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等比数列前
n
项和公式的教学设计及反思
梁雅峰
西南大学附属中学%400700
摘要：在数学课堂教学中，教师要把学生当做学习的主人，激发他们的学习动机，引导学生主动参与，充
分发挥他们的主体作用，同时教师要善于根据教材内容的特点和学生的实际，想方式法创造条件，
让学生主动地进行探索与交流．本文以等比数列求和公式的推导为例，对数学课堂教学进行反思．
关键词：等比数列求和公式；教学设计；反思；新课改；自主探究
在新课程改革的今天，课堂教学的
成败取决于学生是否能积极、主动地参
与到学习过程中，因此要提高课堂教学
质量，就要真正确立学生的主体地位，
通过师生互动充分挖掘学生的思维潜
力，在教师的引领下，倡导师生的思维
对话，鼓励学生个性思维的发挥．等比数
列前n项和公式的推导方法既是一个教
学重点，又是一个教学难点．怎样突破这
一难点呢？笔者将几个教学设计方案呈
现给大家，并做出一些反思．
襛
方案一
直接给出等比数列的前n项和公
式，向学生介绍公式的推导方法．
方法1：由等比数列的定义，知
a
2
a
1
=
a
3
a
2
=
a
4
a
3
=…=
a
n
a
n-1
=q，
由等比定理得：
a
2
+a
3
+a
4
+…+a
n
a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n-1
=
q，即
S
n
-a
1
S
n
-a
n
=q，
所以（1－q）S
n
=a
1
－a
n
·q．
将a
n
=a
1
·q
n-1
代入得（1－q）S
n
=a
1
（1－
q
n
），
所以当q≠1时，S
n
=
a
1
（1－q
n
）
1－q
；
当q=1时，S
n
=na
1
．
方法2：（教师引导：能不能像推导
等差、等比数列通项公式的方法，列出
一些等式，然后叠乘或叠加呢？）
a
2
=a
1
q，
a
3
=a
2
q，
a
4
=a
3
q，
……
a
n
=a
n-1
·q.
将以上等式的两边分别相加，得a
2
+
a
3
+a
4
+…+a
n
=q（a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n-1
），
即：S
n
－a
1
=q（S
n
－a
n
），
所以（1－q）S
n
=a
1
－a
n
q．
（以下过程同法一）
襛
反思
方案一是由教师直接“抛出”等比
数列前n项和的公式，学生被动接受．学
生已经知道问题的结论，就失去探索未
知的动力．如果没有教师引导，普通学
生不易找到公式推导的思路，只能是由
教师提供方法，学生更多的是惊叹于方
法的神奇，却没有自主获得结论的成就
感．教师在实施课堂教学过程中，应当
更新教育理念，改变以往那种灌输——
接受的教学模式，让学生从机械、呆板、
被动的学习中解放出来．在教学过程中
要通过多种教学组织形式，引导学生积
极主动的学习，使学习成为在教师引导
下主动、富有个性的过程．
襛
方案二（教师先给出一个情境）
国王要奖赏国际象棋的发明者，问
他想要什么，发明者说：“陛下，请您在
这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒
麦子，在第二个小格内给两粒，第三格
内给四粒，以此类推，每个格子里放的
麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数
的2倍，直到第64个格子为止．把这样摆
满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的
仆人吧．”国王觉得这并不是很难办到
的事，就欣然同意了他的要求．你认为
国王应该给发明者多少粒麦粒呢？国王
有能力满足发明者的要求吗？
从这一情境中提炼问题：S
64
=1+2+
2
2
+…+2
63
①．
（教师引导：上式中的数有何特点？
若用公比2乘以等式的两边所得新式子
有何特点？）
若用公比2乘以等式的两边，得
2S
64
=2+2
2
+2
3
+…+2
64
②．
（教师引导：观察①与②两式有何
关系？）
为了便于比较①②两式，我们将它
们列在一起：
S
64
=1+2+2
2
+…+2
63
①，
2S
64
=2+2
2
+2
3
+…+2
64
②．
（教师引导：①与②两式可如何处
理？）
若②式减去①式，可以消去相同的
项，得到：S
64
=2
64
－1．
（回归问题：我们可以计算出国王
奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000
亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺
教
师
版
￡
28
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设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全
世界一年粮食产量的459倍，显然国王
无法满足发明者的要求．）%
（知识类比：能否仿照上述解题方
法，给出一般等比数列的前n项和？）
S
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n-2
+a
1
q
n-1
，
观察等式右端，若每一项乘以公比
q，就得到它后面相邻的一项，在等式两
边乘以公比q，得qS
n
=a
1
q+a
1
q
2
+a
1
q
3
+…+
a
1
q
n-1
+a
1
q
n
．
将两式的两端分别相减，就可消去
这些共同项，
所以（1－q）S
n
=a
1
－a
1
q
n
．
当q≠1时，S
n
=
a
1
（1－q
n
）
1－q
；当q=1时，
S
n
=na
1
．
这种求和方法称为“错位相减法”，
是研究数列求和的一个重要方法．
襛
反思
方案二通过设计情境引入课题，激
发了学生的兴趣，调动了学习的积极性．
创设问题情境时往往并不直接揭示所
学的数学内容，而需要学生基于自己的
实践和思考，从中提炼数学信息，因此，
学生的许多富有创造性的想法可以从
情境中引发出来．方案二采用了从特殊
到一般的思想方法，但没有突破错位相
减的认知“瓶颈”，依然有“抛出”的嫌疑．
襛
方案三设计如下问题情境
1．1－q
2
=_____________．
（1－q
2
=（1－q）（1+q））
2．1－q
3
=_______________．
（1－q
3
=（1－q）（1+q+q
2
））
3．猜想：1－q
n
=______________．①
答案：1－q
n
=（1－q）（1+q+q
2
+…+q
n-1
）．
4．写出等比数列S
n
的表达式：
__________________________．②
（S
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n-1
=a
1
（1+q+
q
2
+…+q
n-1
）
5．对比①和②，你发现了什么？S
n
=
_____________________，求S
n
时要注意
什么？如何记忆S
n
公式？
（当q≠1时，S
n
=
a
1
（1－q
n
）
1－q
；当q=1时，
S
n
=na
1
）
6．对于①式，我们只是猜想，如何
证明？（利用多项式的运算法则）
7．现在要你推导一次S
n
的公式，你
会吗？
8．把你的推导与教材的推导进行
对比，你能知道为什么要这样推导了
吗？
9．深化与应用：已知｛a
n
｝为等比数
列（q≠1），定义T
n
=a
1
+2a
2
+3a
3
+…+na
n
，你
能根据回答以上问题得到的启发求出T
n
的最简式吗？能否把你推导出的结论进
行进一步推广？
襛
反思
方案三通过创设问题情境，让学生
从已有知识入手推导出公式，在这个过
程中让学生学会猜想、观察、对比、发
现、证明、应用等，层层深入进行自主探
究，充分挖掘了学生的思维潜力．自主
探索是学生获取知识、形成能力的关键．
学生对数学的认识不仅要从数学家已
经研究过的现成的数学观点中去领悟，
更要在数学活动的实践中亲身去体验
知识产生的过程．因此，必须让学生“自
主探索”（包括观察、描述、操作、猜想、
实验、收集整理、思考、推理、交流和应
用等），亲身体验如何“做数学”，如何实
现数学的“再创造”，从而激发学生的求
知欲．同时，每个学生都有分析、解决问
题的潜能，都有与生俱来的把自己当做
探索者、研究者、发现者的本能，有证实
自己思想的欲望，教师能否抓住这一
点，是其数学教育成功与否的关键．
襛
方案四
复习等差数列的前n项和公式的推
导方法——倒序相加法，激发学生类比
联想：等比数列是不是也可以用类似的
方法进行求和呢？这时学生会用倒序相
加的方法来进行思考，结果显然是行不
通的．
教师适时点拨，引导学生进行思维
发散——从倒序相加的定式中解脱出
来．等差数列的求和方法，形式上是倒
序相加，本质上就是把省略号（……）
的“无形”化为“有形”（上下对应两项
的和都等于a
1
+a
n
）．对于等比数列而
言，难点也是如何把省略号（……）的
“无形”化为“有形”？引导学生从等比
数列的定义出发，进一步认识等比数
列从第二项起，每一项都是前一项的q
倍，也就是说将每一项乘以q以后就变
成了它的后一项，那么将S
n
这个和式的
两边同时乘以q，则在qS
n
这个和式与S
n
的和式中，就会出现许多相同的项．这
样通过两个和式相减，消去了一些中
间项，使带有省略号的含任意有限项
的式子变成仅含有几项的式子，从而
使问题得到解决．
襛
反思
方案四借助推导等差数列求和公
式的思想方法，类比寻求推导等比数列
的前n项和公式的方法．类比就是依据
两个或两类数学对象的相似性进行联
想，把它们其中一个数学对象已知的、
较为熟悉的特殊性迁移到另一个和它
相似的数学对象上去，进而得到新的发
现或规律的思想方法．类比思维是一种
获得数学发现的重要数学思想，在数学
学习和解题中起着至关重要的作用．有
意识地、合理地运用类比法，不仅对教
学效果大有裨益，而且可以帮助学生更
好地建立认知结构，探索和发现新的命
题、新知识，增强创新能力和解决问题
的能力．教学中着力培养学生类比推理
能力是发展学生发现和自主创新的有
效途径，是新课标所倡导的“合情推理”
的重要体现．
襛
结束语
新课改实践主阵地是课堂教学，课
堂教学中要体现新课改的理念和要求，
就得改变过于强调接受学习、死记硬
背、机械训练的状况，倡导学生主动参
与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集
和处理信息能力、获取新知识的能力、
分析和解决问题的能力以及交流合作
的能力．课堂教学中，只有努力满足学
生的学习需求，激发学生的学习兴趣，
使学生能够爱学、喜学和乐学，激活学
生的认知活动，才能促使学生积极主动
地参与教学过程，才能实现数学课堂的
高效率和高质量．
29
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