{=l学教学参考
教学经纬
合理挖掘教材内涵完善学生认知结构
——辅助角公式教学之我见
广西南宁市第三中学(530021)陈华曲
高一数学“三角函数”一章中，公式可谓是琳琅满
目，而在众多公式中，辅助角公式又是那么让人欢喜让
人忧．之所以“喜”，是因为它在解决三角函数问题中应
用得相当广泛，给教师展现教学智慧提供了宽阔的舞
台，也拓展了学生进行高水平思维训练的空间；而“忧”，
则因为辅助角公式是一个派生公式，教材不能把它拔得
太高，又不能一带而过．这就给教师提出了一个重要的
课题：如何才能较好地把握教学的“度”?处理过简，不
能充分发挥公式的应用价值，要求过高，又会让学生应
接不暇．怎样才能更好地完成教学呢?以下就此谈谈自
己的思考与实践．
一
、让学生认识公式产生的合理性
数学课堂教学一方面不能回避学生追根问底的认
知需求，另一方面又不可能让学生重复人类认识数学经
历的一切，这就要求数学教学既要简化知识积累过程，
又要暴露思维过程．总体上看教材着力解决了前者，而
课堂教学则必须努力解决由此产生的认知困难问题．
教材中(人教版必修第一册下)，辅助角公式asinO+
——L
bcosO=~／n+sin(O+)(口，b不同时为零，tang=)
“
是以一道例题“求证：cosa+√3sina一2sinf7I；+a1”的形
、U，
式出现，这是在学生学习了两角和与差的正余弦公式后
安排的一道例题．从教学上看，引导学生从等式右边出
一一一1
发：2sinf詈+a1=2sin{ca+2cossim一2·÷CO．Sot
、u／uO厶
+2·a百／osina—COSa+~／3sina，很容易得到等式左边．但
是，反过来要从左边证到右边时，学生就不容易想到“乘
2除2”去构造出特殊角的三角函数值，然后再逆用两角
和的正弦公式化为和角的三角函数式．因此，课堂教学
中教师要针对CO．Sot+√3sina的结构特点，结合上述证
法，引导学生发现它与两角和正弦公式结构的共性与不
同点，理解“乘2除2”的合理性，为辅助角公式的出现打
下基础．
做完这道证明题，教师可以就此引申：
你能把类似的3cosa+4sina转化成一个三角函数关
系吗?进而讨论一般性：将acos~+bsina化为一个三角
函数名的关系．
此时，学生会存在两个最大的疑惑：一是如何生成
~／n+b?二是如何生成辅助角?因为逆向思维相比
正向思维会困难一些，学生不易理解也较难掌握．这时，
教师可以引导学生回到三角函数的定义上来，借助坐标
法，用图像这种最直观的图形帮助学生理解与发现：
把asina+bcosa中的n，b看成是一个点P的坐标，
连接0、P两点，则射线OP与z轴正半轴形成一个角，
如图：
则sin9一丽b
I
，c。—
“U
志，且Ⅱ。c。s，6
一、sin％
所以：asina+bcosa一
、／／n，6)
／6／
l‘p
0Ⅱ
~／n+b。cos~sina+~／n。+6。sincpco~一~／口。+bsin(a+
)．
厶
由图易知ta一．
。“
这是一种很自然的处理方法，从点到原点的距离人
手，学生脑子里有直观的图像，那么对公式的产生有一
种“水到渠成”的亲切感，学生的思维就能从“知其然”的
层面上升到“知其所以然”的层面，满足学生追根问底的
认知需求．
事实上，也可以将asina+bcosa看成是(＆，b)·
(sina，COSo~)的形式，运用向量的数量积就可以看到
、／／n+6的来源就是向量(n，6)的模，这样处理也很直
观．鉴于学生尚未掌握向量知识，因此新课改教材整合
将向量知识安排在三角函数之前还是很合理的．
二、让学生深刻理解公式的本质特征
对公式的深化理解环节是教学的一个关键环节．教
师通过问题设置、引导学生讨论、思辨，强化学生对公式
内涵和外延的理解，突出公式的本质特征，这对学生来
说是一种更高层次的思维训练，对发展学生的思维品质
起着重要的作用．特别地，公式学习的整个过程，体现了
很多重要的数学思想方法，而这些思想方法在对公式探
究的过程中往往是一种朴素的运用，学生并没有意识
到，而通过这一环节的点拨、分析、总结、提高，学生对这
些数学思想方法的作用以及它在解决问题时是怎样运
用的，都会有重新的认识和感悟，坚持下去，学生就会形
成数学的思想、意识，并内化为自己的能力，这更是数学
教学更高的目标追求．
本节课中，教师可以引导学生从以下方面去思考、
研究：
1．“你觉得公式中最本质的东西是什么?”引导学生
自主建构知识，能对公式特征进行了辨析．
教师最后总结：辅助角公式asinO+6cl3一~／+／7·
期
第
：Ⅱ
∞
句
中
考
参
学
教
加—r●
…………………………………………………………………教学经纬
sin(0+f)(口，b不同时为零，tan~=÷)是两角和与差的
“
正弦公式sin(a±口)一sinacosp±oosacosfl逆向变形派生
出的“二合一”公式．所谓“二合一”，就是把同角的两个
不同的三角函数合成一个三角函数，这是公式最本质的
特征．化为一个函数，就为进一步研究其性质打下了良
好的基础．
2．对公式的学习，不仅，要会正向使用，而且要学会
“逆”向运用公式．
教师可以引导学生回忆：两角和公式是把“和角”的
三角函数关系化为“单角”的三角函数关系，而将公式
“逆”向思考，就发现了辅助角公式，把同角的两个不同
的三角函数合成一个三角函数，这种“分”、“合”的辩证
关系就是处理数学问题的重要思想，而“逆”向思考问题
也成为数学学习一种重要的思维方式，这就将教学上升
到了引导学生进行数学思想方法学习的层面上，增强了
教学的内涵．
3．强化对公式特征的认识与了解
教学中，不少教师常常会忽略引导学生观察分析公
式本身的特征，而这一环节正是培养学生观察、分析、抽
象、概括能力的重要契机，需要重点改进．
在辅助角公式中，需要指出：公式左边是关于同角a
正弦、余弦的代数和，右边是a与辅助角两角和的正
——L
弦，系数为、／／口4．b，由tang=÷确定，要注意，ta==：
。“
L
旦的值对应两个象限的角，要根据点(a，6)所在的位置
“
来确定其所在的象限．教师教学上的这种严谨、细致观
察和分析问题的作风，就能孕育学生一种思维习惯，提
升学生思维的品质．
三、让学生熟练运用公式解决实际问题
从学生的认知心理来说，在对公式产生认识后，运
用公式来解决实际问题的心情就会呼之欲出．这时课堂
上的例题教学就成为拓展公式外延的重要教学手段．教
师对例题的选取要有针对性，要结合辅助角公式生成过
程中最让学生疑惑的两个生成点，以及公式最本质的
“二合一”的特点，让学生通过例题的学习感受到辅助角
公式的作用所在，从而灵活运用公式．
【例1】化简c。s(詈+a)+c。s(号一a)．
解：cos(詈+a)+c。s(号一a)
一n[号一(詈+a)]+c。s(争a)
一瓜in(号一a)+c。s(—手一a)
一2sin[(詈一a)+詈]=2sin(号～a)一2c。乩
评析：本例意在强调在运用辅助角公式时要注意公
式的结构特点，首先要看是不是asin0+bcos0的形式，先
变成同角，再把同角的两个不同的三角函数合成一个三
ZHONGXUEJIAOXUECANKA0
角函数．
【例2】求函数=~／si眦+cos的定义域．
解：sim+COS,32—2sin(z+詈0，
．
‘
．2是丌≤z+≤2志丌+7c，kEz，
即2k~--詈≤z<2k+，kEZ，故原函数的定义
域为『_2忌一詈，2k+]，Ez．
评析：辅助角公式最大的一个功能就是将式子化为
一个三角函数，化繁为简，为进一步研究它提供更好的
平台．
【例3】已知y=asinx+COSX的最大值为√5，求a．
解：—asinx+COSX一√口。+1sin(z+)
(tan一吉)．
。
．
’
～
一√5，即~／口+1===√5，．．a一4，n一±2．
评析：此题看似求参量，实际是三角函数最值问题．
当函数—asina+bcosa的定义域为R时，利用辅助角
公式转化为~／n+6。sin(a4")中值的大小对最值没
有影响，所以在此我们不必求出确切的值．
【例41求一茅的值域．
解：由原式变形为2+sim一3一COSX，
．
。．ysinx+co蹦一3—2，
得~／4-1sin(x4"~o)：3--2y(tanq~一÷)．
·
··sin(z+一3丽--2y，lsin(z+)l≤1，
．
‘．1湍l≤，
两边平方得到：3一12+8≤O．
·‘2一，z+]．1l
评析：值域与最值是紧密相连的，由于三角函数中
公式多、变形多，求最值的方法不单一．但通过辅助角公
式变形，利用三角函数有界性求值域和最值的方法也有
其独到之处．
可见，辅助角公式的目的在于将三角式化为一个三
角函数的形式，由此可以展开对三角式相关性质的研
究，为解决问题起到一个重要的桥梁作用，它是我们解
决与三角有关的函数问题的重要的变换手段．合理地挖
掘其内涵，让学生在学习中能切身体会到知识本身的内
在联系，对完善学生的认知结构，提高学生思维的品质，
从而达到培养学生思维能力的目的．
(责任编辑金铃)
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