数学加第03讲 实数的若干性质和应用

第三讲实数的若干性质和应用

实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．

(零不能做除数)是封闭的．

1任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．

1









100得



-①得

99x=261.54-2.61=258.93





无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．

2设a为有理数，b为无理数，则

(1)a+ba-b是无理数；







(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．

2







证





所以















p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得

4m22q2，q2＝2m2，





4若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．



(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则





反之，显然成立．



是无理数，并说明理由．



整理得



4知

aAb，1=A，



有理数作为立足点，以其作为推理的基础．

6已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．



a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以







7已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？







即



由①，②有





a＜α＜b成立．



b4+12b3+37b2+6b-20



(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．



14=9+6b+b2b2+6b=5．

b4+12b3+37b2+6b-20

=(b4+26b3+36b2)+(b2+6b)-20

=(b2+6b)2+(b2+6b)-20

=52+5-20=10

9求满足条件



a，x，y．







由①式变形为







两边平方得









10设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…an…是有理数．

0.a1a2a3…an…是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．

an的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，说明0.a1a2…an…是由20个数字组成循环节的循环小数，即



ak+20=ak．

f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而

f(n+20)-f(n)

=(n+1)2+(n+2)2++(n+20)2

=10(2n2+42n)+(12+22+…+202)．

12+22+…+202是10的倍数，故ak+20=ak成立，所以0.a1a2…an…是一个有理数．

练习三

1







5+βγ=0，求证：

α=β=0．



















为数学加分