)(2014·阜阳模拟)如图两个同心圆大圆半径为小圆的半径为AB与小圆相交则弦AB的取值范围是__＜AB≤10__．圆的切线的性质【例2】(2014·黄冈)如图在中＝90以AC为直径的⊙O与AB边交于点D过点D的切线交BC于点E.(1)求证：EB＝EC；(2)若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形试判断△ABC的形状并说明理由．
解：(1)证明：连接CD是直径＝90是⊙O的切线是⊙O的切线
∴DE＝(切线长定理)．∴＝又∵∠DCE＋∠EBD＝∠CDE＋∠EDB＝90＝∠EDB＝BE又∵DE＝CE＝EC(2)解：当以点ODEB＝90°又∵DE＝BE是等腰直角三角形则∠B＝45是等腰直角三角形【点评】本题考查了切线的性质以及切线长定理、圆周角定理解题的关键是连接CD构造直角三角形．
2．(2014·凉山州)如图是⊙O外一点过点P引圆的切线PC(C为切点)和割线PAB分别交O于A连接AC(1)求证：∠PCA＝∠PBC；(2)利用(1)的结论已知PA＝3＝5求PC的长．
解：(1)证明：连接OC＝OA＝∠CAO是⊙O的切线为切点＝90＋∠ACO＝90在△AOC中＋∠CAO＋∠AOC＝180＝2∠PBC＋2∠PBC＝180＋∠PBC＝90
∵∠PCA＋＝＝∠PBC(2)解：∵∠PCA＝∠PBC＝∠BPC＝＝PA·PB＝3＝5＝＝切线的判定与性质的综合运用【例3】(2014·德州)如图的直径AB为10弦BC为6分别是∠ACB的平分线与⊙O的交点为AB延长线上一点且PC＝PE.(1)求AC的长；(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系并说明理由．
解：(1)如图连接BD是直径＝∠ADB＝90在中AC＝＝＝8CD平分∠ACB＝BD是等腰直角三角形
∴AD＝AB＝×＝cm(2)直线PC与⊙O相切理由：连接OC＝＝∠OCA＝PE＝∠PEC＝∠CAE＋∠ACE平分∠ACB＝∠ECB＝∠CAE＝∠ACO＝90＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝∠ACB＝90直线PC与⊙O相切【点评】本题主要考查了切线的判定和性质勾股定理和圆周角解题的关键是运用圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角．
3．(2014·池州模拟)在同一平面直角5个点：(1，1)，B(－3－1)(－3)，D(－2－2)(0，－3)．(1)画出△ABC的外接圆⊙P并指出点D与⊙P的位置关系；(2)若直线l经过点D(－2－2)(0，－3)判断直线l与⊙P的位置关系．
解：(1)如图所示：△ABC外接圆的圆心为(－1)，点D在⊙P上(2)连接PE直线l过点D(－2－2)(0，－3)＝1＋3＝10＝5＝5.∴PE＝PD＋DEPDE是直角三角形且∠PDE＝90°.∴PD⊥DE.
点D在⊙P上直线l与⊙P相切
第26讲圆的弧长和图形面积的计算～2014年安徽中考命题分析 2015年安徽中考命题预测 对于圆周角、弧、弦之间的关系圆周角定理及推论弧长公式及扇形面积多以解答题出现难度中等预计2015年安徽中考对本节内容的考查有关弧长的计算及扇形面积的计算．需要注意的是本节为考纲中要求提高的部分. 年份 考察内容 题型 题号 分值2014 － － －2013 － － －2012 － － －
1．弧长及扇形的面积(1)半径为r的圆心角所对的弧长公式：＝；(2)半径为r的圆心角所对的扇形面积__S＝＝lr__．圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形若设圆锥的母线长为l底面半径为r那么这个扇形的半径为l扇形的弧长为2(1)圆锥侧面积公式：圆锥侧＝____；(2)圆锥全面积公式：圆锥全＝__＋__．求阴影部分面积的几种常见方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法．
三个等量关系(1)展开图扇形的弧长＝圆锥底面圆的2)展开图扇形的面积＝圆锥的侧面积；(3)展开图扇形的半径＝圆锥的母线．
1．(2014·宜昌)如图在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长为1若将△AOC绕点O顺时针旋转90得到△BOD则的长为()
A．πB．6πC．3πD．1.5π
2．(2014·牡丹江)如图是⊙O的直径弦CD⊥AB＝30＝，则S阴影＝()
A．πB．2π
C.D.π
3．(2014·绍兴)如图圆锥的侧面展开图是半径为3圆心角为90的扇形则该圆锥的底面周长为()
A.πB.πC.D.
4．(2014·成都)在圆心角为120的扇形AOB中半径OA＝6则扇形OAB的面积是()
A．6πcm2B．8πcm2
C．12πcm2D．24πcm2
5．(2014·河北)如图边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)则＝()
A．3B．4
C．5D．6
弧长公式的应用【例1】(2014·马鞍山模拟)如图将边长为1的等边三角形ABC沿直线l向右翻动(不滑动)点B从开始到结束所经过路径的长)
A.πcmB．(2＋π)cmπcmD．3cm【点评】本题考查了弧长的计算解答本题的关键是仔细观察图形从开始到结束经过两次翻动求出点B两次划过的弧长即可得出所经过路径的长度．注意熟练掌握弧长的计算公式．
1．(2014·龙东)一圆锥体形状的水晶饰品母线长是底面圆的直径是5cm点A为圆锥底面圆周上一点从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点则彩带最少用多少厘米(接口处重合部分忽略不计)()
A．10πcmB．10cmC．5πcmD．5cm扇形面积公式的运用【例2】如图是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果＝＝15当BD绕点O旋转90时求刮雨刷BD扫过的面积．
解：在△AOC和△BOD中＝OD＝BD＝OB阴影部分的面积为扇环的面积即S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD＝(OA2－OC)＝(652－15)＝1000(cm2)
【点评】阴影部分一般都是不规则的图形不能直接用公式求解通常有两条思路一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补．此题可利用图形的割补把△OAC放到△OBD的位置．扇形面积公式和弧长公式容易混淆．S扇形＝＝lR.
2．(2014·池州模拟)如图为半圆的直径且AB＝4半圆绕点B顺时针旋转45点A旋转到A′的位置则图中阴影部分的面积为()
A．πB．2πC.D．4π圆锥的侧面展开图【例3】
(1)(2014·黔南州)如图圆锥的侧面积为15底面圆半径为3则该圆锥的高为()
A．3B．4
C．5D．15
(2)(2014·牡丹江)如图如果从半径为3cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形将留__2__cm.
【点评】就圆锥而言底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念要注意其区别和联系其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形．
3．现有30圆周的一个扇形彩纸片该扇形的半径为小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目她打算剪去部分扇形纸片后利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)求剪去的扇形纸片的圆心角度数．
解：∵圆锥的母线长为40底面半径为10圆锥展开图的圆心角n＝＝90剪去扇形纸片的圆心角度数＝36030%－＝－90＝18求阴影部分的面积【例4】(2014·黔西南州)如图点B都在⊙O上过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A连接BC＝∠A＝30＝2.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求由线段AC与弧CD所围成的阴影部分的面积．(结果保留)
解：(1)证明：连接OC交BD于E＝30＝∠COD＝＝30＝90即OC⊥AC是⊙O的切线
(2)解：∵AC∥BD＝90＝＝90＝BD＝＝＝2在中＝C＝2阴影＝×－＝2－【点评】本题考查了平行线的性质圆周角定理
4．(2014·淮南模拟)如图在菱形中＝1＝60把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30得到菱形AB′C′D′其中点C的运动路径为则图中阴影部分的面积为__＋－__．
第27讲视图与投影～2014年安徽中考命题分析 2015年安徽中考命题预测 预测2015年安徽题型以选择题、填空题为主试题强调基础突出考查空间想象能力．
年份 考察内容 题型 题号 分值2014 判断半圆柱的俯视图 选择题 3 42013 判断圆台的主视图 选择题 3 42012 根据几何体判断其主视图 选择题 2 4
1．三视图(1)主视图：从__正面__看到的图；(2)左视图：从__左面__看到的图；(3)俯视图：从__上面看到的图．画“三视图”的原则
(1)位置：__主视图__；__左视图__；__俯视图__．(2)大小：__长对正高平齐宽相等__．(3)虚实：在画图时看得见部分的轮廓通常画成实线看不见部分的轮廓线通常画成虚线．几种常见几何体的三视图
几何体 主视图 左视图 俯视图圆柱 长方形 长方形 圆圆锥 三角形 三角形 圆和圆心球 圆 圆 圆4.三种视图的作用(1)主视图可以分清长和高主要提供正面的形状；(2)左视图可以分清物体的高度和宽度；(3)俯视图可以分清物体的长和宽但看不出物体的高．投影物体在光线的照射下会在地面或墙壁上留下它的影子这就是投影现象．(1)平行投影：太阳光线可以看成平行光线像这样的光线所形成的投影称为平行投影．在同一时刻物体高度与影子长度成比例．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平(2)中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线像这样的光线所形成的投影称为中心投影．判断简单物体的三视图能根据三视图描述基本几何体或实物原型．直棱柱﹑圆锥的侧面展开图分别是矩形和扇形．能根据展开图判断和制作立体模型．
两个技巧(1)主视图与俯视图的列数相同其每列方块数是俯视图中该2)左视图的列数与俯视图的行数相同其每列的方块数是俯视图中该行中的最大数字．
1．(2014·安徽)如图图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的则该几何体的俯视图是()
2．(2013·安徽)图中所示的几何体为圆台其主(正)视图正确的是()
3．(2012·安徽)下面的几何体中主(正)视图为三角形的是()
4．(2013·南宁)小乐用)
A．三角形．线段．矩形．正方形(2014·河北)如图①是边长为1的六个小正方形组成的图形它可以围成图②的正方体则图①中小正方形顶点A在围成的正方体上的距离是()
A．D.
由几何体判断其三视图【例1】(2014·宣城模拟)用四个相同的小立方体搭几何体要求每个几何体的主视图、左)
【点评】掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求通过仔细观察、比较、分析主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看所得到的图形．
1．(2014·河南)将两个长方体如图放置则所构成的几何体的左)
2．(2014·六安模拟)如图①放置的一个机器零件若其主(正)视图如图②则其俯视图是()
由三视图确定原几何体的构成【例2】(2014·毕节)如图是某一几何体的三视图则该几何体是()
A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥【点评】本题考查了三视图的识别．由视图联想几何体形状本题容易把主视图、俯视图、左视图对应的观察方向弄错．
2．下图是几何体的俯视图所标数字为该位置立方体的个数请补全该几何体的
解：根据三视图进行计算【例3】(2014·宁夏)如图是一个几何体的三视图则这个几何体的侧面积是()
A.πcm2B．2πcm2
C．6πcm2D．3πcm2
【点评】将立体图形与平面图形对照来看将所给的数据标注到立体图形上本题考查空间想象能力．
3．(1)(2014·济南)如图一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭)
A．主视图的面积为5B．左视图的面积为3俯视图的面积为3D．三种视图的面积都是4(2)(2014·合肥模拟)如图是一个几何体的三视图则这个几何体的侧面积是()
A．平行投影、中心投影的综合应用【例4】如图王华晚上由路灯下的B处走到C处时测得影子CD的长为1米继续往前走3米到达E处时测得影子EF的长为2米已知王华的身高是1.5米．(1)在图中确定路灯A的准确位置；
(2)求路灯A到直线CD的距离．解：(1)延DG，FH，则交点A就是所要求的路灯(2)过A作AB⊥CD垂足为B.由题意得GC⊥BC
∴＝设BC＝x则＝同理＝＝＝3经检验x＝3是所列方程的根．∴＝＝6【点评】连接物体顶点与其影子顶点如果得到的是平行线即为平行投影；如果得到相交直线即为中心投影这是判断平行投影与中心投影的方法也是确定中心投影光源位置的基本方法．
4．如图是两根标杆及它们在灯光下的影子请在图中画出光源的位置(用点P表示)并在图中画出人在此光源下的影子(用线段EF表示)．
解：如图点P是影子的光源；EF是人在光源下的影子
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