·24·中学教研(数学)2008年第l期
化中的前提条件，则必会导致解题的错误．
例5函数Y=+一9的值域为()
A．(一∞，O)U(0，+∞)B．[3，+∞)
c．[3，+)u[一3，0)D．(一，0]
错解求原函数的值域可转化为求反函数的定义域，
而厂。()：，故选A．
正解上述解答错误的原因在于转化不等价．事实上，
在求反函数时，对方程Y—=一9两边平方，得
(Y—)=X2—9．
这样转化并不等价，而应附加条件y≥，即y≥，由此
可得，，≥3或一3≤y
6运算中的转化不当
运算是数学的特征之～，每一种运算都有其相应的前
提条件．若不注意其成立的前提条件，则必会进入解题的误区
例6函数y=sinx(+tanxtan寺)的最小正周期为
()
A．B·2qrC．詈D．
错解原式可化为Y=tanx，即最小正周期为故选丸
正解当=0时，函数有意义；但当=叮r时，函数无
意义．故为B．
7分类讨论中的转化不当
分类讨论是一种极其重要的数学思想．在数学的解题
过程中，若能充分利用，从思想的高度来看待问题，则必能
高屋建瓴，产生“会当凌绝顶，一览众山小”之感．
例7不共面的4个定点到平面的距离都相等，这样
的平面共有()
A．3个B．4个C．6个D．7个
(2005年全国数学高考试题I)
错解不共面的4个定点构成一个四面体，易知4个
中截面符合条件，故选B．
正解由于4个定点肯定位于的2侧，而上述求得
的平面的2侧分别是1个点与3个点，那么2侧能否分别
都是2个点呢?事实上，经过四面体对棱的公垂线段的中
点且与对棱平行的平面也符合条件，这样的平面有3个，因
而共7个．故选D．
8选择类比对象中的转化不当
人们在解决问题时，常会把感悟到的新知与已有的信
息进行类比，然后找出相通之处，并迅速内44．这需要找准
类比对象，才能避免产生错误．
例8已知，(n)=n+An(n∈N+)单调递增，则A的
取值范围为()
A．[一2，+∞)B．(一2，+∞)
C．[一3，+∞)D．(一3，+∞)
错解对于函数，()=+hx(≥1)单调递增，则对
称轴在=1的左侧，即一÷《1，A≥一2．故选A．
正解上述解答错误的原因在于类比对象选择不当．
事实上，本题中的n为正整数，对称轴应位于区间[1，2]中
点的左侧，即一÷<÷，解得A>一3．故选D．
9模型选择中的转化不当
在解决问题时，若一时难以直接突破，常需构造出与之
相关的模型，借此转化条件，增加解题途径，也许能快速地
寻求出解题的突破口．
例9A，B，C，D，E五个人站成一圈传球，每人只能传
给他的邻人(左、右不限)，A传出(算第1次)后经过1O次
传球又回到A的概率为()
A．B．志c．暴D．
错解A传出后经1O次传球总的可能情况为2，其中
又回到A的为4种情况：向左连续传1O次；向右连续传1O
次；向左连续传5次再向右连续传5次；向右连续传5次再
向左连续传5次．故选A．
正解不妨构建模型，向左记为一1，而向右记+1，经
1O次传球又回到A，意味着1O个数的和为1O的倍数，从而
必有5个+1、5个一1或1O个+1或1O个一1，即它的可能
情况为。+2，因此兰：
．故选C．
与弦相关的一个“优"点
●何根治(浙江宁波市鄞江中学315151)
在圆锥曲线中。过焦点的弦与准线和对称轴的交点之
间具有许多优美的性质．事实上，圆锥曲线的任意弦都存在
相关的一个“优”点，即具有以下性质：
性质1在椭圆+鲁=1(口>b>o)中，AB是过点
口D
(m，o)的弦，则在对称轴上存在一个点J7、r(，o)，使得
kN+kBN=0．
证明(1)当ImI<口时，设A(。，Y。)，B(x：，Y2)，如图
1，则点曰关于轴的对称点
曰(，一)也在椭圆上，直线
AB交轴于点Ⅳ(n，0)．由椭
圆对称性知，ANBB为等腰三
角形，因此MN平分／_BNB．
下证点J7、r，(11,，0)与点
-
图1
2008年第1期中学教研(数学)·25·
Ⅳf旦-，01重合，即n=．、m，m
-dl~AB的方程为y—y。=÷(—。)，且直线AB
：；(1)
yl+Yz
直线A的方程为y—y=三(—。)，且直线AB过点
m：．(2)
Y2一Y
设椭圆参数方程为fa，c．os0(0为参数)，令t。=tan孚，Yt~smO设椭圆参数方程为{，．(为参数)，令。=tan，L=厶
￡：tan—
02
，由万能公式可得
r；和r；
，【=．
代人式(1)，得
代人式(2)，得
a(1一tlt2)
1’
a(1+t1t2)
m
消参解得n=az
，从而点(n，0)与点N(a__Lm，0)重合，故存，，
在点Ⅳ(鲁，。)，使得删平分ANB，即+Jj}BⅣ=。．
(2)当ImI>a时，设B(，一Yz)是点B关于轴的对
称点，则B(，一Yz)也在椭圆上．如图2所示，连结BA交
轴于点N(n，0)，直线MN平分
／_BNB．下面证明Ⅳ(n，0)与
Ⅳ(鲁，。)重合，即证明n=a2．证明
方法与(1)相同，可得MN平分
AANB的外角，故k^Ⅳ+kBⅣ=0．
～
”
毒
推论l在椭圆X2+：1图2
(n>b>0)中，AB是过焦点F(c，0)的弦，准线=与对
C
称轴的交点为Q(等，0)，则Jj}+Jj}。=0．
推论2在椭圆"7-+=1(n>b>0)中，焦点为
ao
F(c，0)，弦AB所在直线过准线=一a与轴的交点
Q(2，0)，则+‰=0．
推论3在椭圆x+鲁=1(n>b>0)中，AB是过点
M(m，0)的弦，点B关于轴的对称点为B，则对称轴上存
在一点Ⅳ(鲁，。)使得A，J7、，，B三点共线．
例1椭圆x+鲁=1(n
“U
b>0)的离心率为e，焦点为F(C，
2
0)，右准线=旦-与轴的交点为
C
Q，弦AB所在直线过点Q．若直线
AB的斜率为k，且赢．商：0，则
2=e．
●
r
图3
证明弦A所在的直线过点Q(，0)，则由推论2
可知，：一Jj}船．因为赢．一FB=0，所以FA_I_FB，因此可得
k=1，k船=一1(如图3)．直线AB的方程为
y()，
代人椭圆方程得
2
—
2a4kz
+等。．(3)
设A(，Yz)，B(，Yz)，则，为方程(3)的2个根，因此
=·．㈩t¨‘丽’
又Yl=l
：Jj}
n
C
1
【矿
n一e
f-‘；
解得{a2Jj}+e2ael
【‘’
所以=等(k-e2+kJj}++e2~(5)
由式(4)，式(5)，可得
(e一1)·(e一2k)=0．
又因为e一1≠O，所以e=2k2．
性质2在双曲线一鲁=1中，弦AB所在直线过点
M(m，0)，则存在一个点Ⅳ(2，0)，使得Jj}M+Jj}=0．
(证明方法与性质1类似)．
推论4在双曲线一号=1中，AB是过焦点F(c，0)
aD
的弦，准线=2与对称轴的交点为Q(等，0)，则Jj}+
毒
毒
·26·中学教研(数学)2008年第1期
J}oB=0．
推论5在双曲线一鲁=1中，焦点F(c，0)，弦AB
所在直线过准线=詈与轴的交点Q(等，0)，则J}+
krs=0．
推论6在双曲线一鲁=1中，AB是过点(m，0)
的弦，点B关于轴的对称点为，则在对称轴上存在一个
点Ⅳa一，0)，使得A，Ⅳ，三点共线．
性质3抛物线=2px(p>0)的弦AB所在的直线过
点M(m，0)，则对称轴上存在一点N(一m，0)，使得+
J}=0．
推论7抛物线y2=2p''x(p>0)的弦AB所在的直线过
点M(m，0)，点B关于轴的对称点为B，则在对称轴上存
在一点Ⅳ(，0)，使得，Ⅳ,B''---"点共线．
证明过程见文献[1]．
例2如图4，过抛物线=4y的对称轴上任一点
P(0，m)(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点
P关于原点的对称点，设点P分有向线段所成的比为A．
证明：上(一A)．
(2004年湖南省数学高考试题)
证明由题司知是厶4的
平分线，四~此．la---61=—=A，可得
：A：．又点P分有向线段所
成的比为A，则=，从而
．(一A)
J
||，a
0呻
=(+A)·(一A)
=()=0，
故PQ上(QA—AQ廖)．——-…
参考文献
图4
[1]苏立标．聚焦椭圆准线与对称轴的交点的性质．中学
数学，2006(9)：24-25．
不妨回到最朴素的判定方法
——也谈二面角与其2个半平面的法向量夹角的大小关系
●王克亮(江苏射阳县教育局教研室224300)
拜读了文献[1]与文献[2]后，结合自己的教学实践，
笔者对如何利用向量工具求解二面角的大小提出了自己的
一些观点，在此与大家共同探讨．
文献[1]提供了运用共线向量的一个充要条件来求二
面角大小的方法，这种方法避免了判定所得到的2个向量
的夹角与二面角的大小关系，有一定的优越性．但笔者发
现，如果在课堂上同时介绍这种方法以及另一种用半平面
的法向量的求解方法，那么在课后的作业中，绝大多数的学
生会选择第2种方法．因而在教学中，笔者通常更侧重于介
绍法向量的求解方法．原因有：(1)解题思想简单，学生易于
接受．(2)运算量小．在利用向量工具进行计算时，若有一个
数字写错或算错，就会导致结果不正确，因而运算量小就意
味着出错率低．而在求2个半平面的法向量时，一般只要求
写出3个向量(棱向量，2个半平面内再各选一向量)，即4
个点的坐标即可．(3)在新课程的教材选修2-1中，此法是
书中重点介绍的必修内容．
用半平面的法向量来求解二面角的大小，这是值得注
意的、也是学生易于忽略的一个环节，必须要指出2个法向
量所成的夹角与所求二面角间的大小关系．
如何判定所求得的2个法向量的夹角与二面角间的大
小关系是相等还是互补，文献[2]给出了“检验向量”法这
确实很有创意，但美中不足的是又向学生多介绍了一个概
念，增加了学生的记忆负担．
笔者认为，方法越是朴素就越自然，越是自然就越易于
理解，越易于理解就越有利于学生掌握．在教学中，对于上
述关系的判定，笔者回到了最朴素的状态，实践证明收效不
错．其思想与步骤为：
(1)根据所解得的法向量的坐标，确定2个法向量的指
向(不妨都以坐标原点为起点，以2个坐标对应的点分别为
终点)；
(2)利用向量可自由平移的性质，将它们的位置关系化
归为下面的4种情形之一，如图1所示；
(3)根据“同性互补，异性相等”的原则，确定2个法向
量的夹角与所求二面角间的关系．即在图1(1)与图1(2)
|
|
