上海地区教学论文:关于有心圆锥曲线的“垂径定理”;
定义:.圆、椭圆、双曲线都有对称中心,统称为有心圆锥曲线,它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦(不是直径)的直径垂直于弦.类比推广到有心圆锥曲线:
定理:“已知直线与曲线:交于两点,的中点为,若直线和(为坐标原点)的斜率都存在,则”,这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.
例1:证明有心圆锥曲线的“垂径定理”;
证明设
相减得
注意到
有
即
例2:利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题:
过点作直线与椭圆交于两点,求的中点的轨迹的方程;
过点作直线与有心圆锥曲线交于两点,是否存在这样的直线使点为线段的中点?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.
解:①设
由垂径定理,
即
化简得
当与轴平行时,的坐标也满足方程.
故所求的中点的轨迹的方程为;
假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点,且P为的中点,则
由于
直线,即,代入曲线的方程得
即
由得.
故当时,存在这样的直线,其直线方程为;
当时,这样的直线不存在.
上海大屯一中zhangtaishu
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