1
增强模型意识，口算解题不再是梦想
新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。一套是传统思路，以欧
式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题
解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完全
转化成代数问题，再通过方程来解决问题。
在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法，
力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几
个模型：
1、长方体的“一角”模型
在三棱锥PABC?中，,,PAPBPBPCPCPA???，
且,,PAaPBbPCc???.
①三棱锥PABC?的高
222222
abch
abbcca???
证明：设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点
一定在BC上，连结PD.在△PAD中：
22
222222
22
22
()
()
bca
abcbcPH
bcabbccaa
bc
?
???
???
?
②,,PBCAPCABPABC??????二面角的平面角分
别是：
222222arctan,arctan,arctanabcbaccab
bcacab???
.
例1、四棱锥PABCD?中，底面ABCD是边长为2的正方形，
,1PAABCDPA??面，求ADPB??的大小.
分析：考虑三棱锥APDB?，它就是模型1－长方
体的“一个角”.本来我们可以利用结论②
解：设二面角ADPB??的大小为?.
P
C
B
A
c
b
a
D
H
P
C
B
A
c
b
a
P
D
C
B
A
2
则：221216tan
212ABPAADPAAD??????????
，故6arctan
2??
我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起
来就变得很轻松了.
例2、直二面角DABE??中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝
BE，求B点到面ACE的距离.
分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直
二面角，BC⊥面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因
为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.
在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF
在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂
直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂
直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环
境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状.
补充图形，在正方体1111ABCDABCD?看问题.在这
里看直二面角的局部图形.
问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O
点到面AB1C的距离.
因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求B
到面ACB1的距离即可，
考虑三棱锥B－ACB1，它是模型2.
3
14
2232,3
23BCBABBBF????????
所以，D到面ACE的距离为23
3
.
点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把
局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方
形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方
体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B－ACB1，那么这个角的模型更高，
O
D1C
1
B1A1
F
E
D
C
BA
E
DC
BA
3
这就使我们在运算过程中得以简化.
所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松.
例3底面为ABCD的长方体被截面
AEC1F所截，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE
＝1（见图），求C点到面AEC1F的距离.
分析：这也是一道高考题，在评分标准
中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的
空间模型，再对这道题解解看.
解：延长C1E交CB延长线于M，延长CD，交C1F延长线于N，C－C1NM
是模型2.
因为13,,3
21CCCMCMCMCNBCBECM?????
同理13,,12
42CCCNCNCNCNCDDFCN?????
.
所以，C到面C1MN的距离为：3312433
119991449144????????
.
2、公式12coscoscos?????的几何模型
PBPA?????平面，是的斜线,B,AB是PB在?内的射影，BC是?内一条
直线12,,,PBCPBAABC?????????则有12coscoscos?????.
大家要注意搞清楚那个是?，那个是1?，那个是2?，实际上只要搞清那个是
?，另外两个就是12,??.
特别的，?内的直线不一定过B，如上面的右图所示：
N
M
E
D
C1
F
C
B
A
D
?2
?1
?
?
P
C
B
A
?2
?1
?
?
P
C
BA
4
在直线AB上有一点D，过D在?画一直线DC，则?是直线PB与DC所
成的角，
12,.PBAADC??????
则
12coscoscos?????
那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB和DC的成角.
例4EA⊥面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，EA＝1，在AC上是
否存在P点，使PE、BC成60?角.
分析：1
2
EPA
APM
EPM
?
?
?
??
??
??
coscoscosEPAAPMEPM?????
即
2
12,22
1
AP
AP???
所以11
2APAC??
.
可见AC中点即是要找的点P
例5长方体1111ABCDABCD?中，AB＝2，AA1＝1，BD与面AA1B1B成
30°角.AE⊥BD于E，F为A1B1的中点，求AE，BF成角.
解：12coscoscoscos45cos(9030)??????????
＝212.
224??
所以AE，BF成角为2arccos
4
.
这样的一个题目，最重要的是位.在高考评分标
准中，都要有很长的解题过程中.
这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来
源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减
少空间.
3、双垂四面体模型
如图3，四面体A－BCD，AB⊥面BCD，CD⊥面BCA，这种四面体构成
许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：
P
N
M
D
C
B
A
E
D1
C1
B1
A1
F
E
D
C
B
A
5
①coscoscosADCADBBDC?????；
②以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、
BC为棱的二面角的平面角，分别是DBC?与ACB?
③以AD为棱的二面角为?，则cosABCD
ACBD????
；
④对棱AB与CD垂直，且BC是它们的公垂线；
⑤对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为?，
则cosBC
AD??
例3如图4，ABCD是上下底长分别为2和6，高为3
的等腰梯形，将它沿对称轴OO1拆成直二面角，如图5.
（1）证明：AC⊥BO1；
（2）求二面角O－AC－O1的大小.
解：（1）略
（2）∵平面AOO1⊥平面OO1C，又∵AO⊥O1C，∴AO
平面OO1C，同理CO1⊥平面AOO1，四面体AOO1C是一个
双垂四面体，若二面角O－AC－O1的平面角为?，则
1
1
cosAOCOOCAO????，根据条件，从图5中可知AO＝3，OC＝2，
123AO?，CO1＝1，即可自得3cos4??.
例4如图6，直二面角D－AB－E中，四边形ABCD
是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平
面ACE.
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B－AC－E的大小；
（3）求点D到平面ACE的距离.
分析：当（1）证明后，我们很容易识别四面体A－EBC
是一个双垂四面体，若二面角B－AC－E的平面角为?，则
cosCBAEABCE????，由条件可以计算出AB＝CB=2,AE=2，6CE?，
图3
D
C
B
A
O1
O
图4
DC
BA
O1
O
图5
D
C
B
A
图6
F
E
DC
BA
6
∴3arccos
3??
.
值得注意的是此题的（3）并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平
面的距离等于它们的斜线长的比，∴点D到平面ACE的距离等于B点到平面
ACE的距离，也就是线段BF的长为
2223.
36EBBCEC???
利用典型立体几何模型解高考题
1．（本小题满分13分）如图，已知三棱锥OABC?的侧棱OAOBOC，，两两垂
直，且1OA?，2OBOC??，E是OC的中点．
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求异面直线BE与AC所成的角；
（3）求二面角EABC??的大小．
解：显然三棱锥OABE?和OABC?都是长方体一脚
模型，
（1）设O点到面ABC的距离为h，则由结论1—①，
222222
63OAOBOCh
OAOBOBOCOAOC
????
?????
（2）设BE与AC所成的角为?，则由模型二coscoscosOEBACO?????，
由勾股定理5ABACBE???，所以2cos
5ACO??
，1cos
5OEB??
故2cos
5??
，2arccos
5??
（3）设二面角EABO??、CABO??、EABC??的大小分别为,,???，
则?????，由结论1—②，
22tan5OCOAOB
OAOB??????
，225tan
2OEOAOBOAOB??????
所以tantan5tan
1tantan7??????????
2、（本小题满分13分）
Ａ
ＯＥ
Ｃ
Ｂ
7
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是
AB上一点，PE⊥EC.已知,
21,2,2???AECDPD
求二面角E—PC—D的大小.
解：过E点作EGCDG?于，G过点作
FGCDGEF?于，连结，则显然三棱锥
GCEF?是长方体一角模型，设二面角E—PC—D的
大小为?，
则由结论1—②可知：
22tanEGCGFG
CGFG?????
，下面就只剩下计算问题了
因为PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE是PE在面ABCD内的
射影，故由三垂直线定理的逆定理知：EC⊥DE，设DE=x，因为
△DAE∽△CED，故1,1,2????xx
xCDAEx即
（负根舍去）.从而DE=1，故
有勾股定理3
2ADEG??
，
32CGCDDG???，又因为CGFGCDDP?，所以324CGDPFGCD???，故
22tan1EGCGFG
CGFG??????
，二面角E—PC—D的大小为.
4?
3、（本小题满分13分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、
C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=2，BB1=2，BC=1，∠BCC1=
3?
，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；
（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.
解（Ⅰ）显然四面体1ABEB?是双垂四面体模型
由结论3—④，BE是异面直线AB与EB1的公垂线
在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=24x?，
P
DC
BEA
G
F
C!
B!
A!
E
B
C
A
8
作BD⊥CC1，交CC1于D，则BD=BC·.
233sin??
在△BEB1中，由面积关系得0)3)(1(,
23221421222???????xxxx即
.
3,1????xx解之得（负根舍去）
,33cos21,,322???????CECEBCEx中在时当
解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去3?x.
因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1.
（Ⅱ）先求二面角1AEBB??
由结论3—②，二面角1AEBB??的大小为AEB?，由于AB=2，1BE?
故tan2AEB??，又二面角11ABEB?是直二面角，故二面角A—EB1—A1
的平面角的正切值为2
2
.
巧妙利用典型的立体几何模型可以很轻松地解决一些复杂的高考题，在平时
复习是我们应该不断总结，总结有哪些典型的立体几何模型可以用于解题，这样
才能提高解题能力。
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