2013年第1期数学教学l—i
对2012年高考福建卷理科解析几何题的研究
435200湖北省阳新县高级中学邹生书
优质高考题是命题专家精心设计的杰作，
倾注了命题人的心血和智慧，有些题目甚至是
命题人研究成果的具体化和特例，这样的命题
具有潜在的研究价值和教育价值，对高中数学
教学具有一定的导向性，2012年全国高考福建
卷理科第19题就是这样的一道优质高考题，该
题平中透奇，具有研究价值，题目如下：
m2口，2
题目如图1，椭圆E：+=l(a>
0‘D
b>0)的左焦点为点F1，右焦点为点F2，离心
率e=妄．过点F】的直线交椭圆于A、B两
点，且△ABF2的周长为8．(I)求椭圆E的方
程．(II)设动直线2：Y=kx+m与椭圆E有
且只有一个公共点P，且与直线X=4相交于
点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，
使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求
出点M的坐标；若不存在，说明理由．
I
一
，
，一—一／j
B＼＼
图1
本题答案是：(I)椭圆E的方程为+
y2
：1；
(II)存在这样的定点M，其坐标
为(1，0)(过程略)．
笔者一向对解析几何题情有独钟，解完题
后总喜欢对条件结论进行观察、分析、猜想、
研究，希望能从中找到一些有价值性的东西．
解完此题后，笔者惊喜地发现：直线=4就
是已知椭圆的右准线，定点M就是椭圆的右焦
点，由此特例我们提出如下问题：对于一般情
形下的椭圆，是否也有此性质?笔者紧紧抓住
这一想法投入研究，为了避免盲目的运算推理，
笔者借助几何画板动态演示得出：不仅椭圆有
此性质，而且双曲线、抛物线也有同样性质．
为了扩大战果，笔者在此基础上对问题的条件
和结论进行互换作变式探究，同时借助几何画
板演示证实所得性质的若干逆命题也成立．现
将研究的主要过程和相关结论整理成文与大家
交流．
1．纵向推理归纳探究
探究1如图2，已知P是椭圆+=
l(a>b>01上一点，若椭圆在点P处的切
n2
线与右准线X=相交于点Q，试探究：在
C
坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直
径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由．
Y
P／
／＼
f
图2
解：1段设存在这样的定点M，由对称性
知点必在轴上，设点M的坐标为(m，0)．
设点P的坐标为(XO，YO)，由文[1]知椭圆在点
P处的线方程为—XOX+百YoY：l
，将其与
ⅡU
z：aA联立方程组，解得点Q的坐标为faA，
C＼C
_==1．因为以PQ为直径的圆恒过点
1一l8数学教学2013年第1期
M，故．：0，又：(0一m，
，痂=(譬一m，)，所以
(X0--0)．(譬一cyo)_0j即
—
(xo-m)(
—
a2
-cm)+
—
b2(c-
—
xo)
：0，也就是
(xo—m)(0一am)+b2c—XO)=0．以XO为主
元整理得(C2一cm)o+cm2—02m+b2c=0．
依题意这个关于0的方程有无数个解，所以
{一cm===0解得m：c，故存在1am2
一a2m+b2c=0
，
“一
这样的定点，其坐标为(C，0)，由此知定点
M就是右准线对应的右焦点．于是一般的，椭
圆有如下性质：
性质1已知P是椭圆+：1
(a>b>0)上一点，若椭圆在点P处的切线
n2
与右准线=相交于点Q，则以PQ为直径
的圆恒过右焦点．
2．横向推理类比探究
同样对于双曲线有如下类似性质：
2口．2
性质2已知P是双曲线一=1
(a>0，b>0)上一点，若双曲线在点P处的切
线与右准线=相交于点Q，则以PQ为直
径的圆恒过右焦点f证明略)．
探究2如图3，已知P是抛物线2=
2px(>0)上一点，若抛物线在点P处的切
线与准线=一1J相交于点Q，试探究：在坐标
平面内是否存在定点，使得以PQ为直径的
圆恒过定点?若存在，求出点的坐标；若
不存在，说明理由
y
Q<
D
‘＼
图3
解：假设存在这样的定点，由对称性
知点M必在轴上，设点M的坐标为(m，0)．
点P的坐标为(XO，yo)，由文[1]知抛物线在
点P处的切线方程为YoY=p(x+0)，将
其与=一联立方程组解得点Q的坐标
／
为(一P，__)．因为以PQ为直径的
圆恒过点M，所以M．MQ=0，又MP=
一，莉=(一P一)，
所以(一，珈)．(一P一m，)：。，
即(m—。)(m+笔)+p(。一笔)=0．以。为
主元整理得(兰一m)骱+re(m+p一)一2：0，
依题意这个关于0的方程有无数个解，所以
m
P
--(mm
+
=
罟
O
),
一譬：。，解得m=P，故存在
这样的定点M其坐标为(p。，0)，由此知定点
就是抛物线的焦点．于是对抛物线有如下性
质：
性质3已知P是抛物线Y=2px(p>
0)上一点，若抛物线在点P处的切线与准线
=一1J相交于点Q，则以PQ为直径的圆过抛
物线的焦点．
3．综合归纳完美统一
综合以上三性质可得圆锥曲线的一个统
一完美的性质如下：
性质4已知P是圆锥曲线C上一点，若
曲线C在点P处的切线与曲线的准线相交
于点Q，则以PQ为直径的圆恒过该准线对应
的焦点．
4．逆向推理变式探究
对性质4的部分条件和结论进行互换作变
式探究，笔者用几何画板演示，证实圆锥曲线
还有如下优美性质(限于篇幅证明留给读者)：
性质5已知P是圆锥曲线C上异于长轴
端点(或实轴端点或抛物线顶点)的一点，F是
曲线C的焦点，若过点F且与PF垂直的直
线与曲线C在点P处的切线相交于点Q，则
点Q必在与焦点F对应的准线上．
2013年第1期数学教学1-19
一道高考题的研究报告
663300云南省广南一中玉邴图
2012年全国高考大纲卷理科第8题、文1PEI和lPFI之比引申为之积、之和、之差
科第10题是：等进行探索，得到什么结论?-
已知E、F是双曲线：X2一Y2：2的
两个焦点，点P在上，IPEl=21PFI，则
COSZEPF=()
100A
(A)；(B)兰；(C)；(D)三．
该问题取材于圆锥曲线焦点三角形的边
角关系，在解答过程中，用到圆锥曲线定义、
正、余弦定理等知识，难易适中，设计新颖，别
具一格，十分有趣．笔者认为这是一道不可多
得的好题，也恰好笔者任教高二年级数学，于
是就将其作为一次研究性课题材料．
笔者要求，就椭圆、双曲线焦点三角
形(椭圆或双曲线上一点和两个焦点组成的
三角形叫做焦点三角形)为依托，通过查阅资
料、请教老师、独立思考、互相交流、共同探
索研究等方法，完成一篇报告，建议从以下几
方面进行探究：
(一)从知识链上，寻求问题的多种解法．
(二)将问题推广、引申，即双曲线方
程和椭圆方程推广为一般的方程以及将
性质6己知P是圆锥曲线上异于长
轴端点(或实轴端点或抛物线顶点)的一点，
F是曲线的焦点，若过点F且与PF垂直的
直线与焦点F对应的准线相交于点Q，则直
线PQ与曲线相切于点P．
性质7已知Q是圆锥曲线的准线Z上
一点，F是与准线Z对应的焦点，若过点F且
与FQ垂直的直线与曲线相交于点P，则直
线PQ与曲线C相切于点P．
性质8已知Q是圆锥曲线C的准线Z上
(三)根据推广和引申的情况，能否求出焦
点三角形EPF的面积?
(四)联系教材内容实际和近年来的高考
试题，探讨应用．
要求一周后交一篇研究报告．
一周以后，共收到13篇研究报告，该班级
共有56人，每篇报告为3至5人共同完成．真
是人多智慧多，学生能探索出一些很有创意的
成果，下面笔者节录相关的片断．
一
、问题的解法
解法1：因为a=b=，c=2，设IPFI
=m，则IPEI=2m，由双曲线定义得2m—
m=2a，即IPFI=m=2a=2、／／2，IPEl=
2IPFI：4、，．由题意和余弦定理得
cos=
32+8—163
—
2．2．4一4‘
一点，F是与准线f对应的焦点，若过点Q的直
线与曲线相切于点P，则FP_l-FQ．
笔者研究发现，2012年高考安徽卷理科
第20题与2012高考福建卷理科第l9题分别是
本文所研究的性质1和性质6的特例．
参考文献
[1】邹生书．圆锥曲线极点与极线的一组性
质．中学数学教学，2010(4)：22—23．
[2]邹生书．用圆锥曲线极点与极线的性质
解题fJ]．河北理科教学研究，2011(1)：13—14．
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