第七讲根式及其运算
二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．
二次根式的性质：
二次根式的运算法则：
a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．
1化简：
法是配方去掉根号，所以
x-2＜0，1-x＜0，所以
=2-x+x-1=1．
a-b-a+b-a+b=b-a．
2化简：
1配方法．
x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则
2待定系数法．
4化简：
(2)
2，可以看成
②×③×④得
(xyz)2=57×35=352．
x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以
xyz=35．⑤
z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以
=x，则
1利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．
(x-4)(x24x＋10)＝0．
因为
x24x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，
x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．
2
2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．
8化简：
(1)
本小题也可用换元法来化简．
x，y的特征有
3x2-5xy3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy
3(x＋y)2-11xy
3×102-11×1＝289．
11求
A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以
A(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1
(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1
(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1
(2256-1)(2256＋1)＋1
22×256-1＋1＝22×256，
的值．
x，利用根号的层数是无限的特点，有
两边平方得
两边再平方得
x4-4x24＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．
x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有
(x1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．
练习七
1
2
3
为数学加分
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