备课参考
椭圆标准方程中2与b2的向量内积诠释
(浙江安吉高级中学313300)徐国平
我们都知道，椭圆有许多优美的性质．对于以
椭圆为代表的诸多圆锥曲线问题，通常都是采取
由形到数的函数与方程思想，具有很强的综合性．
下面笔者运用平面向量的内积对椭圆标准方程中
“与b。进行诠释，给出一组性质并予PAiiE~．
．
．．2
性质1已知椭圆+告：l(a>b>o)的长
a口
轴左右两个端点分别为Al、A2，中心为o，设P为椭
圆上与A、A：不重合的任意一点，如果直线AP、
A：P与轴分别交于点M、N，则．一b2．
证明：设P(x。，Y。)，显然一
直线AP的方程为：Y。一．—一(z+“)，
z0十“
直线AP的方程为：Y。=—(一“)，
ZO一“
由题意：AP、A：P与Y轴分别交于点M、N，
则M(O，)，N(O，．--．ayo)，所以
Xo—razo—a
．一．(--ay~)一
．
z0十axo—a“一z
由于P(z。，Yo)为椭圆+il(“>b>
O)上与A、A。不重合的任意一点，
所以一十I一l，
为g(O)：a+b，极小值为g(“)一一a。+“+b—
b一-厂(“)．
过点(“，2))切线有三条，则三次方程2￡一
3at。+a+6—0有三个不同的实数根，即函数g(￡)
与横轴有三个公共点．所以
b--((ag(abf(a0
所以一“<厶<1)
一)<
f(a)．
点评：本题主要考查导数的几何意义一切线、
单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数
性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数
形结合、问题转化等数学思想方法和分析问题、解
即一b2，故．：6z．
a_Xo
类似地，可以得到以下性质
性质2已知椭圆x21_y2一l(n>6>o)的
·“
短轴上下两个端点分别为B。、B：，中心为0，设P
为椭圆上与B、B：不重合的任意一点，如果BP、
B：P与z轴分别交于点M、N，贝0．一“z．
性质。已知椭圆+一(“>6>o)的
长轴左右两个端点分别为A、A：，中心为0，P为数l
轴上任意一点(除去原点)，如果A-尸、AzP与椭l圆分别交
于点B-、Bz，且直线AB2、zB-交于点学I
Q，则·一b。．l
证明：设P(0，)，并设B(z。，Y。)，根据椭圆．
的对称性可以得到：B：(一z。，。)，且直线AB：、藿
A：B，交于点Q位于轴上，记Q(O，7z)．矗j于A、
B2、Q三点共线，所以得到7''1一y0，(1磊l呈
又由于AP、Bl三点共线，l青所以得到一—萼一，(2)-
’丫一丫-’丫—丫—丫—丫—丫—r—丫丫—丫—丫—
决问题的能力．
3思考和建议
利用导数作为工具来研究函数的单调性、极
值以及图像与z轴交点的个数已成为近年来高考
命题的重点、热点和难点．由于三次函数的导函数
是二次函数，因此，考查三次函数能把导数的有关
知识和二次函数的问题巧妙地结合起来，具有一
定的综合性和很好的区分度，所以，全面认识三次
函数的图像与性质，对于备战高考意义重大．同
时，几何画板软件为我们了解和研究三次函数的
图像与性质提供了一个有利的平台．
备课参考
将(1)与(2)两式相乘得到：一
即枷：为．。
由于点B(。，Y。)在椭圆上，
所以芋+等一p％，
所以mn：6z，而．‘=嬲，
即．一6z．．
类似地，可以得到以下性质
性质4已知椭圆x2
十
y2
=l(a>6>o)的
短轴上下两个端点分别为B、B：，中心为0，P为
轴上任意一点(除去原点)，如果BP、B：P与椭
圆分别交于点A、A，且直线BA。、B：A交于点
Q，则．一nz．‘
性质5已知椭圆xz卞yZ=1(以>6>o)的
长轴左右两个端点分别为A、A：，中心为o，过椭
圆上任意一点P(除去点A、A。)作椭圆的切线交
直线X=一n与X=n分别为M、N两点，则
．：b2。、
证明：设P(x。，Y。)，根据复合函数的求导法
则可知(对Y求导)：
窘+一o，所以一．，
再根据导数的几何意义，过椭圆上点P的切
线的斜率为：是一{工。一一，
所以过P点的切线方程为
一：一
b''
，
xo(一XoYoXXo)，化简后得到：一=一
．
一，化同厉侍到：
nyo
122YoY—n。Y0。：一b2X0X+b2X0。，
即n。YoY+b2X0X=n。Y0。+b2X0．
由于点P(x。，Y。)在椭圆上，
个^●。
所以+告一l，
所以n。Yo。+b。Xo。===n。b。，
故经过P点的切线方程为
’Ⅱ。yoY+b2XoXⅡb。。
然后将过P点的切线方程方程
X=一n与X—n联立，可以求出
nY0
0．)，所以
nY0
．一±．：
nYoayo
，由于点P(Xo,yo)枉椭圆上，
所以+一1，‘
即一b2，故．：b2。
n。一Xn。
类似地，可以得到以下性质
性质6已知椭圆+百yZ一1(n>6．>o)的
短轴上下两个端点分别为B、B2，中心为0，过椭
圆上任意一点P(除去点B、B：)作椭圆的切线交
直线Y：一b与Y：b分别为M、N两点，则
瓦．一nz
性质7已知椭圆+百2''5=1(Ⅱ>b>o)的
左右两个焦点分别为F、F2，中心为0，过椭圆上
任意一点P作椭圆的切线z，点F、F2在切线z上
的射影分别为点M、N，则．一b。．
证明：由性质5的推导过程可知，过点P的切
线z的方程为bzXoX+n。YoY—n。b。=0．
由于FM上z，故点F(一c，0)到切线z的距
离为：d一丝型，、／／
60。+nY0。
又由于F2N上z，故点F(c，O)到切线z的距
，
考虑到与具有相同方向，
所以．一d．d：一
lbC2"X0。一nbl’
6勘。+ⅡYo’
考虑到C一n一b，代入(1)后得到：
．嗣一d．d：：
=：=l—
b4X0。+nY0。一
．(2)bXo。+nY0。’
由于点P(x。，Y。)在椭圆上，所以+告以D。
=1，所以Ⅱ。Y0。+b。z0。：’n。b。，
即口‘b。一Ⅱ。b。Xo。一nyo。，然后代入(2)式后
得：莉·莉一
0Xo
-62．
。十Ⅱ‘V0。
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