二次函数的图象和性质
一、选择题
1、（2012年浙江金华一模）抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）
A．B．C．D．
2、．抛物线的顶点坐标是（）
A．（－1，－1）B．（－1，1）C．（1，1）D．（1，－1）
3、（2012年浙江金华五模）将抛物线向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（▲）
A．个单位B．1个单位C．个单位D．个单位
抛物线的对称轴是（▲）
Ａ.直线x=－2B.直线x=2C.直线x=－3D.直线x=3
如图，四边形ABCD中，BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A． B． C．D．（）
答案：D
7.（2012年江苏海安县质量与反馈）将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是
A．y=2x2+2B．y=2x2－2C．y=（x－2）2D．y=2（x+2）22012年江苏沭阳银河学校质检题）下列函数中，是二次函数的是（▲）
A、B、C、D、
答案：B.
9.（2012年江苏沭阳银河学校质检题）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知：
x … -2 -1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 下列说法①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），②函数的最大值为6，③抛物线的对称轴是直线x=，④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，正确的有（▲）
A、1个B、2个C、3个D、4个
答案：C.
10.马鞍山六中2012中考一模）．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（b＋c）x
在同一坐标系中的大致图象可能是（）
A．B．C．D．
答案：A
11.（2012荆州中考模拟）．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
2012年初中升学调研．抛物线=一2-２与轴的交点坐标是()。
A．(一2，0)B．(0，-2)C．(0，l)D．(1，0)
13.（2012年中考数学新编及改编题试卷）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：
①方程的两根之和大于0；；
随的增大而增大；④，其中正确的个数（）
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个
14.（2012年中考数学新编及改编题试卷）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=，DE=，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是（）
15、（2012年山东泰安模拟）已知的图像如图所示，则的方程的两实根，则满足（）
A.B.
C.D.
答案：D
16、[淮南市洞山中学第四次质量检测，3,4分]二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）
A．a＜0 B．c＞0C．＞0D．＞0
抛物线经过平移得到，平移方法是（）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
18、（海南省2012年中考数学科模拟）抛物线y=x2向左平移8个单位，再向下平移9个
单位后，所得抛物线的表达式是（）
A.y=(x+8)2-9B.y=(x-8)2+9C.y=(x-8)2-9D.y=(x+8)2+9
答案：A
19.（海南省2012年中考数学科模拟）下列关于二次函数的说法错误的是（）
A.抛物线y=-2x2＋3x＋1的对称轴是直线x=；
B.点A(3,0)不在抛物线y=x2-2x-3的图象上；
C.二次函数y=(x＋2）2－2的顶点坐标是（-2，-2）；
D.函数y=2x2＋4x-3的图象的最低点在（-1，-5）
答案：B
20．（2012广西贵港）根据下列表格中的对应值判断方程（≠、、为常数）的是A．B．C．D．
答案：C
21．（2012广西贵港）已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（，），则ab有
A．最大值1B．最大值2C．最小值0D．最小值
，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是
A． B．C．D．
答案：D
23．y＝ax2x＋(a≠0)的图象,0),那么另一个交点坐标为（）（原创）答案,0)B．(,0)C．(,0)D．(,0)
24、（2012年浙江省金华市一模）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①＞0；
②；③＜；④＞1.其中正确的结论是（）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④答案：D
第题
D．x=
答案：D
26、（2012年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）若一抛物线y=ax2与四条直线x=1、x=2、y=1、y=2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是------------------------------------------------------------------------------------------()
A.≤a≤1(B.≤a≤2C.≤a≤1D.≤a≤2
答案：D
27、（2012年上海金山区中考模拟）二次函数图象的顶点坐标是……（）
（A） （B） （C） （D）
答案：A
28、(徐州市2012年模拟)抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（）
第15题图
答案：D
29.（盐城地区2011～2012学年x≤2）如右图所示.关于该函数在
所给自变量x的取值范围内，下列说法正确的是(★)
A．有最小值1，有最大值2B．有最小值-1，有最大值1
C．有最小值-1，有最大值2D．有最小值-1，无最大值
答案C
30.（盐城地区2011～2012学年y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是(★)
A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根
答案D
31、(2012年金山区二模)二次函数图象的顶点坐标是（）
（A） （B） （C） （D）
答案：A
32、(2012年南京建邺区一模)矩形ABCD中，cm，cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）
答案：A
33、(2012年香坊区一模)将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线()(A)(B)
(C)(D)
答案：A
填空题
1（河南省信阳市二中）．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m值为
答案：8
2、（2012年中考数学新编及改编题试卷）已知满足，，则关于x的二次函数的图像与轴的交点坐标为.
（-1，0）、（-2，0）
用配方法把化为的形式为
4、[淮南市洞山中学第四次质量检测，13,5分]开口向下的抛物线的对称轴经过点（－1，3），则m=
2012深圳市龙城中学质量检测已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④。其中正确的结论有_____个。
6、[河南开封2012年中招第一次模拟]抛物线的顶点坐标是。7．（2012年江苏南通三模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是____▲____．2012年江苏沭阳银河学校质检题）抛物线的顶点坐标是▲。
答案：(1,-4).
9.（2012年江苏沭阳银河学校质检题）如图，在平面直角坐标系中，
抛物线与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，
与y轴交于点C，且tan∠ACO=,CO=BO，AB=3，则抛物线解
析式为▲。
答案：y=x2-x-2.
10.（2012年宿迁模拟）抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝l，则b的值为_______
11、（2012山东省德州二模）抛物线的部分图象如右图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，．（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）
答案：答案不唯一
12、（2012山东省德州一模）当x时，二次函数y=2x2+12x+m(m为常数)的函数值y随x的增大而减小.
答案：x＜-3
13、（2012山东省德州一模）如果把抛物线y=2x2-1向左平移l个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是.
答案：y=2（x+1）2+3
14、(2012江西高安一模)抛物线y=x2+x-3的顶点坐标为．
15、(2012年，江西省高安市一模)抛物线y=x2+x-3的顶点坐标为．
16.(2012年吴中区一模)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点（－1，如图2－3，抛物线y＝－x2＋2x＋m(m＜0)与x轴相交于点A(x1,0)、B(x2,0)，点A在点B的左侧．当x＝x2－2时，y＜0(填“＞”，“＝”或“＜”号)．
图2－3
18、(2012苏州市吴中区教学质量调研)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点（－1，
给出四个结论：①abc<0；②2a＋b>0；③a＋c＝1；④a>1．其中正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）
答案：②③④
19、（海南省2012年中考数学科模拟）Y=-2(x-1)2＋5的图象开口向，顶点坐标为，当x＞1时，y值随着x值的增大而。
答案：下，（1，5），减小
20．（2012广西贵港）抛物线如图所示，则它关于轴对称的抛物线的解析式是．
答案：
21、（2012年浙江省杭州市一模）已知实数x，y满足，则x+y的最大值为。
答案：4
23、（2011年上海市浦东新区中考预测）将二次函数的图像沿y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数解析式为▲．
24、（盐城地区2011～2012学年y=x2+bx+c经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是▲（写出一个值即可）．
答案如-1，0(不惟一，在-2＜b＜2内取值均可）
解答题
1、（2012年，广东二模）如图2－10，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(－2，－1)，B(0,7)两点．
图2－10
(1)求该抛物线的解析式及对称轴；
(2)当x为何值时，y＞0?
(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C、D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．
解：(1)把A(－2，－1)，B(0,7)两点的坐标代入
y＝－x2＋bx＋c，得
，解得.
所以，该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋7，
又因为y＝－x2＋2x＋7＝－(x－1)2＋8，所以对称轴为直线x＝1.
(2)当函数值y＝0时，
－x2＋2x＋7＝0的解为x＝1±2，
结合图象，容易知道1－20.
(3)当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为(m，n)，
则n＝－m2＋2m＋7，即CF＝－m2＋2m＋7.
因为C、D两点的纵坐标相等，
所以C、D两点关于对称轴x＝1对称，
设点D的横坐标为p，则1－m＝p－1，
所以p＝2－m，所以CD＝(2－m)－m＝2－2m.
因为CD＝CF，所以2－2m＝－m2＋2m＋7，
整理，得m2－4m－5＝0，解得m＝－1或5.
因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取－1.
当m＝－1时，
n＝－m2＋2m＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4.
于是，点C的坐标为(－1,4)．
已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．
（1）求C1的顶点坐标；
（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；
解：（1）y=x2+2x+m=（x+1）2+m﹣1，对称轴为x=﹣1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，
与二次函数的图像交于点．
（1）求、的值；
（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
答案：（1）………………………………（2分）
……………………………………………（2分）
（2）对称轴:直线………………………（2分）
顶点坐标(1,-1)……………………（3分）
4、（2012山东省德州四模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4AB边上动点PA、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=xx为何值时，△APD是等腰三角形BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过C？若，求出相应的AP的长若不，请说明理由BC的长在什么范围内存在点P，使得PQ经过C．
答案：解：过D点作DHAB于H则四边形DHBC为矩形，
=BC=4，HB=CD=6∴AH=2，AD=2分AP=x，PH=x－2，
情况：当AP=AD，即x=2分情况：当AD=PD时，则AH=PH2=x－2，解得x=4·3分
情况：当AP=PD时，则DPH中，x2=42+(x2)2，解得x=5分
2、4、5时，△APD是等腰三角形分证：DPH∽△PEB………………………………………………………………7分，整理得：y=(x2)(8－x)=－x2+x－4………8分若存在则=BC=4，即y=－x2+x－4=4，整理得：x210x+32=0
∵△=(－10)2－4×32<0，原方程无解，分不存在PQ经过C……………………………………………………10分BC满足0＜BC3时，存在点P，使得PQ经过C……………………………12分x2－x＋a与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其顶点在直线y＝－2x上，
(1)求a的值
(2)求A、B两点的坐标
(3)以AC、CB为一组邻边作□ABCD，则点D关于x轴的对称点D''是否在该抛物线上？请说明理由．
答案：
6．（2012年江苏沭阳银河学校质检题）如图，已知二次函数图象顶点为C（1，0），直线与该二次函数交于A，B两点，其中A点（3，4），B点在y轴上，
（1）求m值及这个二次函数关系式；
（2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x轴垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；
（3）D为AB线段与二次函数对称轴的的交点，在AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由。
答案：
7（2012年宿迁模拟）如图，直线y＝x－1和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c
(3)设直线AB交抛物线对称轴与点D，请在对称轴上求一点P（D点除外），使△PBD为等腰三角形．（直接写出点P的坐标，不写过程）
(1)y=x2－3x+2(2)1
8.（2012年江苏通州兴仁中学一模）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且
A（一1，0）．1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，∴×(-1)2+b×(-1)–2=0，解得b=
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.y=x2-x-2=(x2-3x-4)=(x-)2-,
∴顶点D的坐标为(,-).
（2）当x=0时y=-2,∴C（0，-2），OC=2。
当y=0时，x2-x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0)
∴OA=1,OB=4,AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小。
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴，∴m=．
解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n,
则，解得n=2,.
∴.∴当y=0时，，
.∴.
9、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)二次函数的图像的顶点为A，与y轴交于点B，以AB为边在第二象限内作等边三角形ABC．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标．
（2）点在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
（3）以x轴上的点N为圆心，1为半径的圆，与以点C为圆心，CM的长为半径的圆相切，直接写出点N的坐标．
答案：（1）二次函数的图像的顶点A，与y轴的交点B，……（2分）
设直线AB的表达式为，
可求得，．所以直线AB的表达式为．……………（1分）
可得,∵,
∴．…………………………………………………………………（1分）
在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=4．
∴AC=4．点．………………………………………………………（1分）
（2）∵点C、M都在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，
∴∥AB．…………………………………………………………………………（1分）
设直线CM的表达式为，点在直线CM上．
∴直线CM的表达式为．………………………………………………（1分）
可得点M的坐标：．……………………………………………………（1分）
（3）点N的坐标，，，．
……………………………………………………………………………（4分）
10、(2012石家庄市42中二模)如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为（3，1），二次函数y=x2的图象记为抛物线l1．
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数表达式；
（3）设抛物线l2的顶点为C，K为y轴上一点．若S△ABK=S△ABC，求点K的坐标；
（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
答案：(1)（答案不唯一）
（2）
（3），
(4)3个
过点
12.马鞍山六中2012中考一模）．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点A(－2，0)、与y轴的交点为B(0，4)，且其对称轴与y轴平行．
（1）求该二次函数的解析式，并在所给坐标系中画出它的大致图象；
在二次函数位于A、B两点之间的图象上取一点M，过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、D．求矩形MCOD的周长的最小值和此时的点M的坐标．
答案：根据题意，点A（－2，0）是抛物线的的顶点，可设
所求二次函数的解析式为，
把点B（0，4）代入上式，得4＝4a，解得a＝1．
所以，．………………………………………………4分
函数图象略．………………………………………………………………6分
（2）设点M（m，n），－2＜m＜0，则
MC＝，MD＝n＝，………………………………8分
设矩形MCOD的周长
，
∵2＞0，∴当时，，………………………………10分
此时，．
所以矩形MCOD的周长的最小值，此时的点M的坐标，）．……12分
13.河南省信阳市二中）．（11分）已知抛物线的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形．
①求的值；
②设点A关于轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：．解：（1）由题意可得，解得
∴抛物线对应的函数的解析式为．………………………………3分
（2）①将向下平移个单位得：-=，可知A(1，-)，B(1-，0)，C(1+，0)，BC=2．……………………………6分
由△ABC为等边三角形，得，由＞0，解得=3．…………7分
②不存在这样的点P．……………………………………………………………8分
∵点D与点A关于轴对称，∴D（1，3）．由①得BC=2．要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC．
由题意，知点P的横坐标为1+2，
当=1+2时-m==，故不存在这样的点P．……………………………………………………………………11分
14、[淮南市洞山中学第四次质量检测，20,11分]（11分）已知抛物线y=ax2+4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A（－1，0），B（x2，0）。
（1）直接写出一元二次方程ax2+4ax+m=0的两个根：x1=，x2=
（2）原抛物线与y轴交于C点，CD∥x轴交抛物线于D点，求CD的值；
（3）若点E（1，y1），点F（－3，y2）在原抛物线上，你能比较出y2和y1;的大小吗？若能，请比较出大小，若不能，请说明理由。
解：(1)(4分)x1=－1，x2=－3
（2）(4分)∵抛物线y＝ax2+4ax+m的对称轴是x=－2，点C是抛物线y=ax2+4ax+m与y轴的交点，
∴C到对称轴的距离是2，又∵CD∥x轴∴CD的距离是点C到对称轴距离的2倍，即2×2＝4即CD的值为4。
（3）(3分)不能判断出y2和y1;的大小。因为抛物线y=ax2+4ax+m中a的正、负不能确定，也就不能确定抛物线的开口方向，抛物线是上升还是下降也就不能确定，因此y值随x值的变化也不能确定，所以不能判断出y2和y1;的大小。（意思回答对，就可以得分）（本题12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）过点C的直线y=kx+b与这个二次函数的图象相交于点E（4,m），请求出△CBE的面积S的值。
解：（1）(5分)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，
∴y=a（x－1）（x－5），把C（0，5）代入得：5=5a，解得：a=1，
∴y=（x－1）（x－5），即y=x2－6x+5，
∴二次函数的解析式是y=x2－6x+5．
（2）(7分)∵y=x2－6x+5，∴当x=4时，m=16－24+5=－3，∴E（4，－3），
设直线EC的解析式是y=kx+b，把E（4，－3），C（0，5）代入得：，解得：k=－2,b=5，
∴直线EC的解析式是y=－2x+5，
当y=0时0=－2x+5，解得：x=，∴M的坐标是（，0）∴BF=5－=，
∴S△CBE=S△CBF+S△BFE=××5+××3=10，
答：△CBE的面积S的值是10．
2012深圳市龙城中学质量检测在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线的解析式；(3分)
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(4分)
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.(3分)
1与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（解：(1)将A(1，0)B(－3，0)代中得
∴
∴抛物线解析式为：
(2)存在
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称
直线B与的交点即为Q点，AQC周长最小
∴C的坐标为：(0，3)直线BC解析式为：
Q点坐标即为的解
∴Q(－1，2)
（3）答：存在。
理由如下：
设P点
∵
若有最大值，则就最大，
∴
＝
＝
当时，最大值＝
∴最大＝
当时，
∴点P坐标为
18．（2012广西贵港）（本题满分12分）
如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为（，）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，
如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物
线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，
两点之间，问：当点运动到什么位置时，的
面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.
答案：解：（1）设抛物线为.
∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.
∴抛物线为. (2)答：与⊙相交证明：当时，，.
∴为（2，0），为（6，0）.∴.设⊙与相切于点，连接，则.
∵，∴.
又∵∴.∴∽.……6分
∴.∴.∴.…………………………7分
∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交.
解：过点作平行于轴的直线交于点求的解析式为.
设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.
∴.……………10分
∵,
∴当时，的面积最大为.此时，点的坐标为（3，）.
19.（2012年广东模拟）（本题8分）已知关于的二次函数与，这两个二次函数图象中只有一个图象与轴交于两个不同的点．
（l）试判断哪个二次函数的图象经过两点；
（2）若点坐标为，试求该二次函数的对称轴。（改编）
答案（）．（）=－m2－2<0，------------------分．．----------------分（）=3m2+4>0，．，．--------------------分（）（，）．=0．----------------------分，．．，---------------------7分，．-------------------分．(本小题满分)如图，＝x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（1）求；
（2）（3）
答案(本小题满分分)1）令，得，即，
解得，，所以．令，得，所以．
设直线AB的解析式为，则，解得，
所以直线AB的解析式为．………3分
（2）当点在直线AB上时，，解得，
当点在直线AB上时，，解得．
所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则．………4分
（3）当点在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）
，解得．
①当时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，
此时，，
又，
所以，
从而，
．
因为，所以当时，．
②当时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，
此时，，
又，
所以，
即．
其中当时，．………5分
5．（柳州市2012年中考数学模拟试题）
21.（12分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
（1）求的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：(1)∵点A(3,4)在直线y=x+m上，∴4=3+m.∴m=1.
设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.
∵点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，∴4=a(3-1)2,∴a=1.
∴所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x2-2x+1.
(2)设P、(3)存在.
解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.
∵点D在直线y=x+1上,∴点D的坐标为(1,2),∴-x2+3x=2.
即x2-3x+2=0.解之，得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)
∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.
解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE.
设直线CE的函数关系式为y=x+b.∵直线CE经过点C(1,0),
∴0=1+b,∴b=-1.∴直线CE的函数关系式为y=x-1.
∴得x2-3x+2=0.
解之，得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)
∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.
22、（2012年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线
（1）点E的坐标；
（2）
∴点A（1，）………………………………………………………1分
代入直线解析式，得，∴m=
∴
当y=0时，
得x=4，∴点E（4，0）……………………………………………4分
（2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为
∵抛物线过原点
∴c=0
∴∴
∴抛物线的解析式为…………………………………………8分
23、（2012年上海市黄浦二模）已知一次函数的图像和二次函数的图像都经过A、B两点，且点A在y轴上，B点的纵坐标为5.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将此二次函数图像的顶点记作点P，求△ABP的面积；
（3）已知点C、D在射线AB上，且D点的横坐标比C点的横坐标大2，点E、F在这个二次函数图像上，且CE、DF与y轴平行，当∥时，求C点坐标.
答案：
（1）A点坐标为（0,1）…………………………………………………………(1分)
将代入，得
∴B点坐标为（4,5）…………………………………………………………………(1分)
将A、B两点坐标代入
解得
∴二次函数解析式为……………………………………………(2分)
（2）P点坐标为（，）…………………………………………………(1分)
抛物线对称轴与直线AB的交点记作点G，则点G（，）
∴PG=，
∴.…………………………………………………(2分)
（3）设C点横坐标为
则C点坐标为，D点坐标为，…………………………(1分)
E点坐标为，F点坐标为，…………………(1分)
由题意，得CE=，DF=，
∵且CE、DF与y轴平行，∴CE∥DF，又∵∥，
∴四边形是平行四边形，∴，…………………………………(1分)
∴，解得，（舍），…………………(1分)
∴C点坐标为（，）.………………………………………………(1分)
24、（2012年上海金山区中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，，顶点为．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在轴上找一点（点与点不重合），使得，求点坐标；
（3）在（2）的条件下，将沿直线翻折，得到，求点坐标．
答案：
解：（1）由题意，得
，…………………………………………………………………1分…………………………………………………………………………1分……………………………………1分分
由题意，得…………1分=90°，∴
……………………………………………1分（不合题意，舍去）………………………………………1分………………………………………………………………………………1分解法二：
如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，
则由题意，得DE=1，OE=4分
由∠APD=90°，得∠APO+∠DPE=90°，
由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，
∠OAP=∠EPD
又∠AOP=∠OED=90°，OAP∽△EPD
∴……………………………………………………………………1分
则，解得（不合题意，舍去）……………………………1分………………………………………………………………………………1分,∠PAQ=90°，分由∠=90°，得∠+∠OAP=90°，由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，
∠OPA=∠HAQ，又∠AOP=∠AHQ=90°，AOP≌△AHQ，∴AH=OP=1，QH=OA=3…………………………………………2分…………………………………………………………………………………1分…………………………………………………………………………………1分………………1分，（不合题意，舍去）……………………………………………1分…………………………………………………………………………………1分中，，过点作∥，点、分别是射线、线段上的动点，且，过点作∥交线段于点，联接，设面积为，．
（1）用的代数式表示；
（2）求与的函数关系式，并写出定义域；
（3）联接，若与相似，求的长．
答案：
26.（本题满分14分）
解：（1）∵AD∥BC，PE∥AC
∴四边形APEC是平行四边形……………………1分…………………………1分,………………………1分………………………………………1分∠BAC=∠BCA
又∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，
∴∠APE=∠AOP，∴AP=AO=
∴当时，；……………………………1分则易得AF=CF=3，AB=5，BF=4
∠OHQ=∠AFB=90°，∠QOH=∠BAF
得△OHQ∽△AFB
∴，∴，∴…………………2分…………………………………………………………………………1分与的函数关系式是
…………………………………………………………1分（3）时
由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE
可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE…………………………1分∠QPO=∠EPQ，
所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ
可得OP=OQ……………………………………………………1分，解得…………………………2分，可得（不合题意，舍去）…………………………1分△PQE与△POQ相似，AP的长为。
解法二：当时，
可得，于是得,
……………………………………………………………………1分∠QPO=∠EPQ，
所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ
………………………………………………………………………………1分
解得，（不合题意，舍去）…………………………………………2分△PQE与△POQ相似，AP的长为。……………………………………1分2011～2012学年y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A(-2，0)和点B，与y轴相交于点C，顶点D(1，-).
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴
仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式.
解(1)设二次函数为y=a(x-1)2-9/2，……1分
求得，a=1/2，……3分
∴y=1/2(x-1)2-9/2．……4分
(2)令y=0,得x1=-2，x2=4，∴B(4，0)，……6分
令x=0,得y=-4,∴C(0，-4)，……7分
S四边形ACDB=15.∴四边形ACDB的面积为15.……8分
(3)如：向上平移9/2个单位,y=1/2(x-1)2;向上平移4个单位,y=1/2(x-1)2-1/2;
向右平移2个单位,y=1/2(x-3)2-9/2;
向左平移4个单位y=1/2(x+3)2-9/2.（写出一种情况即可）.……10分
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(第1题)
A
B
C
D
x
y
O
第1题
1
第2题
第8题
第3题图
y
x
O
1
－1
x
x
x
x
x
y
-1
x
图4
x=1
y
x
O
－1
1
3
（第1题图）
第3题图
第4题图
第1页（共6页）
A
B
C
D
（备用图2）
A
B
C
D
（备用图1）
A
B
C
D
P
Q
E
A
B
C
D
Q
E
H
P
第1题图
第2题图
第2题图
第
O
x
y
y
x
E
C
B
A
O
F
（第24题）
（第24题备用）
E
B
A
C
P
O
x
y
D
A
图
y
x
O
A
B
C
D
y
x
O
A
B
C
D
E
P
Q
H
B
P
D
Q
C
A
O
E
B
P
D
Q
C
A
O
E
B
P
D
Q
C
A
O
E
F
H
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