浙江省杭州外国语学校2013-2014学年高二第二学期期中考试数学文试题
【试卷综析】这套试卷主要考查基础，考查数学能力，注重双基，突出能力考查试卷的较多试题来自课本，源于平时的练习，以基本概念、基本原理和公式的应用为切入点，考查了学生对基础知识的掌握程度，同时还有提升，对理解和应用能力、运算能力、空间想象能力及对解决综合问题的能力进行了考查。重视数学基本方法运用，淡化特殊技巧试题回避过难、过繁的题目，解题思路不依靠特殊技巧，只要掌握基本方法，就能找到解题思路以促进数学教学质量的提高为原则，在训练命题中立意明确，迎合了高考命题的要求，把水平测试和能力测试融为一体，命题科学，区分度强，达到了考查目的，是一份较好的试题。
注意事项：
考试时间100分钟，本试卷满分100分；
请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答题，在答题卷相应处写上班级、姓名、考号，所有答案均
做在答卷的相应位置上，做在试题卷上无效.
一、选择题（共10小题，只有一个）
1、若复数，则()．
A．B．C． D．
【知识点】复数代数形式的乘除运算．
解析：解：因为，所以(2+i)(1+i)=
【思路点拨】把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算，然后在把实部和实部相加，虚部和虚部相加．2、在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是(）
A． B.CCC.C－C D.A－A
计数原理的应用．
解析：解：在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，共有C1003种结果，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有C943，至少有1件次品的不同取法有C1003-C943，故选C．
在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有C943，得到至少有1件次品的不同取法用所有减去不合题意的．【典型总结】本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时可以从正面来考虑，至少有一件次品包括有一件次品，有两件次品，有三件次品，分别写出结果再相加．3、8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()．
A．B．C．D．
【知识点】排列、组合及简单计数问题．
解析：解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，一共有A88A92种排法．故选A．
要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．【典型总结】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．4、用数学归纳法证明不等式成立，其的初始值至少应为()
A．7B．8C．9 D．10
【知识点】用数学归纳法证明不等式．
解析：解：左边的和为＝2?21?n，当n=8时，和为2?2?7＞故选B．
先求左边的和＝2?21?n，发现左边的规律，从而解决问题．5、观察下图：
1
234
34567
45678910
……
则第________行的各数之和等于20132()．A．2014B．2013C．1007 D．1008
数列的求和；等差数列．
解析：解：观察下列数的规律图：12343456745678910…知：第1行各数之和是第2行各数之和是第3行各数之和是第4行各数之和是第n行各数之和是由解得n=1007．故选C．
第1行各数之和是，第2行各数之和是，第3行各数之和是，第4行各数之和是，故第n行各数之和是由此能求出结果．【典型总结】本题考查数列的前n项和公式的求法和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．6、设均为正实数，则三个数()．
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
不等式比较大小．反证法思想基本不等式；进行简单的合情推理．
解析：解因为≥6假设三个数都小于2则＜6所以假设错误所以至少有一个不小于2故选．因为，利用基本不等式求出其范围≥6；假设三个数都小于2则＜6不可能，所以对立面成立，即至少有一个不小于27、数学教研组开设职业技能类选修课3门，知识类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类选修课中各至少选一门，则不同的选法共有()．
A．30种B．35种C．42种D．48种
【知识点】分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．
解析：解：可分以下2种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门，有种不同的选法；A类选修课选2门，B类选修课选1门，有种不同的选法．根据分类计数原理知不同的选法共有=18+12=30种．故选A．
两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．8、点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为()．
A.B.C． D．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．
解析：解：设P（x，y），则（x＞0）令=1，则（x-1）（2x+1）=0，x＞0，x=1∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x2-lnx相切的切点坐标为（1，1）由点到直线的距离公式可得d=
故
【思路点拨】求出平行于直线y=x+2且与曲线y=x2-lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．9、是定义在上的非负、可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有()．
A． B．
C． D．
函数的单调性与导数的关系．
解析：解：设g（x）=xf（x），x（0，+∞），则g′（x）=xf′（x）+f（x）≤0，g（x）在区间x（0，+∞）单调递减．a＜b，g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．故选．
构造函数g（x）=xf（x），x（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．10、已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数是上的减函数；
②对于任意，函数存在最小值；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是()．
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
函数的单调性与导数的关系；命题的真假判断与应用．
解析：解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），a∈（0，+∞）≥0，是增函数．所以不正确，a∈（-∞，0），存在x有=0，可以判断函数有最小值，正确．画出函数y=ex，y=alnx的图象，如图：显然不正④令函数y=ex是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a（-∞，0），f（x）=ex+alnx=0有两个根，正确．
【思路点拨】先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．二、填空题（本大题共小题）
11、已知，复数是纯虚数，则________.
复数的基本概念．
解析：解：=是纯虚数，=0且，解得a=－1.
【思路点拨】将复数z化为z=a+bi然后利用复数的概念即可得解．12、函数的单调递增区间
【知识点】分式不等式的解法；利用导数研究函数的单调性．
解析：解：因为，定义域为
所以，欲求函数的单调递增区间，即，综上解得函数的单调递增区间.
【思路点拨】先利用题目给的条件求x的范围，再在这个大范围内求导，再利用导数判断单调性，求单调区间8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．
排列组合．
解析：解：循环赛：8平均分成两组，每组4，比赛场数为：3+2+1=6（场），6×2=12（场）；淘汰赛：还剩下4名，再由每组的第一名，另一组的第二名进行淘汰赛要进行2场，再选出冠军亚军和3、4名要各进行1场；所以共需12+2+1+1=16（场）．
先计算出循环赛的场数，8平均分成两组，每组4，比赛场数为：每一组，3+2+1=6（场），所以两组共6×2=12（场）；再计算淘汰赛，循环赛之后剩下4进行淘汰赛，选出前两名要进行2场，再角逐冠、亚军需1场，败者角逐第3、4名还要1场；最后将所有场数加起来就是所有场数．14、若在(－1，＋∞)上是减函数，则的取值范围是________．
【答案解析】解析：解：因为在(－1，＋∞)上是减函数，在(－1，＋∞)上在(－1，＋∞)上在(－1，＋∞)上(－1，＋∞).
【思路点拨】由函数在(－1，＋∞)上是减函数，在(－1，＋∞)上的值域即可.
15、某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．
【答案解析】60解析：解：分两种情况在一个城市投资两个项目，在另一城市投资1个项目，将项目分成2个与1个，有3种；在4个城市当中，选择两个城市作为投资对象，有4×3=12种，这种情况有：3×12=36种有三个城市各获得一个投资的项目，选择没有获得投资项目的城市，4种；安排项目与城市对应，有3×2×1=6种这种情况有，4×6=24种综合两种情况，有36+24=60种方案设置投资项目
分两种情况：在一个城市投资两个项目，在另一城市投资1个项目；有三个城市各获得一个投资的项目，从而可得结论．三、解答题（本题有4小题，请写出必要的解答过程）
1.已知函数.
（Ⅰ）求在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最大值.
【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）时，最大值是
当时，的最大值为
解析：解：（Ⅰ）
（2）由知在上递增，在上递减，
故当时，最大值是
当时，的最大值为
【思路点拨】先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），然后对函数求导可得．（）根据导数的几何意义可求切线的斜率k=f′（1），从而可求切线方程（）?先令f′（x）=0，解得x=e，从而可求函数的单调区间，然后分别讨论t＜e时，当t≥e时，f（x）在[1，e]上单调性质，从而求解函数的最值：,实常数
（Ⅰ），并猜想（Ⅱ）数列的递推式、数学归纳法，
【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）
（2）证：：（1）由a1＝1，??an+1＝c?an+(2n+1)?cn+1????a2＝ca1+3c2＝3c2+c，a3＝ca2+5c3＝8c3+c2，??a4＝ca3+7c4＝15c4+c3；（2）猜想：；当n=1时，a1＝1＝(12?1)c1+c1?1，猜想成立；假设n=k时，猜想成立，即：ak＝(k2?1)ck+ck?1，则n=k+1时，ak+1＝cak+(2k+1)ck+1＝c[(k2?1)ck+ck?1]+(2k+1)ck+1=（k2-1+2k+1）ck+1+ck=[（k+1）2-1]ck+1+c（k+1）-1猜想成立．综合可得对nN，成立．（1）由a1=1，a2=ca1+c2?3=3c2+c，a3=ca2+c3?5=8c3+c3，a4=ca3+c4?7=15c4+c3即得；（2）根据a1，a2和a3猜测，进而用数学归纳法证明；18、正五棱柱．（Ⅰ）（Ⅱ）
【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）
解析：解：（1）
（2）
【思路点拨】（Ⅰ）（Ⅱ），再用间接法去除不满足题意的情况即可.
19.设函数的图像为曲线（Ⅰ）不是R上的单调函数，求实数的范围。
（Ⅱ）外的点作曲线的切线恰有两条的关系式。
（2）若存在，使成立，求的取值范围。
存在
【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）（2）
解析：解：（Ⅰ）有两解
（Ⅱ），则切线方程为：
切线过（1，0），故①，又②，
由①②消去得
令，由知极值点在0，1，极值为0，－1
故或，
但A点不在C上，故
综上：
（2）
是递减的不存在，但其上确界是，故所求的的范围为：
【思路点拨】（Ⅰ）有两解即可.
（Ⅱ），则切线方程为：
代入（1，0），消去得,令，再利用导数求极值找出a,b的关系即可.
（2）写出等价命题得，再用是递减的可求的范围
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