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| 数学加第05讲 恒等式的证明 |
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第五讲恒等式的证明
代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．
两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．
把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．
证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．
1
(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．
1已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．
x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．
x+y+z=xyz，所以
=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)
=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2
=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)
=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)
=xyz+xyz+xyz+xyz
=4xyz=
2已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且
1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则
又因为
所以
所以
k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．
2
a=b()．这也是证明恒等式的重要思路之一．
3求证：
-右=0．本例中，
b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．
所以
所以
全不为零．证明：
(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)
所以
(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．
3
根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．
a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证
a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc
ab=ac+bc，
c(a+b)=ab，
只要证
这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．
6已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．
a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0
所以
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0
(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以
a2-b2=c2-d2=ab-cd=0
(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以
ab，c=d．
所以
ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0
a＝c．故a=b＝c=d成立．
4
8a+9b+5c=0．
a+b=k(a-b)b+c=2k(b-c)，
(c+a)=3k(c-a)
所以
6(a+b)=6k(a-b)
3(b+c)=6k(b-c)
2(c+a)=6k(c-a)
6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)
=6k(a-b+b-c+c-a)
8a+9b+5c=0．
k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．
8已知a+b+c=0，求证
2(a4+b4+c4)(a2+b2+c2)2．
a+b+c=0的条件．
-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2
=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2
=(a2-b2-c2)2-4b2c2
=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)
=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]
=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0
a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．
10证明：
(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3
=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)
y+z-2x=a，①
z+x-2y=b，②
x+y-2z=c，③
则要证的等式变为
a3+b3+c3=3abc．
联想到乘法公式：
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0
a3+b3+c3-3abc=0，
所以
(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3
=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)
11设x，y，z为互不相等的非零实数，且
x2y2z2=1．
x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的
x2y2=1．三元与二元的结构类似．
x2y2z2=1．
总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．
练习五
1(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．
2
(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3
=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)
3
5
6x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：
x=y=z或x+y+z=0．
7an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：
(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)
为数学加分
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