多视角分析2014年浙江高考数学文科第16题
王耀
苏州市田家炳实验高级中学（江苏苏州215006）
问题已知实数,,abc满足0abc???，2221abc???，则a的最大值为.
1视角1——不等式
解法1由题意知
2221
bcabca????????
?
，利用不等式222()2()xyxy???得到：222(1)aa??，解得223a?，
那么实数a的最大值为63.
解法2将()cab???代入化简得到2212abab???，那么??2221[()]244abbaabab????????，
解得223a?，那么实数a的最大值为63.
解法3由题意不妨设0a?，那么1bcaa???，22
21()()1bcaaa???
；那么由222()2()xyxy???得到
2112(1)a??
，即有223a?，那么实数a的最大值为63.
解法42222()2()12()0abcabcabacbcabacbc?????????????，那么12abbcac????；
即1()2abcbc????，将bca???代入得到212bca??；又222bcbc??，得到221122aa???，解
得223a?，那么实数a的最大值为63.
解法5将()cab???代入化简得到2212abab???，令,axybxy????，代入得到22621xy??，
那么由柯西不等式得到??22226211262()(62)
62623xyxyxy
?????????????
??
，即223a?，那么a
的最大值为63.
2视角2——三角函数
解法6将()cab???代入化简得到2212abab???，则2231()242aba???，令
2cos
22
32sin
22
ab
a
?
?
???
??
?
??
??
，
即
6sin
3
26cossin
a
b
?
??
??
??
?
???
??
，那么可知实数63a?.
解法7将()cab???代入化简得到2212abab???，令,axybxy????，代入得到22621xy??，
令6cos6x??，2sin2y??，则62cossinaxy??????6sin()36????63?，那么实数
a的最大值为63.
解法8将()cab???代入化简得到2212abab???，令cos,sinarbr????，代入上式得到
211(1sin2)22r???；又因为2222cos1cos2cos2sin22(2sin2)ar?????????；令1cos22(2sin)k?????，则
42sin21cos2kk?????，利用辅助角公式得到241sin(2)14kk??????，再由sin(2)???
2
14141kk????，解得203k??，那么223a?，那么实数a的最大值为63.
解法9由题意得2221bca???，令2
2
1cos
1sin
ba
ca
?
?
?????
????
；又bca???，则21(cossin)aa??????；
得到22(1)sin()4aa??????，由sin()1
4????
可知22(1)aa???，解得223a?，那么实数a的
最大值为63.
3视角3——函数与方程
解法10将()cab???代入化简得2212abab???；那么22abab???2223()44aabba???
2231()242aba????，因此，23142a?，解得223a?，那么实数a的最大值为63.
解法11将()cab???代入化简得到2212abab???，令221()()02fbbbaa?????，由bR?可知
2214()02aa?????，解得223a?，那么实数a的最大值为63.
解法12将()cab???代入化简得到2212abab???，令bka?，其中kR?，代入得221(1)2akk???；
又21kk???2133()244k???，那么2
2122(1)3akk????
，那么实数a的最大值为63.
4视角4——数形结合
解法13由题意知
2221
bcabca????????
?
，则点(,)bc在直线xya???上，也在圆2221xya???；那么圆心
（原点）到直线的距离
12ad?
不大于原点到点(,)bc的距离221da??，即21
2aa??
，两边平方
后解得223a?，那么实数a的最大值为63.
解法14将()cab???代入化简得到2212abab???，令cos,sinarbr????，代入上式得到
211(1sin2)22r???；又因为2222cos1cos2cos2sin22(2sin2)ar?????????；令1cos22(2sin2)k?????，则2k表
示平面内点P(2,1)??与单位圆上的动点(sin2,cos2)??连线的斜率，设过点P的直线方程为
2(2)1ykx???，那么由dr?可知
2
41114kk???，同样得到203k??，则实数a的最大值为63.
解法15将()cab???代入化简得到2212abab???，即2212abab????，不妨设2,,2ab分别为
三角形△ABC的三条边长，由余弦定理可知2212cos2ababab??????；
那么，当0b?时，120???，由正弦定理得：
22
sin120sin
a
A??，即6sin3aA?，又(0,60)A???，
则有22a?；当0b?时，60???，由正弦定理得：
22
sin60sin
a
A??，即6sin3aA?，又(0,120)A???，
那么63a?，当且仅当90A??时，等号成立；
因此，由上分析可知实数a的最大值为63.
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