一元二次方程
一、选择题
1、（2012年上海青浦二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（）
．；．；．；．．
答案：A
2、（2012年浙江金华五模）一元二次方程的解为▲．
3、方程的根是（
（A）（B）
（C）（D）
答案：D
4、函数y=ax2－2与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
答案：C
5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的个数是（）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
的根（）
A、B、C、 D、
答案：D
8、且满足
.则称抛物线互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法正确的是的最值为的最值为
答案：D
9、（2012山东省德州三模）方程(x-1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是（）
A．1，-2B．3，-2C．0，-2D．1
答案：B
10、（2012江苏扬州中学米，则下面所列方程正确的是（▲）
A．B．
C．D．
关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（）
A． B． C． D．或
关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（）
A． B． C． D．或
若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是D．0
答案：B
14(2012年初中升学调研．若关于的一元二次方程2ｘ+ｍ=0有两个相等的实数根，则的值是()
A．一B．0C．1D．2
已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,下列命题是真命题的有（）个.
①若a+b+c=0，则b2－4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为－1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根。
A．1B．2C．3D．0
的图象经过第二、四象限，若同时满足方程，则此方程的根的情况是
Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根
Ｃ．没有实数根 Ｄ．不能确定
答案：A
17、（2012年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）已知则k的值为------------------------（）
A．2B．－2C．±2D．0
答案：B
18、（2012年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）如果代数式x2+4x+4的值是16，则x的值一定是-----------------------------------（）
A．-2B．2-2C．2，-6D．30，-34
答案：C
19、（2011年上海市浦东新区中考预测）某单位在两个月内将开支从24000元降到18000元.如果设每月降低开支的百分率均为x(x>0)，则由题意列出的方程应是
（A）（B）（C）；（D）2011～2012学年x(x-2)=2-x的根是(★)
A．-1B．2C．1和2D．-1和2
答案D
二、填空题
1、（2012年福建福州质量检查）已知x＝－1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2－2mn＋n2的值为_____________．
答案：1
2、（2012年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）请给出一个二次项系数为1且两根均为正数的一元二次方程：（写出一般式）
的根为．
答案：
4、（2012年上海黄浦二模）方程的解是．
5、（2012年浙江金华一模）已知关于x的方程的一个根是1，则k=．
6、已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则+的值是
答案：
7、对于抛物线，当x时，函数值y随x的增大而减小。
答案：11.
8、已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．
答案：
9、两圆的圆心距，它们的半径分别是一元二次方程的两个根，这两圆的位置关系是2009年全国教育经费计划支出1980亿元，比200年增亿元，则全国教育经费增长率为的方程有两个相同的实数根，则的值是．
答案：
12、（2012江苏无锡前洲中学模拟）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是。
答案：m≤1
13、（2012江苏扬州中学某种品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是．扬州中学的一元二次方程有两个不相等的实数根，则化简代数式的结果为▲
答案：1
15、（2012江西高安）某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是
125%
16、（2012昆山一模）如果α、βα2＋2α－β的值是▲．
答案：5
17、(2012年，江西省高安市一模)某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是
的两个根，则三角形的第三边的取值范围是
答案：1＜c＜5
19、(2012年则___________.
答案:28
20．（2012年江苏海安县质量与反馈）设是方程的两个不相等的实数根，则的值为．已知x1、x2是方程x2＋4x＋2＝0的两个实数根，则＋＝_________x的方程有两个相等的实数根，那么a的值等于.
答案：2
23（马鞍山六中2012中考一模）．三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是
答案：6或12或10
24、（海南省2012年中考数学科模拟）方程2x2－x－5m=0有一个根为0，则它的另一个根是，m=。
答案：,0
25、（2012年上海金山区中考模拟）如果方程且有两个不等实数根，则实数的取值范围是．且
26、（2011年上海市浦东新区中考预测）关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是▲．
27、（盐城地区2011～2012学年2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为▲.答案x(x-1)=2070(或x2-x-2070=0)
28（盐城市第一初级中学2011～2012学年期中考试）小华在解一元二次方程时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是_▲_．答案0
29、(2012年普陀区二模)方程的根是．
30、(2012年普陀区二模)如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a的值等于▲.
答案：2
31、(2012年金山区二模)如果方程有两个不等实数根，则实数的取值范围是．且
32、(2012年福州模拟卷)已知x＝－1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2－2mn＋n2的值为_____________．
答案：1
33、(2012年福州模拟卷)方程x2＋3x－1＝0的根可看作是函数y＝x＋3的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3－x－1＝0的实数根x0所在的范围是
A．－1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜3
答案：C
三、解答题
1、（2012年江西南昌十五校联考）南昌市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.
（1）求平均每次下调的百分率.
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
答案：解：（1）设平均每次下调的百分率x，则
6000（1－x）2=4860…………………………………2分
解得：x1=0.1x2=1.9（舍去）
∴平均每次下调的百分率10%………………………………4分
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720元
方案②可优惠：100×80=8000元
∴方案①更优惠………………………………………………6分
x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
3、如图，一抛物线的顶点A为(2，－1)，交x轴于B、C(B左C右)两点，交y轴于点D，且B(1，0)，坐标原点为O，
(1)求抛物线解析式．
(2)连接CＤ、BD，在x轴上确定点E，使以A、C、E为顶点的三角形与△CBD相似，并求出点E的坐标．
若点M(m，1)是抛物线上对称轴右侧的一点，点Q也在抛物线上，点P在x轴上，是否存在以O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：EE
4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，直线恰好经过两点．
（1）求出抛物线的解析式，并写出物线的对称轴；
（2）点在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D若，求点的坐标.
答案：.解：（1）B(3,0),------------1分
抛物线过点，
解得
抛物线的解析式为．---------3分
∴对称轴为------------4分
（3）由．
可得．
，，，．
可得是等腰直角三角形．
，．
如图，设抛物线对称轴与轴交于点，
．
过点作于点．
．
可得，．
在与中，，，
．
，．
解得．
或者分类证明（△APE)得出(PE=3)类似给分。
点在抛物线的对称轴上，
点的坐标为或．-----------10分(求出一个P坐标给3分）
5、（2012江苏无锡前洲中学模拟）（2）解方程：
答案：（2）
6.（2012江苏扬州中学（配方法）
（
2）解：
……2分
………4分
7、(2012年吴中区一模)；
∴x-1=0,x+1=0……………………………………………………2分
∴x=1或x=-1………………………………………………………1分
9．（2012年江苏海安县质量与反馈）已知：矩形ABCD的对角线AC、BD的长是关于x的方程的两个实数根．（1）求m的值；（2）直接写出矩形面积的最大值．矩形ABCD的对角线ACBD得△=0，所以,所以m=3或-1,但AC、BD．
10.（2012年宿迁模拟）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．（1）k≤,（2）－3；．
答案：(1)(x＋3)(x－1)=0……………………(2分)
所以x1=－3，x2=1…………………(4分)
(2)原方程可化为x(x＋2)－（x2－4）＝1……………………(1分)
整理得2x=－3……………………(2分)
解得x＝－……………………(3分)
经检验原方程的解为x＝－……………………(4分)
12.(西城初三模．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
（1）填表(不需要化简)
时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价(元) 80 ▲ 40 销售量(件) 200 ▲ ▲ （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
（1）80－x，200＋10x，800－200－(200＋10x)；
（2）根据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000．
整理，得x2－20x＋100＝0，解这个方程得x1＝x2＝10，
当x＝10时，80－x＝70＞50．
答：第二个月的单价应是70元．
x的方程．
（1）方程有实数根k的取；
（2）当方程有两个相等的实数根时，求的整数根（为正整数）．
=
=
∵方程有两个不相等的实数根，
∴即
∴的取值范围是且．
（2）当方程有两个相等的实数根时，
△==．
∴．
∴关于y的方程为．
∴
．
由a为正整数，当是完全平方数时，方程才有可能有整数根．
设（其中m为整数），（、均为整数），
∴．即．
不妨设两式相加，得．
∵与的奇偶性相同，
∴32可分解为，，，，
∴或或或．
∴或或（不合题意，舍去）或．
当时，方程的两根为，即，．
当时，方程的两根为，即，．
当时，方程的两根为，即，．
14、[淮南市洞山中学第四次质量检测，17,8分]（8分）已知实数，分别满足，，且≠，求的值。
解：∵实数a，b分别满足a2+2a=2，b2+2b=2，
∴a，b是一元二次方程x2+2x－2=0两个不相等的实数根
由根与系数的关系得：a+b=－2,ab=－2
∴=(b+a)/ab=－2/(－2)=1
解：
（1分）
∴（各1分）
15、（2012年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）解方程：
答案：X=0或4(酌情给分)
16、（2011年上海市浦东新区中考预测）已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF=45°.
（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DFBE=x，DF=yE为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系.
（4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2.问⊿EGF与⊿EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，请说明理由.
.（1）猜想：EF=BE+DF.……………………（1分）
证明：将⊿ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得⊿ABF′，易知点F′、B、EF′=AF，
∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF，
又AE=AE，
∴⊿AF′E≌⊿AFE.
∴EF=F′E=BE+DF.……………………（1分）
（2）由（1）得EF=x+y
又CF=1-y，EC=1-x，
∴.…………（1分）
化简可得.………（1+1分）
（3）①当点E在点B、C之间时，由（1）知EF=BE+DF，故此时⊙E与⊙F外切；
……………………（1分）
②当点E在点C时，DF=0，⊙F不存在.
③当点E在BC延长线上时，将⊿ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得⊿ABF′，图2.
有AF′=AF，∠1=∠2，，∴∠F′AF=90°.
∴∠F′AE=∠EAF=45°.
又AE=AE，
∴⊿AF′E≌⊿AFE.……………（1分）
∴.…（1分）
∴此时⊙E与⊙F内切.……………（1分）
综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切；当点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切.
（4）⊿EGF与⊿EFA能够相似，只要当∠EFG=∠EAF=45°即可.
这时有CF=CE.…………………（1分）
设BE=x，DF=y，得
.
化简可得.……………………（1分）
又由EC=FC，得，即，化简得
，解之得……………………（1分）
（不符题意，舍去）.……………………（1分）
∴所求BE的长为.
16、（盐城地区2011～2012学年x的方程kx2=2(1-k)x-k有两个实数根，求k的取值范围.
解（2）原方程可化为kx2-2(1-k)x+k=0，b2-4ac=4-8k，……2分
∵方程有两个实数根，∴b2-4ac≥0，即4-8k≥0，∴k≤1/2.……3分
∵k≠0，∴k的取值范围是k≤1/2，且k≠0.……4分
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备用图
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