(2)∵经过三次折叠，∠BAC是△ABC的好角，∴第三次折叠时，∠A2B2C＝∠C，如图所示．∵∠ABB1＝∠AA1B1，∠AA1B1＝∠A
1B1C＋∠C，又∵∠A1B1C＝∠A1A2B2，∠A1A2B2＝∠A2B2C＋∠C，∴∠ABB1＝∠A1B1C＋∠C＝∠A2B2
C＋∠C＋∠C＝3∠C.由上面的探索发现，若∠BAC是△ABC的好角，折叠一次重合，有∠B＝∠C；折叠两次重合，有∠B＝2∠C；折
叠三次重合，有∠B＝3∠C；由此可猜想若经过n次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B＝n∠C；应用提升：(3)小丽找到一个三
角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成：如果一个三角形的最小角是4
°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．(3)∵该三角形的三个角均是此三角形的好角，最小角是4
°，根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°(其中m，n都是正整数)，∴4m＋4mn＋4＝180，m(n＋1)＝44.∵m
，n都是正整数，∴m与n＋1是44的整数因子，因此有：m＝1，n＋1＝44；m＝2，n＋1＝22；m＝4，n＋1＝11；m＝11，
n＋1＝4；m＝22，n＋1＝2，∴m＝1，n＝43；m＝2，n＝21；m＝4，n＝10；m＝11，n＝3；m＝22，n＝1，∴
4m＝4，4mn＝172；4m＝8，4mn＝168；4m＝16，4mn＝160；4m＝44，4mn＝132；4m＝88，4mn＝8
8，∴该三角形的另外两个角的度数分别为：4°，172°；8°，168°；16°，160°；44°，132°；88°，88°.【点
评】在阅读理解后，需要总结解题思路和方法，应用所得的结论解答新的问题．3．(2014·盐城)【问题情境】张老师给爱好
学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，
过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F
.求证：PD＋PE＝CF.小军的证明思路是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积
可以证得：PD＋PE＝CF.小俊的证明思路是：如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD＋P
E＝CF.解：【问题情境】证明：(方法1)连接AP，如图②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥
AB，且S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，∴12AB·CF＝12AB·PD＋
12AC·PE.∵AB＝AC，∴CF＝PD＋PE.(方法2)过点P作PG⊥CF，
垂足为G，如图②.∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD＝∠FDG＝∠
FGP＝90°.∴四边形PDFG是矩形．∴DP＝FG，∠DPG＝90°.∴∠CGP
＝90°.∵PE⊥AC，∴∠CEP＝90°.∴∠PGC＝∠CEP.∵∠BDP＝
∠DPG＝90°.∴PG∥AB.∴∠GPC＝∠B.∵AB＝AC，∴∠B＝∠A
CB.∴∠GPC＝∠ECP.在△PGC和△CEP中，??í?ì∠PGC＝∠CEP∠
GPC＝∠ECPPC＝CP，∴△PGC≌△CEP.∴CG＝PE.∴CF＝CG＋FG＝
PE＋PD.【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE＝CF；请运用上述解答中所积累
的经验和方法完成下题：【变式探究】证明：(方法1)连接AP，如图③.∵PD⊥AB，PE⊥
AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ABP－S△ACP，∴12AB·CF＝12
AB·PD－12AC·PE.∵AB＝AC，∴CF＝PD－PE.(方法2)过点C作C
G⊥DP，垂足为G，如图③.∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，∴∠CFD＝
∠FDG＝∠DGC＝90°.∴四边形CFDG是矩形．∴CF＝GD，∠DGC＝90°
.∴∠CGP＝90°.∵PE⊥AC，∴∠CEP＝90°.∴∠CGP＝∠CEP.∵
CG⊥DP，AB⊥PD，∴∠CGP＝∠BDP＝90°.∴CG∥AB.∴∠GCP＝∠
B.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠ACB＝∠PCE，∴∠GCP＝∠ECP.在
△CGP和△CEP中，??í?ì∠CGP＝∠CEP＝90°∠GCP＝∠ECPCP
＝CP，∴△CGP≌△CEP.∴PG＝PE.∴CF＝DG＝DP－PG＝DP－PE.
【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C?处，点
P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H，若AD
＝8，CF＝3，求PG＋PH的值．【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，
如图④，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°.∵AD＝8
，CF＝3，∴BF＝BC－CF＝AD－CF＝5.由折叠可得：DF＝BF，∠BE
F＝∠DEF.∴DF＝5.∵∠C＝90°，∴DC＝DF2－CF2＝52－32
＝4.∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠AD
C.∴四边形EQCD是矩形．∴EQ＝DC＝4.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB.∵∠
BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB.∴BE＝BF.由问题情境中的结论可得：PG＋PH＝
EQ.∴PG＋PH＝4.∴PG＋PH的值为4.安徽省数学专题五阅读理解型问题要点梳理阅
读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，实现自主探索主动发展的基础．阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，
构思新颖别致．这类问题，主要考查解题者的心理素质，自学能力和阅读理解能力，考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽
象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力．这就要求同学们在平时的学习活动中，逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独
立获取新知识的良好习惯．要点梳理阅读理解题型分类：题型一：考查掌握新知识能力的阅读理解题命题者给定一个陌生的定义或公式或
方法，让你去解决新问题，这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力，能考查我们接收、加工和利用信息的能力．要点梳理题型二：考查
解题思维过程的阅读理解题言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高我们数学水平的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学
思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为检测我们理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的．
要点梳理题型三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题理解知识不是拘泥于形式地死记硬背，而是要把握知识的内涵或实质，理解知识间
的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识．这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力．要点梳理题型四：
考查归纳、探索规律能力的阅读理解题对材料信息的加工提炼和运用，对规律的归纳和发现能反映出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的
意识和能力．这类试题意在检测我们的“数学化”能力以及驾驭数学的创新意识和才能．方法技巧解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析
→理解→解决问题”，具体做法：①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思
想和方法，提取有价值的数学信息；③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答．1．(2
014·新疆)规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]＝3，[3]＝1，
按此规定，[13－1]＝____．22．(2014·临沂)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些
元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构
成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合
A与集合B的和，记为A＋B.若A＝{－2，0，1，5，7}，B＝{－3，0，1，3，5}，则A＋B＝
．{－3，－2，0，1，3，
5，7}3．(2014·济南)现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到
一个新序列S1，例如序列S0：(4，2，3，4，2)，通过变换可生成新序列S1：(2，2，1，2，2)，若S0可以为任意序列，则下
面的序列可作为S1的是()A．(1，2，1，2，2)B．(2，2，2，3，3)C．(1，1，2，2，3
)D．(1，2，1，1，2)D4．(2014·永州)在求1＋
6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69的值时，小林发现：从第
二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S＝1＋6＋62＋63＋64＋6
5＋66＋67＋68＋69①然后在①式的两边都乘以6，得：6S＝6＋62
＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69＋610②②－①，得6
S－S＝610－1，即5S＝610－1，所以S＝610－15，得出答案后，
爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出1＋a＋a2＋
a3＋a4＋…＋a2014的值？你的答案是()A.a2014－1a－1
B.a2015－1a－1C.a2014－1aD．a2014－
1B5．(2014·河北)定义新运算：a⊕b＝???í??ìab（b＞0）
－ab（b＜0）例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45.则函数y＝2⊕
x(x≠0)的图象大致是()D阅读新知识，解决新问题【例1】(2012·绍兴)联想三
角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的准外心．举例：如图
①，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．应用：如图②，CD为等边三角形ABC的高
，准外心P在高CD上，且PD＝12AB，求∠APB的度数．探究：已知△ABC为直角
三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．解：应用：①
若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD
，∠PCB＝30°.∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PD＝33DB＝36AB
.与已知PD＝12AB矛盾，∴PB≠PC.②若PA＝PC，连接PA，同理可得PA
≠PC.③若PA＝PB，由PD＝12AB，得PD＝AD＝BD，∴∠APD＝∠
BPD＝45°.∴∠APB＝90°.探究：∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝BC
2－AB2＝52－32＝4.①若PB＝PC，设PA＝x，则x2＋32＝
(4－x)2，∴x＝78，即PA＝78.②若PA＝PC，则PA＝2.③
若PA＝PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．∴PA＝2或78.【点评】本题
考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，读懂题意，在仔细阅读之后弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，
要注意分三种情况进行讨论．1．(2014·兰州)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为
勾股四边形．(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△
DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形AB
CD是勾股四边形．解：(1)正方形、矩形、直角梯形均可证明：(2)①∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠CBE＝60°，∴
△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE＝BC，AC＝ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，∵
∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2.【例2】(2014·
黔南州)先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n
)＝(m＋n)(x＋y)；也可以mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋my)＋(nx＋ny)＝m(x＋y)＋n(x＋y)＝(m＋n)(x
＋y)．以上分解因式的方法称为分组分解法，请用分组分解法分解因式：a3－b3＋a2b－ab2.解：a3－b3＋a2b－ab2＝
a3＋a2b－(b3＋ab2)＝a2(a＋b)－b2(a＋b)＝(a＋b)(a2－b2)＝(a＋b)2(a－b)．阅读解题过程
，模仿解题策略【点评】本题考查了多项式的分解因式，阅读材料之后弄清题中的分组分解法是解本题的关键．2．探究问题：(
1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠
EAF＝45°，连接EF，求证：DE＋BF＝EF.感悟解题方法，并完成下列填空：将△
ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90
°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，∴点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－
∠EAF＝90°－45°＝45°.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°，即∠GAF＝∠．又∵AG＝AE
，AF＝AF，∴△GAF≌，∴____＝EF，故DE＋BF＝EF.E
AF△EAFGF(2)方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F
分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝12∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数
量关系，并证明你的猜想．(2)DE＋BF＝EF.理由如下：假设∠BAD的度数为m°，将△
ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，
BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°
＋90°＝180°，∴点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝12m°，∴∠
2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝m°－12m°＝12m°.∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠3＝12m°，即∠GAF＝∠EAF.又∵AG＝AE，AF＝AF
，∴△GAF≌△EAF，∴GF＝EF.又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴DE
＋BF＝EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F
分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝12∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时
，可使得DE＋BF＝EF.请直接写出你的猜想．(不必说明理由)当∠B与∠D互补时，可使得DE＋B
F＝EF.阅读探索规律，推出一般结论【例3】(2012·淮安)阅读理解：如图①，△ABC中
，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2
折叠，剪掉重叠部分……将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn＋1折叠，点Bn与
点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是图①△ABC的好角的两种情形．情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图③，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现：(1)△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？__是__．(填“是”或“不是”)解：(1)由折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∵∠AA1B1＝∠A1B1C＋∠C，∠AA1B1＝∠B＝2∠C，∴∠A1B1C＝∠C，即第二次折叠后，点B1与点C重合，故∠BAC是△ABC的好角；(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的等量关系为．∠B＝n∠C |
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