2014六水市一中青年教师大赛
中数学?答案
一、选?：(共12个小,ˇ小5分,?分60分)
1.?合P=fxjx2>2xg;Q=fxjsin(x)cos(x)=0;x>0g，则P\Q=
(A)
n3
2;2;
5
2
o
(B)
n
2;52;3
o
(C)
n5
2;3;
7
2
o
(D)
n
3;72;4
o
(看看答案)
2.P(x0;y0)是圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2>4F)外一?，˙P作圆切?PT(T是切
?)，则jPTj2=
(A)x20+y20+Dx0+Ey0+F(B)x20+y20+Dx0+Ey0
(C)x20+y20Dx0Ey0+F(D)x20+y20Dx0Ey0
(看看答案)
3.i是虚数单位，x;y;z是数，且x2i=z1+yi，则z值不等
(A)6(B)3(C)4(D)5
(看看答案)
4.椭圆：x
2
a2+
y2
b2=1(a>b>0)焦?为F，上下顶?分别为A;B，顶?恰好是4ABF?，
则椭圆??等
(A)12(B)
p2
2(C)
p5+1
2(D)
p51
2
(看看答案)
5.??A=f(x;y)j01x2g，在A中机一个?(a;b)，
则(a;b)2B等
(A)83(B)183(C)43(D)143
(看看答案)
6.向ˇa，b??：ja+bj=p10;jabj=p6，则a2b2最大值为
(A)2p15(B)8(C)9(D)10
(看看答案)
7.4ABC中，A;B;C??分别为a;b;c，4A;C;4B成等数列，且a;b;c成等数列，则sinA:
sinB=
(A)1:3(B)3:5(C)5:7(D)1:2
(看看答案)
8.执行面程
框，入
x=30;y=0,
则?y=
(A)8
(B)9
(C)10
(D)11
开?
入x;y
x是偶数是
x=x2
y=y+1
否
x=3x1
x=1
是
否
?y
束(看看答案)
2014六水市一中青年教师大赛数学卷?答案第1页共13页
9.义在R上数f(x)是偶数，且f(x)是最小正周期为4周期数，￡么
f0(1)+f0(2)+f0(3)+f0(4)=
(A)0(B)1(C)2(D)3
(看看答案)
10.?：x2y
2
3=1焦?为F，P是?支上currency1?，?A坐标为(6;6)，则jPAj+jPFj
最小值为
(A)4(B)6(C)8(D)10
(看看答案)
11.，网格?上正?形
小格?长为1，中
?画?是—何体
三?，则何体
外￥球半为
(A)2(B)3
(C)4(D)5
(看看答案)
12.义在R上数f(x)??：f(x+)=f(x)+sinx，当x2(0;]，f(x)=cosx，则f(4712)=
(A)12(B)
p2
2(C)
1
2(D)
p2
2
(看看答案)
、填空：(共4个小,ˇ小5分,?分20分)
13.将1;2;3;4;5;6;7成一列，求偶数2,4,6按?小到大顺列，则所有?数
为（用数字填答案）.(看看答案)
14.f(x)=ln(log2x2+x)+
?
log28xx义为.(看看答案)
15.在三?ABC{A0B0C0中，三?锥A0{ABC三?锥B{A0B0C0体分别为1,4，则此?体
为.(看看答案)
16.?l：ax+by=2与圆C：x2+y2=2?A;B两?，O是?，且#OA#OB=23，则3a+4b
值范是.(看看答案)
三、a答：(共6个小,?分70分)
17.(本小12分)
数列fang??a1=cos;an+1=2a2n1．
（Ⅰ）求a2;a3，并猜fang通项公式（需`明）；
（Ⅱ）bn=anbn1;b1=a1;=21，求b6:
(看看答案)
2014六水市一中青年教师大赛数学卷?答案第2页共13页
18.(本小12分)
，在三?锥P{ABC中，
?PA?平面ABC;AB?AC;PA=1;
AB=AC=p2:
（Ⅰ）求面P{BC{A大小;
（Ⅱ）Q是PB上?，平
面QAC?平面PBC，求PQQB:
C
P
A
B
Q
(看看答案)
19.(本小12分)
一次登、夺演习中，￠2000兵乘舰登，在登海布置鱼?登，ˇ艘
舰在登˙程中?鱼?为p(0
?˙鱼??就成登；登兵少需1500”，才?败，成夺。￠选用
两??案—载兵：
?案甲：使用4艘舰.?案乙：使用5艘舰，ˇ艘乘员400”.
（Ⅰ）登”数”成败，￠选????案？
（Ⅱ）夺”成败，￠选????案？
(看看答案)
20.(本小?分12分)
?l:y=kx+m与物?C:y=ax2+bx+c?A(x1;y1);B(x2;y2)两?.
（Ⅰ）平?l，使之与物?C?切，切?横坐标为x0，找?x0;x1;x2关?;
（Ⅱ）b=0;m6=0;\AOB?x轴平分（O是?），求c:m:
(看看答案)
21.(本小?分12分)
数f(x)=x1x;g(x)=2alnx.
（Ⅰ）存在唯一x0，使?y=f(x)在(x0;f(x0))处切?y=g(x)在(x0;g(x0))处切?
?合，求a；
（Ⅱ）f(x)=g(x)有且ˉ有一个a，求a值范.
(看看答案)
2014六水市一中青年教师大赛数学卷?答案第3页共13页
考生在第22、23、24中?选一作答，多做，则按所做第一?分。
22.(本小?分10分)选41：何`明选?
，P是O外一?，PT是切?，T为切
?，割?PAB与O??A;B，C是AB
中?，AB与TC??D.
（Ⅰ）求`\PTD=\PDT；
（Ⅱ）PD=DB;DCDT=2，求PT:
O
C
PB
T
AD
(看看答案)
23.(本小?分10分)选44：坐标?与′数?程
在坐标?xOy中，坐标?为?，x轴正半轴为轴??坐标?，?C′数?程
为：
8
><
>:
x=cost1+sint
y=cost1sint
（t是′数）
（Ⅰ）??C坐标?程；
（Ⅱ）?A;B在?C上，且\AOB=45，求1jOAj4+1jOBj4:
(看看答案)
24.(本小?分10分)选45：不等式选?
（Ⅰ）f(x)=jx1j+jx2j+jx3j+jx4j最小，求x?合；
（Ⅱ）求g(x)=41+sin2x+1cos2x最小值.
(看看答案)
2014六水市一中青年教师大赛数学卷?答案第4页共13页
2014六水市一中青年教师大赛
中数学
′考答案??分标?
一、选?答表：(共12个小,ˇ小5分,?分60分)
123456789101112
答案CABDBABCACBD
第1.
【a一】（筛选）显然2=2A;32A;4=2A，故选C.
【a】x2A\B=)
8
><
>:
x2>2x
x>0
，画?y=2xy=x2ˇ：2
由sin(x)cos(x)=0=)sin(2x)=0=)x=k2;k2Z.
则x=52;3;72:
第2.
【a一】特（赋值）：圆C:x2+y22x3=0;P(3;1)，则jPTj2=1，ˇ?有（A)正
确.
【a】?程x2+y2+Dx+Ey+F=0()jMCj2R2=0，其中M(x;y)是?意?，
C
D2;E2
是圆?，R是半，R2=D
2+E24F
4，即jMCj
2R2=x2+y2+Dx+Ey+F
所jPTj2=jPCjR2=x20+y20+Dx0+Ey0+F.
第3.
【a一】（筛选）次?各选项，z=3，x2i=31+yi
()
8>
<
>:
x+2y=3
xy2=0
=)x2x+4=0（a），故选（B)
【a】由x2i=z1+yi=)
8
><
>:
x+2y=z
xy2=0
=)z=x+4x=)jzj>2
?
x4x=4，?有（B）不成?.
第4.
【a】，M是4ABF?，则MA?BF=)
kAMkBF=1=)b2=ac=)c2+aca2=0=)
e2+e1=0(0
p51
2:
故选（D)
x
y
O
M
A
B
F
2014六水市一中青年教师大赛数学卷?答案第5页共13页
第5.
【a】??A面为S=2;A\B面为S0=S2
Z1
0
(1x2)dx=S2(x13x3)
1
0
=243
则p=S
0
S=1
8
3:故选（B)
第6.
【a】a+b;ab夹为，则
a2b2=(a+b)(ab)=ja+bjjabjcos6ja+bjjabj=p10p6=2p15:
故选（A）.
第7.
【a】4A;C;4B成等数列=)2(A+B)=C
A+B+C=
9
>=
>;=)C=
2
3
a;b;c成等数列，a=bd;c=b+d由余弦理：
(b+d)2=(bd)2+b2+(bd)b=)b=5d2，则a=bd=3d2
sinA:sinB=a:b=3:5:故选（B).
第8.
【a】程是将x值逐步为1，y录赋值次数，赋值˙程是：
30!15!44!22!11!32!6!8!4!2!1，显然赋值次数为10.
故选（C).
第9.
【a】由复合数求则?f(x)奇偶性：
f(x)0=f(x)0
=)f0(x)(x)0=f0(x)
=)f0(x)=f0(x)，即f0(x)是奇数，
f(x)是最小正周期为4周期数
=)f(x+4)=f(x)
=)f(x+4)0=f0(x)
=)f0(x+4)(x+4)0=f0(x)
=)f0(x+4)=f0(x)，即f0(x)也是周期数，4是周期.
=)f0(4)=f0(0)=0;f0(3)+f0(1)=f0(3)f0(1)=0
f0(2)=f0(2)且f0(2)=f0(2)=)f0(2)=0
=)f0(1)+f0(2)+f0(3)+f0(4)=0:
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第10.
【a】，由?义jPF0jjPFj=
2=)jPFj=jPF0j2
=)jPFj+jPAj=jPF0j+jPAj2>jAF0j2=8
故选（C）.x
yA
OF0
P
F
第11.
【a】由三?何体是面为三形，顶?在面射影为面?中??锥，
所示：
AC=BC=PO1=4;AC?BC，则O1A=2p2，
外￥球半为x，在三形AOO1中，
：x2=(2p2)2+(4x)2，a：x=3
所外￥球半为3.故选（B）O
O1
P
AB
C
第12.
【a】f(x+)=f(x)+sinx=)f(x)=f(x)+sin(x)=f(x)sinx
(1)
0
由f(x)=f(x)sinx
=)f(x)=(cosx+sinx)
(2)2
由f(x)=f(x)sinx
=)f(x)=cosx
(3)3
2
由f(x)=f(x)sinx
=)f(x)=(cosx+sinx)
为3<4712<4
所f(4712)=(cos4712+sin4712)=cos12+sin12=p2sin(124)
2014六水市一中青年教师大赛数学卷?答案第7页共13页
=p2sin6=
p2
2
故选（D).
、填空答处：(共4个小,ˇ小5分,?分20分)
13.840.14.(1;2].
15.7.16.5p3;5p3.
第13.
【a一】在?意列中，2;4;6按?小到大顺列为p=1A3
3
=16，所??条列
?数为A
7
7
6=840:
【a】先将1,3,5,7在7个位置中?选个列，?数为A47，将2,4,6在剩下3个位置按
?小到大顺列，其?有1?，由分步?数理，??条?数为：A471=840:
第14.
【a】f(x)2R()
8>
<
>:
log2x2+x>0
log28xx>0
()
8
><
>:
log2x1+x>0
3log2xx>0
()1x
画a为：1
故f(x)义为(1;2]:
第15.
【a】?为h，两面分别为S1;S2，三?锥A0{ABC;B{A0B0C0体分别为
V1=h3S1;V2=h3S2
?体V=h3(S1+pS1S2+S2)
=V1+pV1V2+V2=1+p14+4
=7:
第16.
【a】M为AB中?，则OM?AB，\AOB=，
由#OA#OB=23=)jOAjjOBjcos2=23=)cos2=13
=)2cos21=13=)2
jOMj
jOAj
2
1=13=)jOMj2=43
=)4a2+b2=43=)a2+b2=3
由西不等式：(3a+4b)26(32+42)(a2+b2)=523
=)5p363a+4b65p3:
x
y
A
O
B
M
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三、a答：
第17.
【a】（Ⅰ）a1=cos=)a2=2cos21=cos2=)a3=2cos221=cos4
?而猜：an=cos(2n1):
（Ⅱ）bn=anbn1=)bnb
n1
=an
=)b6=b6b
5
b5b
4
b4b
3
b3b
2
b2b
1
b1
=a6a5a4a3a2a1
=coscos2cos4cos8cos16cos32
=coscos2cos4cos8cos16cos32sin
=sin6426sin=
sin6421
64sin21
=
sin(3+21)
64sin21
=
sin21
64sin21
=164:
第18.
【a】（Ⅰ）?一：BC中?为D，
AB=AC=)AD?BC
PA?平面ABC=)PA?BC
9
>=
>;=)BC?平面PAD=)BC?PD
=)\PDA为面P{BC{A平面:
在等腰三形ABC中，易
AD=
p2
2AB=1，则4PAD是等腰三
形，\PDA=45:
所，面P{BC{A大小为45:
?：??所示坐标?，
则A(0;0;0);B(p2;0;0);C(0;p2;0);P(0;0;1)x
y
z
C
P
A
B
Q
D
H
m=#AP=(0;0;1)是平面ABC向ˇ
n=(x;y;z)是平面PBC向ˇ，则n?#BC;n?#PB
=)
8>
<
>:
(x;y;z)(p2;p2;0)=0
(x;y;z)(p2;0;1)=0
=)
8>
<
>:
y=x
z=p2x
x=1n=(1;1;p2):
=)cos=mnjmjjnj=
p2
2
=)=45:
所，面P{BC{A大小为45:
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（Ⅱ）?一：当AQ?PB，平面ACQ?平面PBC.
`明：AB?AC;PA?AC=)AC?平面PAB=)AC?PB
AQ?PB
9>
=
>;
=)PB?平面ACQ
PB平面PBC
9
>=
>;=)平面ACQ?平面PBC
此，PA2=PQPB=)1=PQp3=)PQ=
p3
3
=)PBQB=12:
?：当平面ACQ?平面PBC，在平面ACQ作??CQ?AH（H是?），则AH?平面PBC
=)AH?PB，由?一：AC?PB
=)PB?平面ACQ=)PB?AQ
?三：同（Ⅰ）??坐标?，#AQ=#AP+t#PB=(0;0;1)+t(p2;0;1)=(p2t;0;1t)m
是平面ACQ向ˇ，则m?#AC;m?#AQ
=)
8
><
>:
(x;y;z)(0;p2;0)=0
(x;y;z)(p2t;0;1t)=0
=)
8>
<
>:
y=0
p2tx+(1t)z=0)
z=p2t，m=(t1;0;p2t)
由（Ⅰ），n=(1;1;p2)是平面PBC向ˇ，则m?n
=)mn=0=)t=13
=)PQ:PB=1:3
=)PQQB=12:
第19.
【a】（Ⅰ）甲、乙?案?˙鱼??舰数ˇ分别为X0;Y0，
则X0B(4;q);Y0B(5;q)，其中p+q=1
=)EX0=4q;EY0=5q;DX0=4pq;DY0=5pq
甲、乙?案￠成登”数分别为X=500X0;Y=400Y0，则：
EX=500EX0=2000q;EY=400EY0=2000q=)EX=EY
DX=5002DX0=45002pq;DY=4002DY0=54002pq=)DX>DY
登”数”成败，￠选?乙?案.
（Ⅱ）甲?案￠成夺p1=P(X0>3)=C34q3p+q4=4q33q4
乙?案￠成夺p2=P(Y0>4)=C45q4p+q5=5q44q5
p1p2=4q58q4+4q3=4q3(q22q+1)=4q3(q1)2>0=)p1>p2
夺”成败，￠选?甲?案.
2014六水市一中青年教师大赛数学卷?答案第10页共13页
第20.
【a】（Ⅰ）
8>
><
>>:
y1=ax21+bx1+c①
y2=ax22+bx2+c②
①②并整理：y1y2=a(x1x2)(x1+x2)+b(x1x2)
=)k=y1y2x
1x2
=a(x1+x2)+b
切?为y0jx=x0=2ax0+b
=)a(x1+x2)+b=2ax0+b
=)x0=x1+x22:
（Ⅱ）联??程?：
8>
<
>:
y=kx+m
y=ax2+c
?y：ax2kx+cm=0
则x1+x2=ka;x1x2=cma:
x轴平分\AOB()kOA=kOB
()y1x
1
=y2x
2
()y1x2+y2x1=0
x
y
A
B
O
()(kx1+m)x2+(kx2+m)x1=0
()m(x1+x2)+2kx1x2=0
()mk+2k(cm)a=0
显然k6=0，则m+2(cm)=0=)m=2c
故c:m=1:2:
第21.
【a】（Ⅰ）两切??合，则其?等，￡么：
f0(x0)=g0(x0)=)1+1x2
0
=2ax
0
=)x202ax0+1=0
x0唯一，则=0=)a=1;x0=a
由g(x)义x0>0
所a=1:
（Ⅱ）F(x)=f(x)g(x)=x1x2alnx，其中F(1)=0
则F0(x)=1+1x22ax=x
22ax+1
x2(x>0)
h(x)=x22ax+1;=4(a21);h(x)
（1）60即16a61，h(x)>0恒成?，则F0(x)>0恒成?，此F(x)在义上是数，
F(x)有唯一?x=1:
（2）>0即a<1或a>1，h(x)?为：x1;x2;则x1+x2=2a;x1x2=1
1a<1;则x1<0;x2<0;h(x)>0在(0;+1)上恒成?，即F(x)是数，此F(x)有唯
一?x=1:
2a>1;则x1=apa21;x2=a+pa21;由x1x2=10
x2(0;x1);F(x)>0;x2(x1;x2);F(x)<0;x2(x2;+1);F(x)>0
2014六水市一中青年教师大赛数学卷?答案第11页共13页
x1;x2分别是F(x)大值?，小值?，且
F(x1)>F(1)>F(x2)，即F(x1)>0;F(x2)<0
由F(x)ˇ不?，存在c2(0;x1)，使F(c)<0:即F(x)在(c;x1)有?（所示），
与f(x)=g(x)有且ˉ有一个a.
上a值范为：(1;1];
x
y
x1
x21
O
、选答：
第22.
【a】（Ⅰ）C是AB中?，则OC?AB
=)\PDT=\BDC=90\TCO
OT=OC=)\TCO=\CTO
=)\PDT=90\CTO
PT是切?=)PT?OT
=)\PTD=90\CTO
=)\PTD=\PDT:
O
C
PB
T
AD
（第22）
（Ⅱ）由（Ⅰ）PD=PT，PT=x;PA=y，则PD=DB=x;AD=xy
由切割?理：PAPB=PT2=)2xy=x2=)y=x2
由??弦理：ADDB=DCDT=)(xy)x=2=)x
2
2=2=)x=2
所PT=2:
第23.
【a】（Ⅰ）由
8>
<
>:
x=cost1+sint
y=cost1sint
?′数t：xy=1
化为坐标?程为：cossin=1，即2=2sin2
（Ⅱ）A;B坐标分别为(1;);(2;+45)
由（Ⅰ）：21=2sin2;22=2sin(90+2)=2cos2
=)14
1
+14
2
=sin
22
4+
cos22
4=
1
4
=)1jOAj4+1jOBj4=14:
2014六水市一中青年教师大赛数学卷?答案第12页共13页
第24.
【a】（Ⅰ）jx1j+jx4j>j(x1)+(4x)j=3;当且ˉ当16x64，等:
jx2j+jx3j>j(x2)+(3x)j=1;当且ˉ当26x63，等:
=)jx1j+jx2j+jx3j+jx4j>4;当且ˉ当26x63，等:
所f(x)最小，x?合为：fx26x63g:
（Ⅱ）由西不等式
4
1+sin2x+
1
cos2x
(1+sin2x)+cos2x>(2+1)2
=)41+sin2x+1cos2x>92:
“=”成?条是：4cos
2x
1+sin2x=
1+sin2x
cos2x()1+sin
2x=2cos2x()cos2x=2
3
所g(x)最小值为92:
|{|{
2014六水市一中青年教师大赛数学卷?答案第13页共13页
|
|
