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2015年马鞍山市高中毕业班第次教学质量检测
高三文科数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．
2．答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．
（1）已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为()
A．{－1，2}B．{－1，0}C．{0，1}D．{1，2}
【答案】
（）设是虚数单位，复数()．
A．B．C．D．
【答案】
（3）()
C． D．
【答案】B
（4）() B.5 C.6 D.7
【答案】（5）已知是圆上的三点，若，则与的夹角为（▲）
A. B. C. D.【答案】D
（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为（表示），图中粗线画出的是某零件的三视图，则的积为（▲）
A. B.
C. D.
【答案】（7）被直线截得的劣弧长为(▲)net]
A． B． C． D．【答案】C（8）满足，则事件与的关系是
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．以上说法都不对
【答案】D（9）：，则的为(▲)net]
A． B． C． D．
【答案】B（10），其中，则下列关于的说法正确的是(▲)
A．若函数在区间内只有一个零点，则必有
B．若函数在区间内有两个零点，则必有
C．若函数在上有两个零点，则必有
D．若函数在上有两个零点，则存在实数，使得
【答案】
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．
（11）与抛物线相切，则.
【答案】
（1）已知等比数列满足，则的最小值是.
【答案，由条件知，
（13），则.
【答案，．
（14）的三边和面积满足，则.
【答案】
（15），给出下列结论：
①为奇函数；
是的一条对称轴；
是的一个周期；
在上为增函数；
的值域为．
其中正确的是▲（写出所有正确的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分12分）已知的面积为2，且满足和的夹角为.
（）求的取值范围；
（）求函数的最值．
（16）【解】（）设ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
则由已知：，，………………………………………4分
可得，………………………………………………………………………6分
（）
……10分
（），，，
即，…………………………………………………12分
（17）（本小题满分12分）某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：
组号 分组 频数 频率 第1组 [160，165) 10 0.100 第2组 [165，170) 0.150 第3组 [170，175) 30 第4组 [175，180) 25 0.250 第5组 [180，185) 20 0.200 合计 100 1.00
（）求频率分布表中、位置相应的数据，并完成频率分布直方图；
（）为了对比研究学生运动量与身高关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？
（）在（）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？
【命题意图】（17）【解】（）由题可知，
第2组的频数为（人）…1分
第3组的频率为……………2分
频率分布直方图如:……………5分
（）因为第、5组共有名学生，所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生，每组分别为:
第3组:人…………………6分
第组:人…………………7分
所以第、5组分别抽取3人、人．
（）设第组的3位同学为第组的位同学为，则从位同学中抽位同学有种可能
……………………………10分
其中第组的位同学至少有一位同学入选的有至少有1名学生来自第5组的概率…………………12分
（18）（本小题满分12分）
如图，多面体中，为正方形平面，，分别是的中点，，
（）证明：平面；
（）求多面体的体积．
【命题意图】考查线面平行，体积计算，中等题．
【解】（）证明：连AC，BD，设AC，BD交于点O，连OH，OG．
四边形为正方形，，
又分别是的中点，
………………………4分
平面平面，平面
证明平面……………………6分
（）正方形，，
又，所以平面
所以
．
（19）（本题满分1分）设数列的前项的和.
（）求的通项公式；
（）设，求前项的和.
【命题意图】考查，中等题．
【解】（）（）………………………3分
又时，……………………………………………4分
故……………………………………………………………5分
（）由（）知:
………………8分
设
当为偶数时，，
此时………………………………………………………1分
当为奇数时，
，
此时…………………………………1分
（2）（本题满分13分）
，其中．
（Ⅰ）讨论函数在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当时，若存在，使得，求实数的取值范围．
【命题意图】考查，中等题．
（2），…………………………………………………2分
（Ⅰ）（1）若，对均有，
故为其定义域上的单调递增函数；…………………………………………3分
（2）若，当时，；
当时，；
故在内单调递增，在内单调递减．…………………………4分
（Ⅱ）由，，即存在使，
从而只需存在，使，
其等价于时，．………………………………………………7分
由（Ⅰ）知：
①当，即时，在上单调递增，
由，解得，
故；……………………………………………………………………9分
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减；
由，解得，
故；……………………………………………………………………11分
③当，即时，在上单调递减，
故，，舍去．……………………………………12分
综上，．………………………………………………………………13分
（21）(本题满分13分)已知椭圆的焦点是，，点在椭圆上且满足.
求椭圆的标准方程；
若为椭圆的下顶点，过点的两条互相垂直的直线分别椭圆于（与不重合）．试证明直线经过定点．
【命题意图】考查直线与圆锥曲线的位置关系，较难题.
（21），又
，
椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设，，显然直线的斜率存在，
设直线方程，联立方程组，
消去得：，
，，
∴，；
∴……………10分
；
（舍），或；
即直线经过定点．
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第（1）题图
第（4）题图
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结束
第（6）题图
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