武汉市部分重点中学2014-2015学年度上学期期末联考
高一数学试卷
命题学校：武汉六中命题教师：袁泉润审题教师：张霞
考试时间：2015年1月28日下午3：50—5：50试卷满分：150分
选择题小题小题5分，共分在每个小题出的四个选项中，题目要求的等于（）
Ｂ．Ｃ．Ｄ．
已知是边长为2的正三角形，则的值为（）
A.2Ｂ．-2Ｃ．Ｄ．
已知，则零点所在的区间是（）
Ｂ．Ｃ．Ｄ．
为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
Ｂ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
Ｃ．各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向左平移个单位长度
Ｄ．各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，再把所得图象向左平移个单位长度
5．非零向量和满足，，则与的夹角为（）
A.Ｂ．Ｃ．Ｄ．
6．已知，且为第三象限角，则的值为（）
A.Ｂ．Ｃ．Ｄ．
函数的部分图象如图所示，图象与x轴交点A及图象最高点B的坐标分别是A，B，则的值为（）
Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
8.函数在上单调递增，那么的取值范围是（）
Ｂ．Ｃ．Ｄ．
已知，则的大小关系正确的是（）
A.=Ｂ．Ｃ．Ｄ．
10.四边形ABCD是单位圆O的内接正方形，它可以绕原点O转动，已知点P的坐标是，M、N分别是边AB、BC的中点，则的最大值为（）
A.5Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
填空题小题小题5分，共分，，则在方向上的投影等于_________.
函数的零点个数是_________.
已知中，，，O为的外心，则=_________.
如图摩天轮半径10米，最低点A离地面0.5米，已知摩天轮按逆时针方向每3分钟转一圈（速率均匀），人从最低点A上去且开始计时，则t分分钟后离地面_________米.
函数在区间上的零点分别是_________.
解答题
（本小题满分12分）已知
在直角坐标系中用“五点画图法”画出一个周期的图象（要求列表、描点）
直接写出函数的单调递增区间以及取最大值时的所有x值的集合。
（本小题满分12分）已知点的坐标分别是，其中，且三点共线
求的值。
（本小题满分12分）在中，，若=2：
求的值；
若，，，求的值。
（本小题满分12分）已知函数在上单调递增，在上单调递减，
求的值；
当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
（本小题满分13分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天时间与水深（单位：米）的关系表：
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）请用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米。
Ⅰ)如果该船是旅游船，1：00进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
Ⅱ）如果该船是货船，在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10：00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？
（本小题满分14分）已知连续不断函数，，，
证明：函数在区间上有且只有一个零点；
现已知函数在上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数的零点分别为。
求证：Ⅰ)；
Ⅱ）判断与的大小，并证明你的结论。
武汉市部分重点中学2014——2015学年度上学期期末联考
参考答案及评分标准：
选择题：1.C2.B3.C4.B5.D6.C7.B8.B9.D10.C
填空题：11、212、313、0
14、（或）15、
解答题：
16（1）列表：
1 3 1 1
描点、画图：...................3分
...................8分
（2）的单调增区间是：（可写开区间）
取得最大值时的所有值的集合为：.........12分
，因为共线，有
，即.....................4分
上式两边平方，得，，
因为，所以这样，....7分
又，.................10分
所以..................12分
18、（1）因为，所以，又已知，所以...................5分
（2）因为，所以
，由于，于是，由（1）的结论得=2
又，所以为正三角形.（或从向量的几何意义得出,照样给分）....................8分
所以，因为N为AB的中点，，从而，=.....................12分（或，，
=.....................12分）
19、（1）由已知条件知，时取得最大值1，从而有，即.....................3分
又由题意可得该函数的最小正周期T满足：于是有，，满足的正整数的值为0，于是...............6
令因为，由得，即的值域为，由于时，不等式
恒成立，故有解得，即m的取值范围是.......12分
（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图。如图。
根据图象，可考虑用函数
刻画水深与时
间之间的对应关系。从数据和图象
可以得出由得，所以，这个港口水深与时间的关系可用近似描述。.................4分
（2）Ⅰ）由题意，就可以进出港，令，
得，如图，
在区间内，函数
与直线
有两个交点，由，
得，由周期性得，
由于该船从1：00进港，可以17：00离港，所以在同一天安全出港，在港内停留的最多时间是16小时。.................8分
Ⅱ）设在时刻货船航行的安全水深为y，那么。在同一坐标系下画出这两个函数的图象。
设，
由
且知，
为了安全，货船最好在整点时刻6点之前停止卸货。.................13分
21、（1）先证明在区间上有零点：由于，由零点存在性定理知在区间上有零点................2分
再证明在上是单调递减函数：设
由于在上递减，所以又
从而，即在上是单调递减函数。
故函数在有且只有一个零点。................5分
（2）Ⅰ）因为是的零点，所以有，将其变形为
，即，从而有=0，又因为，且由（1)的结论在上有唯一零点，从而有，................9分
Ⅱ）判断，证明如下：
由于，由零点存在性定理和已知得，................11分
从而有，
所以有，又由已知在上单调递增，所以。
................14分
x
1
|
|
