中学数学教与学(高中读本)2Go9．6
MATHSTEACHINGANDLEA．~VINGINHIGHSCHOOL
填空题解题技巧
党效文
【作者简介】党效文，陕西西安高新一中高中部．
【原文出处】《高考》：理科版(长春)，2009．2．2325
特别提示
填空题是高考数学试题的重要题型，属客观性
试题，其形态短小精悍，考查目标集中，对知识和方
法有一定的覆盖性，且对考生的阅读能力，细致认真
的程度等等有较好的检测效能．填空题评分客观、公
正，是一种优于选择题的独立题型．高考中，填空题
的作答因不需要书写解题的过程，只要求填出最后
结果，这就具有“一步失误，全题零分”的特点，因而
失分率较高．
一
、填空题的特点
由于填空题没有备选项，缺少提示帮助，又排除
了选择值的干扰，需要考生独立思考求解，因而在解
题能力上要求较高．
填空题的作答，需遵从“正确、合理、迅速”的
要求．
二、解填空题的基本方式
(一)“直接推求”考基础
大多数填空题，是直接由题目条件逐步推算进
而得出结论的．
例l在AABC中，AB=c，cosB=一，若以
A、曰为焦点的椭圆经过点c，则椭圆的离心率
e=
——
·
解析由于椭圆以A、B为焦点，且经过点C，因
此这里的AB长是焦距，AC与BC的长度和是长
轴长．
设AB=2x，则BC=2x．那么由余弦定理得：
AC。=(2)+(2)一2．cos曰=()，
即AC：10x
．
·56·
所以，AC+BC+=，
gXe=AB=詈．
例2若函)=sin2tax+4％intoxsin(似+号)
(>2)I~／J、正周期为盯，则该函数在区间[o，]
上的最大值是
解析要既)=(似+号)
的特征(周期、最值)，首先要考虑的是将其化成熟
悉的形式．
)：T1-cos2~ox下,3-sin2似：譬sin2一
÷c。s2+：sin(2一詈)+{．
因为函数)的最小正周期为叮r，且tO>0，所
以=盯，解得∞=l，即，()=sin2一詈)+÷．厶tO|厶
因为0≤≤所以一詈≤2一詈≤，所以
一寺≤sin2一詈)≤一，因此0≤sin2一詈)+÷
≤÷，llpf(．)的最大值为÷
(二)“数形结合”应用广
借助图形进行推理，或将数与形结合起来作答
填空题，事半功倍，既快又准．数形结合的思想在填
空题中是必须体现的．
例3设奇函数，()在(0，+o。)上为增函数，
RA1)=o，则不等式<0的解集为——
；
2009．6中学数学教与学(高中读本
MATHSTEACHINGANDZ,F~RNINGINHIGHSCHOOL
解析根据条件“奇函数)在(0，+)上为
增函数，且-厂(1)=0”画出函数)的草图，那么不
等<0的解集就一目了然了，这要比对进行
分类讨论来得更简捷．
不等<0的解集为(一1，0)u(o，1)．
例4已知函数)=—1+—}仳+2bx+c，
当∈(0，1)时)有极大值；当E(1，2)时)
有极小值，则=的取值范围为一
“一1
解析从几何角度看，u=可以看成点(o，
|上一1
b)和点(1，2)连线的斜率，因此，利用题目给定的条
件得到点(a，b)的区域就可以了．
由_厂()可知厂()：X2+ax+26．依题意厂()=
O在区间(0，1)和区间(1，2)内各有一根，所以
(0)>0，
{厂(1)<0，即b>0，a+26+I<0，a+b+2>0．
L厂(2)>0，
画出此约束条件的可行域，其中A(一3，1)，
B(一1，O)，C(1，2)．
"V
压
J
令与平面ABc所成角为，则。i：a
：
q
2
l-
a
故OM与平面ABc所成角大小是arcsin．
(四)“合理推算”能力强
运用联想、猜想与类比，去把握问题的本质，可
以避免复杂的计算!
例7如图，在平面直角坐标系．oy中，设三角
形ABC的顶点分别为A(O，a)，B(b，0)，C(c，0)，点
p(o，P)为线段AD上的一点(异于端点)，这里a、b、
C、p均为非常实数．设直线、cP分别交AC、AB于
点E、某同学已正确求得直线OE的方程：
(一÷)+(古一)y=0．请你完成直线OF
方程：(——)(古一吉)y-o．
因为=看成点(o，b)和点(1，2)连线的斜解析由直线AB的方程÷+上=1和直线CPⅡ
一1U“
率’所以“e(c，)，即u(÷，)．
(三)“特殊化”思维好方法
运用“特殊与一般”的科学方法，从取特殊值、
特殊位置、特殊函数、特殊数列和特殊图形等等人
手，可以简捷地获得解题思路与结果．
例5在AABC中，角A、B、C所对边分别为a、
6、c，若。、6、c成等差数列，则cosA+cosC
=
——————__''
解析构造RtAABC，使a=3，b=4，c=5，则
c。sA=了4COSc=0
．
所以=÷．
例6在三棱锥O-ABC中，三条棱、∞、OC
两两垂直，且OA=OB：OC．M是AB的中点，则OM
与平面ABC所成角的大小为——一
解析将三棱锥放进正方体中，设正方体棱长
为。，则D：。，点0到平面A曰c的距离为。．
的方程+上=1，求出点F的坐标，进而可以得到
CP
直线OF的方程．这种思路清晰，但运算复杂．如果
注意到题中的一句话：“某同学已正确求得直线OE
的方程：(1一÷)+(1一)，，=o，''，对照图形，
可以发现直线OE和直线OF之间具有“对称”关
系，或者说，利用求直线OE方程的方法来“相似”地
求直线D，方程，可以直接推理出：(1一÷)+
(古一)y—o．
本题也可以利用特例来求解，如让点B、C关于
原点对称或给出a、b、c赋上一些特殊值．
例8观察下列等式：
窆÷n2+÷n，
砉=了1n3+1n2+1n，
砉：1n4+1n3+1n2，
·57·
n
∑，
‘
∑i
‘1
^
∑i
‘l
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=÷n5+÷n4+了1n3一1n，
=+÷n5+吾n4一古n2，
=n7+吉n6+n5一古n3+1n，
∑i==c+l+ak+^一ln一+ak-2一+
…+0ln+o0，
可以推测，当k>12(k∈N’)时，+-_『，
1
。^5-，。一l——''。一2——————_．
解析这是一道典型的归纳问题．由观察可以
推得，=丧，z=0．
检验能力，见证水平，复习到此，敬请进入练
一练
练一练
1．设向量a=(1，2)，b=(2，3)，若向量b+A口
与向量c=(一4，一7)共线，则A=一
2．已知(a—i)=2i，其中i：一1，那么实数
3．使log2(一)<+1成立的的取值范围
为一
4．已知两个向量口与b满足n·b=0，若向量c
满足(口一C)·(b—c)=0，则lcl的最小值
为一
5．已知SA、SB、SC两两所成的角为6o。，则平面
SAB与平面SAC所成的二面角为——一
6．设、Y∈R，且满足
r(一1)+2008(一1)=一1
【(Y一1)+2008(y一1)：1’
则+Y．
7．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均
为√3，则其外接圆的表面积为——一
8．在等差数列{a}中，若a。。：0，则有等式a。+
a2+…+a=al+a2+…+al9一(n<19，n∈N)成
立．类比上述性质，相应地，在等比数列{a}中，若
b。=1，则有等式．成立．
答案
1．22．一13．(一l，O)4．O5．arcco8了1
6．27．9百8．b1b2…b
一
l=bl…6
一1
b…bl8
一(n<
18，n∈N)
·58·
蒙
}
|
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