浙江诸暨市草塔中学(311812)刘郦芬
如果过点P司以作圆锥曲线的两条切线，
则把切点的连线叫圆锥曲线的切点弦．
一
、几个结论
结论1：P(口，b)是圆+Y。一rz外一点，
则切点弦所在直线的方程为6ix+by—rz．
结论2：点P(x。，)是椭圆+一1外
一点，则切点弦所在直线的方程为+一1．
口D
结论3：若过点P(x。，Yo)向双曲线一
一1两支作两条切线，则切点弦所在直线的方
程为一一1．
结论4：点P(o，Y。)是抛物线Y。一2px开
口外一点，则切点弦所在直线的方程为Y。Y一
痧(0+)．
证结论1：如图
1，设切点坐标为
A(x1，y1)，B(，Y2)，
点P的坐标为(口，6)，
则过A点的切线方
程为zl+Y1Y—rz，
过B点的切线方程
为x2+Y2Y—rz．
VJ
／
入
图1
．’两切线过点P，
．
。．1口+Y1b—rz，2口+Y26：rz，
于是直线AB的方程为口+by—rz．
同上方法可以证得结论2、结论3、结论4
成立．
二、结论的应用
【例1】已知椭圆c：+6—1，圆c。：
+Y。一4，过椭圆C上点P作圆C。的两条切
线，切点为A、B．
(1)当点P的坐标为(一2，2)时，求直线
AB的方程；
(2)当点P(o，Yo)在椭圆上运动但不与顶
点重合时，设直线AB与坐标轴围成的三角形
面积为S，问S是否存在最小值?如果存在，请
求出这个最小值，并求出此时点P的坐标；如
果不存在，请说明理由．
解：(1)由上
知直线的方程为
一2x+2y一4，即
—Y+2—0．
(2)由椭圆的
对称性，不妨设
P(0，Yo)在第一
象限．于是有直线
AB的方程为
P／一
t，
’
一
图2
o+YoY一4，直线与x轴的交点的横坐标为
一
，直线与轴的交点的纵横坐标为一
，而有面积s一1一历8．
。
．。点P(xo，Yo)在椭圆上，
·
·
·+警一．
·
·琶+2Xo‘yo一XoYo，
．
。．。Y。≤3，当且仅当。一，Y。一时
等号成立，z。Y。有最小值3
．
·
．当。一，一时，S有最小值告
由对称性，点P的坐标为(，)或
(，一,／5-)或(一，)或(一，一)，S取
最小值．
【例2】如图3，已知④54：+(Y一2)一1，
Q是轴上的动点，QA、QB分别切OM于A，
B两点．
(1)如果IABI一，求直线MQ的方程；
(2)求动弦AB的中点的轨迹方程．
解：设Q坐标为(t，0)，由结论1可得直线
AB的方程为
tJc--2(y--2)一1，代入z+(y--2)一1得
(t+4)Y一4(￡+3)+3t+9—0，于是
lABI一--N~''k2a
=
／
1-+-t-
1
rt0上4
一：±兰[±兰二兰!±
ltl
tJ￡+4鲁，解得t一士
．
’
．Q点坐标为(，0)和(一，0)，从而得
直线M．Q的方程为士2z+5一2一0．
(2)设Q点坐
标为(t，0)，则直线
AB(oM的切点弦
所在的直线)的方程
为舡一2(j，一2)一1，
直线MQ的方程为
王+上一1，交点Pt。2’、、、
的坐标为(t上z+4，
～
．
OQj
图3
觜)，得点P的参数方程为
j一t2+4消去参数￡，得点P的轨迹{2￡z+6消去参数，得点P的轨迹
l一7干
方程为
+。一百7+3一O．(0M内部分)
【例3】如图4，已
知椭圆z+2y一1，
P是直线4x+3y一
12上一点，由P向已
知椭圆作两切线，切
点分别为A和B，问
当直线AB的方程为
怎样时，直线AB与
两坐标轴围成的三角
、
＼户
／
．
～O
—／／＼、-．
图4
形OMN面积最小，最小值为多少?
解：设P点坐标为P(。，Y。)，由结论2可
得切点弦所在直线方程为。z+2y。y一1．直线
L与z轴的交点为M(÷，0)，与Y轴的交点
．上n
为N(。，)．
’
．。P(。，Y。)在直线4x+3y一12上，
o
~
o4．512"0。≤()一
得三角形OMN的面积
s△fM1
·
1
·
1
—3·≥3·丽1一
．
当且仅当4z。一3。，即z。一号，。一2时，
s△N一1
．
此时为导z+4一1时，(S~auN)一1．
．
’
．直线LAB的方程为3x+8y一2—0时，直
线AB与两坐标轴OMN围成的三角形面积最
小，最小值为．
【例4】如图5，已知
P(3，5)是等轴双曲线
z一一n外一点，过
P作双曲线的两条切
线，切点分别为A、B，
若线段AB的中点的横
坐标为一1，求双曲线的
方程．
．
‘
．
．．
。
图5
解：由结论3，直线AB即切点弦所在的直
线方程为3x一5—n，代入一一n得
16x。+6a。一24a一0，于是AB的中点的横坐
标为一n2一一1，得n2一萼，所以双曲线的方
程为xz__ye一16
．
三PY2xA／3
／xPAB缮一点，过点作抛物线。．f。一的两条切线，切f。点分别为、，求／面积的最小值．I
方鬻。技瑶篓
广西大新中学(5323oo)黄崇军
数形结合解题就是在对题目中的条件和结
论既分析其代数含义又分析其几何含义，力图在
代数与几何的结合上去找出解题思路．借“形”解
题是数形结合的最基本手段，本文就几种常见的
借“形”求解的问题，作个简单举例说明．
一
、数轴
[t~tl1】求使不等式lz一4l+1．27—3l
有解的a的取值范围．
解：先求J一4J+l一3f的范围：由数轴知，
数轴上的动点到两定点4和3的距离之和有最小
值1，无最大值，故f一4f+1一31∈口，q-oo)，欲
使lz一4{+lz一3l<。有解，则a>1．
[t~ll2】设集合
A一{f21g．z-一lg(8．r
一15)，Lz∈R}，B一图l
{fc。s专>o，∈R}，则Af-IB的元素个数为
个．
解：A==={3，5}，B一{Lzl4krr一<<4ka"-t-丌，
是∈Z}，由数轴知(如图1)Af-1B一{3}，有1个元
素．
二、文氏图
【例3】已知集合A、B是全集U一{1，2，
3，4，5，6，7，8，9}的子集，AnB一{2}，(CuA)n
(CvB)一{1，9}，(CuA)nB一{4，6，8}，贝UA一
，B一．
解：由集合与文氏图之间
的关系，如图2，可得A一{2，
3，5，7}，B一{2，4，6，8}．
三、单位圆
【例4】在(0，2丌)内，
使sin>COSX成立的的取
A．(手，号)u(丌，)
B．(号，丌)
c．(手，)
D．({，丌)u(，)
解：在单位圆内画函
数线(如图3)，可知满足
yy=x
。一
图3
条件的是弧AmB上的点所对应的(0，27r)内
的角，即(手，)．选c．
四、函数图象
【例51设a、p依次是方程lo+一3—0
和2+z～3—0的根，则a+口的值为()．
七七七七七七七七女七七女七女七七
!兰二
、干
!兰二!二
、干
一l二二：二Z!一二：±
~／1+3~／1+j
2oo2o—z+z。代入一2，得
。
一2。+2xo一0，
～o一士√i～2xo，
．．1A—BI一2v／一2。，
于是JABl一·2，
．
·
．s一丢·厮·2·
(0—1)。+7
~／1+；
一~／一2(。一3)·[(。一1)。+7]
一(o一1)。+5·[(。一1)+7]．
令(。一1)+5一t，则
S△B一￡(t+2)(￡≥)，
．
。
．(S△PAfj)一7~／5．
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